1、三角形的四心及性质,一.重心,定义：三角形三边中线的交点！ 性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的 距离与三条边的长成反比。,2.三角形重心性质定理的应用求线段长例1 如图3所示，在RtABC中，A=30，点D是斜边AB的中点，当G是RtABC的重心GEAC于点E，若BC=6cm，则GE= cm。解：RtABC中，A=30，BC=6 AB=BC=12，D是斜边AB的中点，CD= AB=6G是RtABC的重心，CG= CD=4由CD=AD，A=30，GCE=30RtGCE中，GCE=30，CG=4， GE=
2、 CG=2（cm）,求面积例2 在ABC中，中线AD、BE相交于点O，若BOD的面积等于5，求ABC的面积。解：O是ABC的重心， AOOD=21SAOBSBOD=21 即SAOB=2 SBOD=10SABD= SAOB+ SBOD=10+5=15又AD是ABC的中线SABC=2 SABD=30。 练习：1.如图5，ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。2.如图6，在ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若ABC的面积为6cm2，则CGD的面积为 。,二.内心,定义：三角形内切圆的圆心就是三角形的 内心，也是三角形角平线的交点。 性质：1. 三角形的内心到三
3、边的距离相等，等于内切圆的半径。,三、外心,定义：三角形外接圆的圆心，也是三角形三边中垂线的交点。 性质：1、外心到三角形各个顶点的距离相等。2、锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重合；钝角三角形的外心在三角形外。,四、垂心,定义：三角形三边高线的交点。 三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。 证明：如图：作BE 于点E，CFAB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明ADBC即可。 因为CFAB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。 四边形AFHE为圆内接四边形。 所以FAH=FEH=FEB=FCB 由FAH=FCB得 四边形AFDC为圆内接四边形 所以AFC=ADC=90 即ADBC。 点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。,
