1、2019/10/23,1,6.4 二次型的分类,2019/10/23,2,定义 如果对于任意的非零向量X=(x1,x2,.,xn)T, 恒有,就称XTAX为正定二次型, 称A为正定矩阵.,为正定二次型,为负定二次型,例如,2019/10/23,3,取yi=1, yj=0(ji), 代入二次型, 得 f(0,.,0,1,0,.,0)=di0, 与二次型f(y1,y2,.,yn)正定矛盾,正定的充分必要条件是di0 (i=1,2,.,n). (1)充分性： (2)必要性（反证法）, 设di0,根据定义可得结论: (i),2019/10/23,4,(ii) 一个二次型XTAX, 经过非退化线性变换X
2、=CY, 化为YT(CTAC)Y, 其正定性保持不变, 即当 XTAX=YT(CTAC)Y (C可逆) 时,等式两端的二次型有相同的正定性. 这是,2019/10/23,5,由上述两个结论可见: 一个二次型XTAX(或实对称矩阵A), 通过非退化线性变换X=CY, 将其化成标准型(或规范形),(或将A合同于对角阵, 即CTAC=L), 就容易判别其正定性.,2019/10/23,6,2019/10/23,7,定理 若A是n阶实对称矩阵, 则下列命题等价: (i) XTAX是正定二次型(或A是正定矩阵); (ii) A的正惯性指数为n, 即AI; (iii) 存在可逆阵P, 使得A=PTP; (
3、iv) A的n个特征值l1,l2,.,ln全大于零. 证 (i)(ii) 对于A, 存在可逆阵C使得 CTAC=diag(d1,d2,.,dn). 令X=CY就有 XTAX=YT(CTAC)Y=d1y12+d2y22+.+dnyn2 如有一个di0, 则上式必不恒大于零, 与命题(i) 矛盾, 故A的正惯性指数为n, 从而AI.,2019/10/23,8,(ii)(iii) 由CTAC=I(C可逆), 得 A=(CT)-1C-1=(C-1)TC-1, 取P=C-1, 则有A=PTP.,(ii)(iii) 设AX=lX, 即(PTP)X=lX, 于是便有 XTPTPX=lXTX, 即 (PX,P
4、X)=l(X,X). 由于特征向量X0, 从而PX0, 故A的特征值,(iv)(i) 对于n阶实对称矩阵A, 存在正交阵Q, 使得 QTAQ=diag(l1,l2,.,ln), 作正交变换X=QY, 得 XTAX=l1y12+l2y22+.+lnyn2. 已知特征值l1,l2,.,ln都大于零, 故XTAX正定,2019/10/23,9,推论,2019/10/23,10,定理,定义,设n阶方阵,我们把n个行列式,都叫做矩阵的顺序主子式。,推论,2019/10/23,11,定义,如果方阵A的某一子式的主对角线完全位于A的主对角线上，就称该子式为的主子式。,定理,正定矩阵具有以下一些简单性质,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,2019/10/23,16,A的三个顺序主子式为,所以A是正定矩阵，f 是正定二次型。,方法一,方法二,A的特征方程为,特征值,故A是正定矩阵，f 是正定二次型。,2019/10/23,17,解,A的三个顺序主子式为,所以 f 为负定二次型。,
