1、1平面向量的实际背景及基本概念教学设计1、教材分析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学 4 （人教 A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”，是概念课。平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法的基础本节
2、从物理学中的速度、力等既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度(模 )、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。本节课不仅要让学生理解向量的形式化定义及几个相关概念，而且能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。2、学情分析（1）有利因素：在学生已经在物理中学习了矢量，即知道力、位移、速度等是既有大小又有方向的物理量（矢量） ，知道可以借助有向线段来求作力的图示；了解数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度） 、数的相等、单位长度、0 和 1 的特殊性、平面几何中的
3、平行与共线； 对类比的思想方法有所了解等。所在的创新二班和三班学生基础较好，接受知识能力较快。（2）不利因素虽然学生具备认知基础，但是，由于学生处于高一年级，对于本节课的难点：向量概念的理解及形成过程、零向量、相等向量、共线向量等概念，尤其在思维辨析方面，总体情况可能不是太好。.所以在分辨对向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，适度加以引导和指导。3、教学目标1、知识与技能：(1) 能结合物理中矢量认识向量，掌握向量与数量的区别.；(2) 理解零向量、单位向量及向量的模等概念；(3) 明确有向线段与向量的联系与区别，会用有向线段和字母表示向量；2(4) 理解、判断共线向量（平行向量） 、
4、相等向量，并利用该概念进行推理证明。2、过程与方法：(1) 运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索平面向量；(2) 学生经历向量概念、表示，特殊向量和特殊关系的学习，感受到类比的思想和联系的观点是科学探究中常用的手段；(3) 通过学生主动地参与到课堂中，提高学生学习数学的积极性；(4) 了解向量概念及其产生的实际背景，经历向量学习的过程，体会向量来自于客观现实。3、情感态度与价值观：(1) 学生感受向量的概念、方法源于现实放世界，激发数学学习兴趣；(2) 经历用有向线段表示向量的操作过程，体会数学的实用性、表达的简洁美；(3) 在体会研究数学问题的基本套路的同时，进而提高提出问题、研究问题的能
5、力。四、教学重难点教学重点：向量的有关概念，向量的表示，相等向量与共线向量教学难点：零向量的理解，共线向量的判断五、教学过程1、向量概念的引入问题 1：高中物理的第一课我们就学习了位移这个概念。它和路程有什么区别？“位移是矢量，既有大小又有方向；路程是标量只有大小，没有方向”那在物理中的矢量，也就是又有大小又有方向的量，在数学中我们称之为”向量” 。物理中有大小，没有方向的标量，我们称之为”数量” 。下面我们看一个例题。跟踪训练 1 下列各量中是向量的是( ) 答案：BA.时间 B.速度 C.面积 D.长度思考：平面直角坐标系的 x 轴，y 轴是是向量吗？答：不是，x 轴 y 轴只有方向，没有
6、大小。【设计意图】强调向量的两个要素：大小和方向。 2、向量的两种表示方法对于一个实数,可以用数轴上的点表示;对于一个角的正弦、余弦和正切,可以用三角函数线表示; 对于一个二次函数,可以用一条抛物线表示.数学中有许多量都可以用几何方式表示。问题 2 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？联想一下物理中的矢量，比如力，我3们是怎样表示的？物理中我们画力的示意图的时候，是用带箭头的线段来表示的，即有向线段。有向线段是带有方向的线段，既有大小又有方向，所以可以用来表示向量。（如图）我们可以看到有向线段三个要素：起点、方向、长度。以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作向量 .起点写在前
7、面，终点写在后面，上面再加一个箭头。有向线段的三个要素都被包含在表达式中AB 了。这是向量的几何表示。向量的字母表示：用有向线段的起点和终点字母表示，如 。也可以小写字母 a, b, c，表示( 印刷用AB 黑体 a，b，c，手写时用 ， ， )就像线段一样，可以用两端点的大写字母表示，也可以只用一a b c 个小写字母表示。要注意手写一定要加箭头。【设计意图】当我们认识一个新事物后，自然会想到如何来表示它在过渡语言中，渗透研究新事物的基本套路。表示向量时，既要考虑大小，又要兼顾方向，这是一个难点，给予学生充足的时间，旨在期望学生自行突破。这里我们要注意有向线段和向量的区别。“有向线段则有起点
8、、长度和方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也是不同的有向线段。向量只与大小与方向有关，在平面中可以自由移动。比如向量 BC 就可以平移至向量 AD，两向量重合。 ”【设计意图】反复渗透向量具有两个要素，说明向量可以“自由平移” ，这为以后解决问题带来极大方便，也为共线向量的自然引出做好铺垫3、向量的模及两个特殊向量由向量的几何表示，我们可以从有向线段中得到向量的大小表示。向量的“模”：向量 的大小，也就是有向线段 的长度，记作| |.AB AB AB 向量的模是一个数量，可以比较大小。模为单位长度 1 的向量叫“单位向量” ，模为 0 的向量称为“零向量” 。单位向量和零向量都是从大
9、小方面定义的，他们的方向不确定。【设计意图】能够表示向量之后，自然会想到对向量展开研究；研究新对象时，自然能想到先研究其中的特殊成员，教师的过渡语旨在进一步渗透研究数学新对象的基本套路。AB CD44、平行向量、共线向量与相等向量两个单位向量他们的方向会有什么关系？类比一下线段之间的位置关系，可以平行也可以相交。相交的情况我们后面几节课会学到，今天我们先来讨论一下向量的平行。那么如果两个单位向量平行，他们的方向会是相等或者相反。【设计意图】教师启发，由学生归纳出平行向量的定义。给出平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量向量 a 平行于 b，记作 ab.问题 8：为什么要强调非零向量
10、？零向量模长为零，可以看成一个点，因此我们规定零向量与任一向量平行即对于任意的向量 a,都有 0a.在梯形 ABEF 中， ，向量 AB，向量 CD，向量 EF 是一组平行向量，因为向量在空间中可以自由平移，所以将两个平行向量可以移到与 AB 所在的同一条直线上。由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量也就是说，平行向量与共线向量是等价的。【设计意图】动画的制作和播放便于学生直观地感受向量的平行，和向量在平面上的移动。到现在为止，我们学习的单位向量和零向量都是从向量的大小定义的，平行向量和共线向量是从方向来考虑的，那我们可不可以从大小和方向这两个方面同时定义呢？ 相
11、等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量记作 a=b相反向量：长度相等且方向相反地向量叫做相反向量，记作 a=-b。规定：零向量与零向量相等。跟踪训练 3 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1.(1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 ba；(2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c | ，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？5方法总结：准确画出向量的方法是先确定起点,再确定方向,最后根据向量的大小确定终点。【设计意图】本题既考察了学生如何用有向线段表示向量，又涉及到了相等向量的概念。55、题型分析题型一 判断正误1,判断下列说法是否正确(1)平行向量方向一定相
12、同. ( )(2)不相等向量一定不平行. ( )(3)单位向量都相等. ( ) (4)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示 .( )(5)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反. ( )(6)若向量 a 与向量 b 不平行,则 a 与 b 方向一定不相同. ( )2下列说法正确的是( C )A向量 与 是相等向量 B共线的单位向量是相等向量AB BA C零向量与任一向量共线 D两平行向量所在直线平行3.下列说法中正确的是( D )A数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C向量的大小与方向有关 D向量的模可以比较大小4.下列说
13、法正确的是_(填序号) 若 ab，则 a 一定不与 b 共线； 若 ab，bc，则 ac；在平行四边形 ABCD 中，一定有 ； 若向量 a 与任一向量 b 平行，则 a0；AB DC 若 ，则 A，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；AB DC 题型二 寻找相等向量或平行向量例 2.如图所示， O 是正六边形 ABCDEF 的中心。 1 分别写出与 相等的向量。 DCBOA ECB2 分别写出与 共线的向量。 F/ AFO/观察以上两问，你能得出什么结论？相等的向量一定共线，共线的向量不一定相等。变式题：如图所 示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心。 1 写出与 相等的向量。 ，
14、 ， A6 EFDOCBA2 写出与 共线的向量。 A,3 与 模长相等的向量一共有几个。23 个。一共有 2 条线段，可以构造两个相反向量。题型方法总结：(1)寻找相等向量：先长度再方向(2)寻找共线向量：先找平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量“一线两用”：一条线段可以构造成两个方向相反的向量题型三 利用相等向量和平行向量推理1.给出以下 5 个条件：ab；|a| |b|；a 与 b 的方向相反；|a |0 或|b| 0；a 与 b 都是单位向量其中能使 a b 成立的是_(填序号)3.如图所示，在四边形 ABCD 中
15、， ，N ，M 分别是 AD，BC 上的点，且 ，求证： .AB DC CN MA DN MB 6、课堂小结（板书）1.定义：方向、大小2.表示方法：有向线段、字母表示3.长度：单位向量、零向量方向：共线向量、平行向量长度和方向：相等向量、相反向量O(1)证 明 因 为 =, 所 以 |=|,且 AB CD. 因 此 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 , 所 以 |=|,且 A CB. 同 理 由 ,可 证 四 边 形 CNAM是 平 行 四 边 形 , 所 以 =. |=|,|=|, 所 以 |=|,即 与 的 模 相 等 , 又 与 的 方 向 相 同 ,故 =. (2)解 图 中 与 向 量 共 线 的 向 量 有 : ,.
