1、第二章 2.2椭圆,2.2.2椭圆的几何性质(一),1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、 图形.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标,观察椭圆 (ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？,答案,(1)范围：axa，byb；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b).,思考2,在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确
2、些？,答案,在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).,梳理,椭圆的简单几何性质,(c,0),(0，c),a,b,a,b,2a,2b,思考,知识点二椭圆的离心率,如何刻画椭圆的扁圆程度？,答案,用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.,梳理,(1)椭圆的焦距与长轴长的比e 称为椭圆的离心率.(2)对于 ，b越小，对应的椭圆越 ，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2y2a2.(如图),扁,题型探究,类型一由椭圆方程研究其简单几
3、何性质,解答,例1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.,椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，,四个顶点坐标分别是(4 ， 0)，(4 ， 0)，(0，3)和(0 ， 3).,引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x216y21”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.,解答,解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.,反思与感悟,跟踪训练1求椭圆9x2y281的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.,长轴长2a18, 短轴长2b6，,解答,类型二椭圆几
4、何性质的简单应用,命题角度1依据椭圆的几何性质求标准方程例2如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为 ，求这个椭圆的方程.,解答,由椭圆的对称性知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2为等腰直角三角形，,反思与感悟,此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.,跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；,解答,同样地可求出当焦点在y轴上时，,(2)焦点在 x 轴
5、上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.,解答,用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”，得x3yx2y2xy31，它改变了原方程，因此方程x3yx2y2xy31所表示的曲线不关于x轴对称.同理，方程x3yx2y2xy31所表示的曲线也不关于y轴对称.而用“x”代替原方程中的“x”，用“y”代替原方程中的“y”，得(x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31，即x3yx2y2xy31，故方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于原点对称.,命题角度2对称性问题例3讨论方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.,解答,反思与感悟,研究曲线关于x轴
6、，y轴，原点的对称性，只需用“y”代替方程中的“y”，用“x”代替方程中的“x”，或同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性.,跟踪训练3曲线 x22y10 的对称轴为A. x 轴 B. y 轴C.直线 yx D.无法确定,保持y不变，以“x”代替方程中的“x”，方程不变，故该曲线关于y轴对称.,答案,解析,解答,命题角度3最值问题,(*),反思与感悟,求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；(2)代数法：若题目的
7、条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.,跟踪训练4已知点F1，F2是椭圆x22y22的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么| |的最小值是,答案,解析,故选C.,类型三椭圆离心率的求解,例5已知椭圆 (ab0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k| ，求椭圆离心率e的取值范围.,解答,依题意得F1(c,0)，直线l：yk(xc)，则C(0，kc).,反思与感悟,求e的取
8、值范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k| ，求e的取值范围，需建立关于e的不等式.(2)思考点：e与k有什么关系？建立e与k的等量关系式；利用B在椭圆上且为CF1的中点，构建关于e与k的等式；如何求e的范围？先用e表示k，再利用|k| ，求e的取值范围.(3)解题流程：先写出l的方程，求出B点的坐标，由点B在椭圆上，建立e与k的关系式，再求e的范围.,跟踪训练5已知点P(m,4)是椭圆 (ab0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1F2的内切圆的半径为 ，则此椭圆的离心率为_.,答案,解析,当堂训练,1.已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为,答案,解析,1
9、,2,3,4,5,2.与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,4.已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是_.,答案,解析,5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_.,1,2,3,4,5,由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，,答案,解析,规律与方法,1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.2.椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体灵活应用.3.利用正弦、余弦定理处理PF1F2的有关问题.4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.,本课结束,
