1、6 一维稳态热传导方程的数值解法及其应用,6.1 一维稳态导热的通用控制方程,一维稳态导热方程离散化、边界条件及源项的处理及非线性代数方程的求解方法等对对流问题数值解也适用。一维稳态导热微分方程的通用形式为（1）式中： x 与热量传递方向相平行的坐标 s 源项导热系数,对控制容积P做积分导出其方程的离散形式 对于源项S，常表示为温度的函数S=SC+SPTP式中： SC - 常数，SP - P点的斜率TP - P点的温度,对控制方程在控制容积P中进行积分得：,式中V是控制体积的体积值，当控制体积微小时， V可以表示为X*A ,这里A是控制体积界面的面积，这里取1，于是V= X,从而有,对扩散项T
2、 随x 呈分段线性分布得：,整理得：,简化成,（2）,一维稳态导热方程的离散形式,系数aE，aW：1）分别代表了节点P,E间及W,P间导热阻力的倒数（热导），其大小反映了节点E,W处的温度对P点温度的影响程度； 2）在aE，aW中出现了界面上当量导热系数 e ，w，在进行数值计算时物性数据及温度等变量都存放在节点上，必须找出如何由相邻两节点的导热系数来获得当量导热系数。(t，如钢材与耐材结合时会有一突变，同一钢材加热时，铁素体向奥氏体转化),6.2 计算当量导热系数的两种方法,算术平均法及调和平均法 1）算术平均法设在P，E之间与x成线性关系，则由P，E两点上的导热系数 E ，W确定e的算术平
3、均(不能有突变） 公式为：,当网格划分为均匀网格时,（3）,2）调和平均法设在控制容积P，E的导热系数不等，则根据界面上热流密度连续的原则，由傅立叶定律有：,按界面上的当量导热系数的含义，有：,由上两式有：,此式即为界面上的当量导热系数调和平均公式，它可以看成是串联过程中热阻叠加原则的反映。,当网格划分为均匀网格时,（4）,（5）,6.3 两种方法的比较,1）当 E 0时，由4式e 0，说明在一个绝热层的表面上qe=0，合乎实际；但 3 式 e 0; 2）如 ，按算术平均法，当网格为均匀划分时， 则P，E间的导热阻力为 ，说明P，E间的导热热阻由导热系数大的决定 ，这是不对的。,若按调和平均法
4、计算，由5式则导热热阻为即温度TP将一直扩展到界面e，而温降TP- T E实际上发生在 内。说明P，E间的导热热阻由导热系数小的决定，符合传热学原理。所以此种情况下，调和平均法符合。对于表征输运特性的物性参数，如导热系数，动力黏度，调和平均法均优于算术平均法。,3）在导热系数突变时，使用该调和平均值不必采用极密的网格，且对有内热源且导热系数连续变化的场合也要比算术平均好得多。（把阶跃面作为控制容积的分界面） 4）把物性阶跃面设置成一个节点的位置比作为控制容积分界面，使计算结果会更加精确。（由于此种情况阶跃面两侧温度梯度不同，如按3处理，相当于用平均值来代替，采用此种方法处理时，物性阶跃面两侧温
5、度梯度单独计算，提高了计算精度。）,一维稳态导热方程的离散形式可表示成：,6.4 非线性问题的处理步骤,当源项为温度的非线性函数时，或当量导热系数为温度的函数时，所计算的问题即为非线性问题，该类问题只能采用迭代的方式进行求解（应用牛顿迭代方法或其它迭代方法求解）,具体步骤如下：（1）先假设一个温度分布初值；（2）计算相应函数b,及,（3）求解线性离散方程组；（4）由新的温度再计算函数（改进系数）；（5）返回2后，再重复计算T，直到,为止。,其中 设初值为T*，迭代后新的温度分布为T， 下一次迭代部分改进f-松弛系数，f=01为欠松弛，f1为超松弛。 f=0时重复计算，无更新， f=1时更新快，
6、但易发散。 强烈非线性问题迭代需采用欠松弛方法促进收敛。 F=0.1时新值偶和进去很小，二次结果相差很小，误以为收敛，此时F调大些，如仍相差很小，则收敛。,6.5 源项处理方法,1、源项：它是一个广义量（广义源项），它代表了那些不能包括到控制方程中的非稳态项，对流项，扩散项中的所有其它各项之和。 2、采用广义源项的意义：在控制方程中加入广义源项可以使通用方程代表相当多的流动和传热现象，对于扩展所讨论的算法及相应程序的通用性具有重要意义。 3、源项分类：常数源项、非常数源项。 4、非常数源项的处理方法：源项局部线性化,当S 与T相关时，需对其线性化。S可表示成 该未知量的线性函数。在控制容积P内
7、可表示成,常数，可看成是该切线与S轴方向相交的距离；,S随T而变化的曲线在P点的斜率。,在离散化方程中分别进入b及ap中,S形式可以不同， S c ，S p均可以是T的函数,如S=4-5T 可能的线性化如下： 1) S c =4 S p=-5 2) S c =4-5Tp* S p=0 3) S c =4+7Tp* S p=-12 2）中将S作为常数（以上一次迭代计算的T*计算S）处理，使源项相对于T永远有一个滞后；1）中Tp是迭代计算当前值使S能更快跟上Tp的变化；3）比实际的S T关系更陡的曲线，使迭代收敛速度减慢，相当于欠松弛。 说明：当S是T的非线性函数时sp0，确定sc,sp最好的方法
8、是：如s=4-5T3线性化,1）当源项为未知量的函数时，线性化的处理比假定源项为常数更合理。即,如把S当常数，应用上一层温度值进行迭代， 计算得到T*，再计算S，故S永远滞后T。如按线性化， 给一个TP，就可得到一个S值。,2）线性化处理是建立线性代数方程所必须的，采用二阶或二阶以上多项式，则离散后的方程不是线性的。,3）为保证代数方程迭代求解收敛，,这一原则并非只是为了计算方便而提出，而是物理过程的客观规律也确实如此，大多数物理过程中，源项与因变量之间的确存在负斜率关系，如果为正值，可能存在物理上的不稳定性。,例如在热传导问题中SP为正值，意味着TP增加，源项热源也增加，如果这时没有有效的散
9、热机构，可能会反过来导致温度的升高，如此反复下去，造成温度飞升的不稳定现象。,为了保证代数方程迭代求解的收敛。为控制容积的体积，线性代数方程迭代求解收敛的一个充分条件是对角占优，即,4） SP绝对值的大小影响迭代过程中温度变化速度。一般讲， SP绝对值越大，收敛速度减慢，有利于克服发散； SP绝对值越小，收敛速度加快，但易发散。由代数方程迭代求解的公式可见SP绝对值越大，好像系 统惯性越大，相邻两次迭代间 TP的变化越小，因而收敛 速度下降，但有利于克服发散，反之容易引起发散。,6.6 促进收敛的四项基本原则,1、 在控制容积面上的连续性当一个面作为两个相邻控制容积的公共面时，在这两个控制容积
10、的离散化方程内必须用相同的表达式来表示通过该面的热流密度、质量流量及动量通量。否则总的平衡就不会满足，相当于公共面上有源或汇。如1）界面上热流密度采用二次曲线表示，拟合曲线的阶数比分段线性要高，但却破坏了界面的连续性。2）通过界面的热流密度看成属于界面本身，而不是属于某个控制容积的。 2、正系数某个网格节点处的因变量值只是通过对流以及扩散过程才受到相邻网格节点上的值的影响，故一个网格节点处该因变量值的增加应当导致相邻网格节点上该值的增加，而不是减少，即ap及anb必须具有相同符号，不妨规定均为正值。否则易出现物理上不真实的解。,3、源项的负斜率线性化只有当 才能保证中心节点系数 4、相邻节点系数之和因控制方程是微分方程，往往只包含有因变量的导数项，若满足，+c也满足，微分方程这性质也反映在离散方程中。可以理解为中心节点值TP是各个相邻节点值Tnb的一个加权平均值。,课后问题：,导热方程结构上特点？举例说明方程为导热型时流动类型有哪些？ 一维稳态导热方程每一项含义？离散形式系数含义？ 处理界面上物性方法有哪些？广义源项？为什么是温度函数？不同方式处理对收敛速度影响？如何使离散方程具备有真实性？ 非线性问题求解思路？如何促进收敛？,
