1、1,4.1 简谐振动的动力学 4.2 简谐振动的运动学 4.3 简谐振动的能量 4.4 简谐振动的合成 4.5 阻尼振动 受迫振动 共振,第4章 机 械 振 动,2,振动是一种普遍的运动形式机械振动: 物体在某固定位置附近的往复运动,是物体一种普遍的运动形式 .广义振动:任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化.,振动分类,振动,受迫振动,自由振动,共振,阻尼自由振动,无阻尼自由振动,无阻尼自由非谐振动,无阻尼自由谐振动,(简谐振动),3,4.1 简谐振动的动力学特征,振动中最简单最基本的是简谐振动,简谐振动:一个做往复运动的物体,如果其偏离平衡位置的位移x(或角位移)随时间t按余弦(或
2、正弦)规律变化的振动,xAcos(t0),运动学方程,x 可作广义理解:位移、电流、场强、温度,4,一、弹簧振子模型,平衡位置为坐标原点,弹性恢复力(线性回复力),F= -kx,动力学方程,5,二、微振动的简谐近似,1. 单摆,平衡位置为坐标原点,恢复力矩,泰勒级数展开,线性恢复力矩,动力学方程,6,2.复 摆,7,例: 弹簧下面悬挂物体,不计弹簧重量和阻力,试证其在平衡位置附近的振动是谐振动。,证:以平衡位置0为原点,向下为x轴正向,l 是弹簧挂上重物后的静伸长,设某一瞬时m的坐标为x,动力学方程为,8,4.2 简谐振动的运动学,一、简谐振动的运动学方程,微分方程,运动学方程,A、0 由初始
3、条件所决定,1.速度,2.加速度,9,二. 描述谐振动的三个特征量,1.振幅A由初始条件决定,t=0,2. 周期T完成一次完全振动所需的时间,10,周期T:,频率:,圆频率:,固有圆频率:仅由振动系统的力学性质所决定频率,弹簧振子,固有圆频率,固有振动周期,单摆,复摆,11,3. 位相和初位相,(1) 能唯一确定系统运动状态,而又能反映其周期性特征的的物理量 =t+ 0叫做位相, 是描述系统的机械运动状态的物理量,(2)初位相: t=0时的位相0,(3)位相差,两振动位相之差,当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同,称同相,12,当=(2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反,称反相
4、,2 超前于1 或 1滞后于 2,位相差反映了两个振动不同程度的参差错落,谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,13,三、简谐振动的旋转矢量表示法,旋转矢量的端点在坐标轴上的投影才是谐振动,用旋转矢量定相位,例: x0 = A/20 0,答:,14,用旋转矢量表示相位关系,同步,反相,旋转矢量与振动曲线,15,例: 如图示,轻质弹簧劲度系数为k,一端系一轻绳,绳过定滑轮挂一质量为m的物体. 滑轮的转动惯量为I,半径为R.若物体m在其初始位置时弹簧无伸长,然后由静止释放. (1)试证明物体m的运动是谐振动; (2)求此振动系统的振动周期; (3)写出振动方程.,解: (1)若物体m离开初始位
5、置的距离为b时,受力平衡.,mgkb,受力分析如图,以平衡位置O为坐标原点,竖直向下为x轴正向,当物体m在坐标x处时,16,对m:,对滑轮:,(1),(2),(3),(4),(5),联立得,由加速度,所以,此振动系统的运动是谐振动,17,(2) 系统的振动周期,(3)已知t0时,x0b,00,可求出,18,例:已知如图示的谐振动曲线,试写出振动方程.,解:方法一,设谐振动方程为,从图中得:A4 cm,t0时,x0-2 cm,且00,得,得,再分析,t1 s时,x2 cm, 0,,19,得,即 ,所以振动方程为,方法二:用旋转矢量法求解,20,4.3 简谐振动的能量,一、简谐振动的能量,振动动能
6、,振动势能,动能和势能的位相差为,谐振动的总能量,21,x=Acos(t),平均动能,平均势能,22,上述结论虽是从弹簧振子这一特例推出,但具有普遍意义,适用于任何一个谐振动系统.,23,二、实际振动系统简谐近似,系统沿x轴振动,势能函数为Ep(x),势能曲线存在极小值,该位置就是系统的稳定平衡位置。,在该位置(取x=0)附近将势能函数作级数展开,微振动系统一般可以当作谐振动处理,24,4.4 简谐振动的合成,一、同方向、同频率谐振动的合成,x1 = A1cos ( t+ 10) x2 = A2 cos ( t+20) 求: x x1 x2,合振幅,初位相,合振动是简谐振动, 其频率仍为,25
7、,位相差对合振幅的影响,(1),(2),Amax=A1+A2 , 相互加强,Amin= |A2 A1| , 相互减弱,(3) 一般情形,AminA Amax,26,二、同方向、不同频率两谐振动的合成,x1 = A1cos (1 t+ 10) x2 = A2 cos (2t+20) 求: x x1 x2,变化快,变化慢,合振动不是简谐振动。,当21,2 +1 2 - 1时, x可写作,随t缓变;,随t快变;,27,合振动可以看作振幅缓变的“准谐振动” 。,若 1, 2 均较大,而差值较小,则合振动 的“振幅”时而大(为 2A),时而小(为 0)。,这种合振动周期性的时强时弱的现象称作拍,单位时间
8、内振动加强(或减弱)的次数叫拍频。,合振幅变化的周期,或 b=|2-1|,28,29,*三、振动的频谱分析,一个复杂振动能包含的各种简谐振动的频率及其对应的振幅称为频谱分析.,若周期振动的频率为:0,按傅里叶级数展开,则各分振动的频率为:0、20、30,(基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , ),30,31,四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成,合振动,分振动,合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线,质点离开平衡位置的位移,讨论,32,合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线,质点离开平衡位置的位移,合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆,质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。,
9、33,合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆,质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。,34,35,五、两个相互垂直的、不同频率简谐振动的合成,可看作两频率相等而2-1随t 缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。,轨迹称为李萨如图形,简谐振动的合成,两分振动频率相差很小,两振动的频率成整数比,36,37,4.5 阻尼振动 受迫振动 共振,一. 阻尼振动,阻尼:消耗振动系统能量的原因。,能量随时间减小的振动称阻尼振动。,阻尼振动,摩擦阻尼:系统克服阻力作功,使振幅减小,系统的动能转化为热能。,辐射阻尼:振动以波的形式向外传播,使振动能量向周围辐射出去。,38,1. 阻尼振动方程,固体在介质中所受阻力
10、在一般情况下为, :阻力系数,在低速情况下,阻力作用下的弹簧振子,令,系统固有角频率,阻尼系数,39,2. 方程解的讨论, 弱阻尼 ( 0 ),振幅,称为为衰减因子,振幅按指数规律衰减,故阻尼振动又称减幅振动;,准周期,40,周期T固有周期T0, 但函数的峰值不在时间轴t两零交点的中心,阻尼 T, 0, T T0, 临界阻尼 ( = 0 ),系统不作往复运动,而是较快地回到平衡位置并停下来,用于灵敏仪器的回零装置.,41, 过阻尼 ( 0 ),既不是往复运动,又不能回零。,42,二、受迫振动,振动系统在周期性驱动力作用下的振动。,1. 受迫振动方程弱阻尼弹簧振子系统,则得,43,2. 方程的解
11、,由微分方程理论,上述方程的解为,受迫振过程中,外界在不断地向振动系统补充能量,稳定解,特点:稳态时的受迫振动是简谐振动(但不是无阻尼自由谐振动)。,(1)圆频率:等于驱动力的圆频率 p,44,稳定受迫振动的振幅A和位相(用待定系数法可得),(2)振幅: 系统作等幅振动,其振幅由系统参数(0)、阻尼()、驱动力 (f0,p)共同决定。A的大小敏感于p和0的相对大小关系,而 和初始条件(x0,0)无关。,(3)初相:,45,亦决定于0,和p,与初始条件无关。 值在- 0之间。可见,位移x落后于 驱动力F 的变化(F的初相为零)。,46,三.共振,位移共振,速度共振,1.位移共振(又称振幅共振),
12、当驱动力的圆频率 p 等于某个 适当数值(称共振圆频率)时,振幅出现极大值、振动很剧烈的现象,叫位移共振。,只要令 即可得,此即振幅共振频率,47,若阻尼很小, 2 02,则 pr 0,48,2. 速度共振(又称能量共振),当驱动力的圆频率正好等于系统的固有圆频率时,速度幅A达极大值的现象,叫速度共振.,令,速度(能量)共振频率,m,49,共振时速度的初相:r = 0即速度共振时,速度与驱动力同相,一周 期内驱动力总作正功,此时向系统输入的能量最大。,50,3. 共振的利用与防止,(1)位移共振防止桥梁,机床,海堤利用-振动筛,打夯,核磁共振,(2) 能量共振调谐(能量输入处于最佳状态),51,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振使桥摧毁,52,