1、1高等数学复习题( 二) 答案一、填空题1. 若向量 与 共线，且满足 ，则 _.x)1,2(a3xa)1,2(2. 平行于 面且经过点 的平面方程是_.xOz)3,5(05y3. 函数 的定义域是22221(0)uRxyzRrxyz_.222(,)|xyzrz4. =_. 0yxsinlm),(),5. 设 ，则交换积分次序后得 _.dyxfI102),( I06. 设三重积分 ，其中积分区域 为曲面 及平面(,)Ifxyz 2zxy所围成的闭区域，则将此积分化为三次积分得 _.1z I2211(,)xydfxzd7. 设 是螺旋线 ，则曲线积分L 0,20sincoatat_. syx)(
2、23a8. 级数 的和为_. n2)(l0 3ln29. 幂级数 的收敛域为_. 21nx 1,10. 微分方程 满足初始条件 ， 的特解为340y0|xy0|5x2_ 4xye二、计算题1. 求过点 且与两平面 和 平行的直线方程。(0,24)M1xz23yz解：直线的方向向量 ，所以直线的点10ijks()jijk向式方程为 。24xyz2. 设 求 。,cosz2解： ；1(sin)yyx2sinyx。2z22(ico)22(icos)yy3设由 所确定的 ，求 。221xyzabc(,)zxdz解：令 ,则 ， ， ，于是22(,)Fz2xFa2yb2zFc，xz2caxz。yzF2b
3、y因此 。22()cxdda4计算 ，其中 D 是圆 ，直线 和直线 所围21Dyx 21xy0x0y成的区域在第 I 象限的部分解：用极坐标变换，得21Dxyd2120rd120()dr3。1(ln2)5计算曲线积分 ，其中 是从点 到点 的一dzyxdx)1( )1,()4,32(段直线(7 分)解： 的参数方程为 ),10(,312,tzytdxydx)(= dttttt 10 )31(2(2()(= =13.466计算曲面积分 ，其中 是空间区域2yzdxzdyA的边界面的外侧(7 分)(,)|1,|,|xyz解：由高斯公式，得。2yzdxzdy zv112dxyz07讨论级数 的收敛
4、性(7 分)1()!n= = ,由比值审敛法知，原级数收敛。nu1limn12lie8求微分方程 的通解(7 分)lyx解：先求对应的齐次线性微分方程 的通解10lnyx分离变量，得 ，1lndyx两边积分，得 ，1l|C所以 1lnyCx4再用常数变易法，将 换成 ，即令 ，则Culnuyx，代入所给非齐次线性微分方程，得221ln1lnuxyx ， ，于是 l ulnx21lnluxdC所以 21(l)nyCx解：原微分方程可化为 ，1(1)lnyxx将方程两边分别乘以 ，得lde 11lnlnlnlddxdxxeye即 ，两边积分得 ，11lnlndxdxye 11lnlndxdxC即 ，故通解为 。11lnln()dxdxeC2(l)yx9. 求微分方程 的通解(7 分)0y解：令 ，则 ，得微分方程 ，即 ，两边积分，p 0xpdpx得 ，即 ，于是 。1lnlnxC1p1yC所以 。1yd2l|x三、证明题设正项级数 和 都收敛，试证明级数 也收敛。1nu1nv 21()nuv证：因为级数 和 都收敛，所以级数 收敛，由级数收敛的必1n1n 1()n要条件可知 。由于 ，所以由()0limnuv2()()0lilimnnuvuv1比较审敛法可知级数 收敛。21()n
