1、第卷第期年月上建 筑 结 构 建筑结构剪重比规律及控制方法研究黄吉锋， 李 党， 肖 丽（中国建筑科学研究院，北京）摘要 推导了理想的弯曲型和剪切型悬臂结构在地震作用下的剪重比理论公式，以此为基础对建筑抗震设计规范（ ）第 条中的剪重比控制方法进行了探讨，指出“规范的剪重比限值与场地特征周期和结构阻尼比无关，从而导致其对某些特征周期较长的结构完全不控制，而对某些特征周期较短的结构则控制过严”的问题。最后提出了通过直接调整长周期段加速度反应谱以完成剪重比控制的改进建议。关键词 弯曲型悬臂结构；剪切型悬臂结构；剪重比中图分类号：， 文献标识码：文章编号：（） ， ， （ ， ， ）： ， （ ）
2、， ， ， ： ； ； 作者简介：黄吉锋，博士，研究员，： 。 引言一般认为，由于地震仪误差（模拟式地震仪 之后、数字化地震仪之后）的原因或者地震加速度记录中真实地面运动的长周期分量经数字滤波处理后的缺失，当结构的基本周期大于 ，时，由建筑抗震设计规范（ ）（简称抗规）加速度反应谱计算得到的结构地震反应可能偏小，因而抗规第 条对于结构的楼层剪力系数规定了最低限值并指出：当楼层剪力系数略小于规范限值时，可直接放大地震反应；当楼层剪力系数小于规范限值较多时，需要调整结构形式或结构布置。在实际结构设计中，经常会遇到结构剪重比与规范限值相差较多的情况，这时通过调整结构形式或结构布置来提高剪重比，往往收
3、效甚微，比较困难。为解决此问题，有必要对结构剪重比的变化规律和控制方法进行研究。本文首先以理想的弯曲型和剪切型悬臂结构作为基本分析模型，推导出这两类结构在地震作用下的剪重比理论公式，并通过实际结构算例验证了理论公式的正确性。然后以剪重比理论公式为基础，探讨了抗规第 条中剪重比控制方法存在的问题，并提出了改进的控制方法。 弯曲型悬臂结构的剪重比考虑图所示的悬臂结构，计入阻尼的弯曲振动方程为，： （，） （）式中，分别为弹性模量、截面惯性矩、质量线密度和内、外阻尼系数。图 悬臂结构示意式（）对应的无阻尼齐次方程为： （）采用分离变量法，令：（，） （）（） （）代入式（），可得： （） （） （）
4、（） （） （）建 筑 结 构年其中为振动圆频率。 （）系统的自由振动解为：（） （）振型形态为：（） （）考虑弯曲型悬臂结构的边界条件：（） （） （）（） （） （）可得频率方程： （）该频率方程特征根的前个数值依次为： ， ， ， ， ， 。悬臂结构振型函数为：（） （ ） （） （）（） （ ） （）（） （ ） （） （） （ ） （）式（） （）中： （）式（）中符号“”表示通过两端表达式的相互对照来定义新的变量。采用振型叠加法求解式（），令：（，） （）（） （）可得：（） （） （） （ ， ） （）其中： （） （） （）（，） （）考虑式（）右端项为地面运动，取：（，） （
5、） （）其中（）为地面运动加速度。则有： （） （） （） （） （） （） （） （）根据反应谱理论： （，） （）其中（，）是加速度反应谱。由式（）得： （） （）振型基底剪力为： （） （，）（）由于特征值充分隔离，可以用组合代替组合，于是得到弯曲型结构的剪重比公式： （，）（） （）其中（，） （，） ，为重力加速度。 剪切型悬臂结构的剪重比仍考虑图所示的悬臂结构，计入阻尼的纯剪切振动方程为： （，） （）式中为剪切波速，由下式确定： （）其中，分别为剪切模量、剪应力不均匀系数和密度。式（）对应的无阻尼齐次方程为： （）采用分离变量法，令：（，） （）（） （）代入式（），可得：（）
6、（） （）（） （） （） （）系统的自由振动解为：（） （）振型形态为：（） （）考虑剪切型悬臂结构的边界条件：第卷第期黄吉锋，等建筑结构剪重比规律及控制方法研究（） （） （）可得频率方程： （）易知特征根的理论解： ( ) （ ， ） （）前个根依次为： ， ， ， ， ， 。悬臂结构振型函数为：（） （） （）（） （）采用振型叠加法求解式（），令：（，） （）（） （）则有：（） （） （） （ ， ） （）考虑式（）右端项为地面运动，取：（，） （） （）则： （） （） （） （） （） （） （） （）根据反应谱理论： （，） （）由式（）得：（） （）振型基底剪力为： （）
7、（，） （）单振型剪重比平方为： （，） （，）（） （）由于特征值充分隔离，可以用组合代替组合，于是得到纯剪切型结构的剪重比公式： （，）（） （） 悬臂结构剪重比的数值计算近似公式观察式（）和式（）中的参与系数，它们有形式相同的表达式，为计算方便，对其略作改写： （） （） （） （） （） （）（）对于弯曲型结构：（） （ ）（）参与系数的前个数值分别为： ， ， ， ， ， 。特征根的前个数值分别为： ， ， ， ， ， 。前个周期与第周期的比值分别为： ， ， ， ， ， ，或写成分数形式为： ， ， ， ， ， 。若记： （）则的前个数值分别为： ， ， ， ， ， 。对于剪切型结
8、构：（） （）参与系数由简单的显式表示： （ ， ） （）参与系数的前个数值分别为： ， ， ， ， ， 。特征根的前个数值分别为： ， ， ， ， ， 。前个周期与第周期的比值分别为：，。若记： （）则的前个数值分别为： ， ， ， ， ， 。从数值计算的角度，取前阶周期参与振型计算剪重比，其精度是足够的，基于式（） （）的具体计算，可以给出剪重比的实用公式。弯曲型结构剪重比公式： （，） （）建 筑 结 构年剪切型结构剪重比公式： （，） （）从式（）、式（）或者式（）、式（）可知：均匀悬臂结构的剪重比主要取决于其各阶周期和阻尼比，与结构的质量密度、刚度、几何尺寸等参数无直接关系，或者说质
9、量密度、刚度、几何尺寸等参数只能通过影响周期对剪重比起作用。 悬臂结构剪重比公式的正确性验证理想纯弯型结构和纯剪型结构是实际房屋结构的两种极端形式，一般认为剪力墙结构和框架结构分别近似于理想的纯弯型结构和纯剪型结构，而框剪结构、框筒结构则介于二者之间，称为弯剪型结构。为了验证式（）、式（）的适用性，建立了规则、周期不同的框架结构、框筒结构、剪力墙结构各个模型，并选取了个相对规则的单塔楼实际工程模型，周期从 不等，抗震设防烈度为度，类场地，地震分组为第一组，阻尼比为，加速度反应谱按抗规，以后按取值，采用软件计算。清楚起见，先将式（）、式（）对应的弯曲型结构理论剪重比曲线（）和剪切型结构理论剪重比
10、曲线（）绘于图；再将三种算例（框架、框筒、剪力墙）的剪重比曲线与式（）、式（）代表的理论曲线绘于图。图 弯曲型和剪切型结构的剪重比理论曲线图 三种算例剪重比曲线与理论曲线的比较图 弯曲型结构剪重比曲线与规范限值曲线对比从图可知，（）和（）在 和处各存在一个交点。 之前（）明显高于（），且剪重比对周期敏感；之后两条曲线差异不大，之前（）略大，之后（）略大，剪重比对周期不敏感。从图可知，三种算例的剪重比，在第一交点之前，均与（）非常接近，且明显高于（），这种情况看似有疑问，实际是合理的，这是因为低矮的短周期剪力墙、框筒结构实际上更接近剪切型结构。而在之后，剪力墙结构的剪重比接近于（），框架结构的剪
11、重比接近于（），框筒结构的剪重比介于（）和（）之间，这跟预料的结果一致。由于抗规的加速度反应谱曲线与成正比例关系，故正确性验证与抗震设防烈度无关，只验证度已经足够。此外，当特征周期不同时，理论曲线与实际算例的吻合程度与场地类别为类、地震分组为第一组（ ）的情况大致相当，故不赘述。当已知结构的基本周期时，可通过上述理论曲线直接获得具有相当精度的剪重比数值，具体确定方法如下：（） （） （所有结构 ）（） （剪切型结构 ）（） （弯曲型结构 ）（） （） （弯剪型结构 ）（）式（）也可制成图或表格，以方便查阅。 剪重比控制方法的建议针对引言中提出的问题，现借助结构的剪重比理论曲线对剪重比控制方法作
12、探讨。该问题与抗震设防烈度无关，下面的讨论均以度为例。 规范加速度反应谱以后拉平的计算讨论取 （即度抗震设防），特征周期依次为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，加速度反应谱按照抗规取值，之后按照取值，绘出弯曲型结构剪重比曲线（图）和剪切型结构剪重比曲线（图），同时将抗规第 条规定的限值曲线绘于图中。由图和图可知：）对弯曲型结构，当基本周期超过约、特征周期 时，结构剪重比几乎总是不能满足要求；当基本周期小于、特征周期 时，抗规的剪重比底限值几乎总是不控制。 ）对剪切型结构，当基本周期超过约、特征周期 时，结构剪重比几乎总是不能满足要求；当基本周期小于、特征周期 时，第卷第期黄吉锋，等建筑
13、结构剪重比规律及控制方法研究图 剪切型结构剪重比曲线与规范限值曲线对比图 弯曲型结构最大剪重比曲线与规范限值曲线对比图 剪切型结构最大剪重比曲线与规范限值曲线对比抗规的剪重比底限值几乎总是不控制。如果当基本周期 （注： ，它可以定义为：当基本周期不大于时，规范的加速度反应谱具有足够精度，当基本周期大于时，规范的加速度反应谱出现长周期分量缺失）时，规范的加速度反应谱不能充分体现真实地面运动长周期分量的影响，则对于不同特征周期的情况均将存在这样的问题。照此推论，不应出现规范限值不控制的情况，也就是说，当基本周期 时，直接按照规范加速度反应谱算出的不同特征周期结构的剪重比，均应小于规范限值。上述情况
14、表明：规范限值对于某些结构完全不控制，不能起到弥补长周期分量缺失的作用，存在过于放松的现象。 规范加速度反应谱以后拉平的计算讨论通常认为 ，保守起见，这里取 对结构剪重比的最大值进行探讨。加速度反应谱按照抗规取值，之后按取值，其余计算条件同 节，可绘出弯曲型结构（图）和剪切型结构（图）剪重比最大估值曲线，同时将抗规第 条规定的限值曲线绘于图中。需要强调，这样得出的剪重比曲线是一种最大估计，也就是说，即便真实地面运动的长周期分量被完整、充分地考虑，结构的剪重比也不会超过此值。由图和图可知：当弯曲型结构的基本周期超过约、剪切型结构的基本周期超过约，抗规的剪重比限值会出现超越最大剪重比的情况，特别是
15、对于 的弯曲型结构，当基本周期超过约时，抗规限值全面地高于最大剪重比。上述情况意味着抗规限值对于某些结构存在过于严格的现象。 剪重比不足时的结构调整根据第节的讨论，并参照式（）和图可以得到如下结论：）剪重比主要取决于结构的周期和阻尼比，缩短周期、降低阻尼是提高剪重比的直接、有效的手段；）结构形式、结构布置对剪重比有一定影响，但不甚明显，对于基本周期在 到之间的结构，调整结构使之趋于弯曲型，可以使剪重比有一定提高；）如果认为长周期不是问题的话，剪重比是否满足抗规限值与结构形式、结构布置的合理性没有明显关系。 建议一种新的剪重比控制方法根据 节的讨论，合适的剪重比控制应起到弥补长周期分量缺失的作用
16、，但又不能过于严格，以至超过理论上界。此外，剪重比的底限值，应该与抗震设防烈度、特征周期、结构基本周期和阻尼比四个参数相关。本文建议的方法可以满足上述要求，其基本思路是通过直接修改加速度反应谱来弥补长周期分量的缺失，从而达到间接控制剪重比的目的。具体公式如下：（，） （，） （ ）（ ）（，） （，） （ ）（）式中：（，）是规范加速度反应谱；（，）可以称为“考虑长周期分量修正的加速度反应谱”，在设计中，用它来代替规范加速度反应谱，同时忽略抗规第 条引起的剪力系数调整；（ ）可以称为“长周期分量修正系数”，当取时，（，）退化为规范加速度反应谱，当取时，（，）相当于将规范加速度反应谱在以后拉平，
17、实际应用时，应该在到之间确定一个合适的值。图 考虑长周期分量修正的加速度反应谱示意式（）所表示的（，）曲线见图。显然，在之前，它与规范加速度反应谱相同，在之后，它是规范加速度反应谱和理论上限之间的插值曲线，该式的好处是比较简明实用。为了得到一些直观认识，观察基本周期的弯曲型结构在抗震设防烈度为度地震作用下的剪重建 筑 结 构年比。令 ，取不同的值，按照式（）计算不同特征周期结构的剪重比限值，部分结果见表。不同值下结构的剪重比限值表 规范限值 显然，采用式（）进行设计，相当于对不同特征周期的结构赋予不同的剪重比限值。本文建议取 ，此时，对于基本周期、特征周期 的结构，相当于规定楼层剪力系数限值为
18、 ，低于规范限值 约，而对于基本周期、特征周期 的结构，相当于规定楼层剪力系数限值 ，高于规范限值 约。当特征周期取 之间的不同数值时，规范加速度反应谱（，）在处的谱值约为（ ），当 时， （，）在处的谱值约为（ ），放大系数约在 之间，可以近似认为处的放大系数为 。当然，就问题实质而言，的合理取值应该取决于地震记录中长周期分量缺失带来的真实影响，这是需要进一步研究的问题。根据足够数量的高质量地震动记录进行统计回归，来确定加速度反应谱的长周期区段，是比较科学的办法，比如文献，即可作为这种工作的一部分。 关于反应谱理论条件的讨论从理论上看，当周期足够长时，加速度反应谱（，）应按照 的速度趋于，但
19、是由式（）可知：（，） （，） （）这相当于给加速度反应谱设定了下限，与理论是矛盾的。经常有文章对加速度反应谱设下限的做法提出质疑，但笔者认为，多从设计的角度看待下限问题，也许更为合适：在实际的结构设计中，房屋建筑的周期一般不超过，桥梁结构也一般不超过，应用中不会涉及到的情况，换言之，只要反应谱在使用区段不存在原则的数值或规律问题，使用区段之外的理论问题可不必深究。如此，对于式（），也当在使用区段上理解其合理性。事实上，从年月日墨西哥 级地震远场基岩场地的平均谱、年月日台湾集集 级地震的加速度反应谱可知，对于长周期分量较丰富的地面运动，即便是对于左右的长周期段，加速度反应谱仍然会出现局部峰值，
20、与理论上 下降的规律并不一致，或者说，仅当时，加速度反应谱按 下降的规律才趋于严格成立。 结论（）以理想的弯曲型和剪切型悬臂结构作为基本分析模型，推导得出了这两类结构在地震作用下的剪重比理论公式，并通过实际结构算例验证了理论公式的正确性。该理论公式具有很好的精度，适用于相对规则的单塔楼结构，可制成图表供查阅、参考，它对于设计人员判断结构分析软件计算结果的合理性，不无裨益。（）均匀悬臂结构的剪重比主要取决于其各阶周期和阻尼比，并在一定程度上受结构形式、结构布置的影响，与结构的质量密度、刚度、几何尺寸等参数则无直接关系。剪重比是否满足规范限值，与结构形式和结构布置的合理性没有明显关系。（）抗规第
21、条规定的剪重比限值，对于某些特征周期较长的结构不控制，不能起到弥补长周期分量缺失的作用；而对于某些特征周期较短的结构，剪重比限值甚至超过了理论最大估计值，又过于严格。（）引进了“长周期分量修正系数”，建议了“考虑长周期分量修正的加速度反应谱（，）”，实际设计中，加速度反应谱可以直接采用（，），同时忽略剪力系数的直接限制，这种做法更为合理。的合理取值有待进一步研究，在无确切依据的条件下，建议取 ，这大体相当于将规范加速度反应谱（，）在处的幅值放大。参考文献 建筑抗震设计规范北京：中国建筑工业出版社，戴国莹，王亚勇房屋建筑抗震设计北京：中国建筑工业出版社，唐友刚高等结构动力学天津：天津大学出版社， ， ， ， 谢礼立，周雍年，胡成祥，等地震动反应谱的长周期振动特性地震工程与工程振动，（）：周雍年，周正华，于海英设计反应谱长周期区段的研究地震工程与工程振动，（）： 王国权，周锡元 台湾集集地震近断层强震记录的基线校正地震地质， （）：
