1、深刻理解教材编写者的意图浙江舟山南海实验学校初中部 张宏政、郑伟君（316021）1.缘起L 老师要参加省优质课比赛，邀请我与同事参加磨课活动.她参赛的课题是七（下）数学 4.2 二元一次方程组 1,这是第四章二元一次方程组的第 2 课时。教材的呈现方式是：创设问题情境 建立模型 给出二元一次方程组的定义 列表尝试求解给出方程组的解的概念 新问题解决.它的教学目标是 :(1)了解二元一次方程组的概念;(2)理解二元一次方程组的解的概念;(3)会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解;(4)通过对实际问题的分析，进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,同时培养学生观察、归纳、概括的能力.其中
2、教学重点是二元一次方程组及其解的概念;教学难点是用列表尝试的方法求出方程组的解.而学生已有的认知起点是了解一元一次方程、二元一次方程及其解的概念,掌握了等式的变形技巧,会熟练解一元一次方程.据此她进行了教学设计.下面是她第一次试教时的片段回放.2. 问题凸显2.1 创设情境活动一：为响应奥运精神，一（9）班要举办“迎奥运”知识竞赛，并以福娃玩具和奥运笔作为奖品.因此，班主任想预先知道一个福娃和一只奥运笔的价格分别为多少元?现有一个信息：一个福娃+两支奥运笔的价格共 56 元，你能确定一个福娃与一支笔的价格吗？S(异口同声):不能.T:为什么?S1:如果设一个福娃的价格为 元,一支奥运笔的价格为
3、 元,则 .这是一个二元一次方程,xy562yx它有无数个解,所以无法确定它们的价格.T:如果老师再提供一个信息呢?如买 2 个福娃与 3 支奥运笔的总价为 102 元,你能确定它们的价格了吗?S2:这时 ,用第二个方程减去第一个方程得, ,再用第一个方程减去它,得1023yx 46yx,从而 .10y6S3(很急迫的样子):也可以把第一个方程变成: ,再把它代入到第二个方程,得到,256,求出 ,从而 .242y10y3xT:为什么两个方程可以相减?为什么第一个方程中的 可以代入到第二个方程?两个方程中的 、 代x xy表的是同一个值吗?S（异口同声）：是,它们分别都代表福娃与奥运笔的价格.
4、2.2 引入课题T:像刚才两个方程中的 、 都分别表示同一个未知数, 、 的值必须同时满足上述两个方程,因此xyxy可以把两个方程用大括号合起来,即 ，像这样的方程组成的方程组就是我们今天要学习的1023,56yx二元一次方程组（板书课题）.2.3 概念生成T:什么叫二元一次方程组?S4:就由两个二元一次方程所组成的方程组.T: 是二元一次方程组吗?,2zxyS（异口同声）：是!T:不是，因为它们一共有三个未知数.S（众）：(很惊讶的) 啊?T : 是二元一次方程组吗?63,42yxS（异口同声）:不是!T:它们是的,因为它们都是一次方程,且共有两个未知数.S（众）：(更加惊讶的) 啊?T：看
5、看学生越来越模糊,还是自己给出了定义,又举了几个例子加以解释.2.4 列表尝试求解T:怎么来确定福娃与奥运笔的价格呢?做一做：已知 ，填写下表：562yxx 33 34 35 36 37 38 y 已知 ，填写下表：1023x 33 34 35 36 37 38 y 你能发现 的值吗?,S5: ，1036xT:为什么?S6：把这两个值代人两个方程,两个方程都成立!从而引出二元一次方程组的解的概念.（余略）3. 反思在磨课环节中,教师们对课堂中存在的问题进行了热烈的讨论,发表了很多建设性的意见，达成了共识.归纳起来主要有以下几点.3.1 二元一次方程组的定义如何得出从上课情况分析,教师的设计意图
6、是让学生根据模型生成出定义,但学生反而得出了错误的结论,负迁移的结果造成教师越解释,学生就越茫然.原因在于人们对二元一次方程组定义的内涵已作了适度的延伸.因此,教师想用一个例子让学生探究出定义本身策略上就存在问题.我们知道,人类获取概念的主要方式是概念的形成和概念的同化.概念的形成是指从大量的具体例子出发,归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程.这是一种发现学习的过程.概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念来理解接纳新概念的过程.这是一个接受学习的过程.不论是通过概念的形成方式还是通过概念的同化方式来获取概念,其最终目的都是掌握同类事物的共同属性,使学生在头脑里建立良好的概念认知图式 2
7、.二元一次方程组定义的得出，应该说采用任何一种方式本身都无可厚非.但就本节课的教学而言,重头戏显然应是用列表尝试法求解.如果用探究的方式,势必需要呈现更多二元一次方程组的情境，以充分构建各种形式的二元一次方程组模型,这样就会造成概念出现的拖沓,给难点突破造成严重的影响.事实上,在省里比赛时,一位教师就是选择了此种方式,结果概念得出整整用时 22 分钟,难点却草草带过,我们认为这是本末倒置.对此我们的建议是通过模型直接抛出定义,让学生进行分析归纳，并通过变式提高学生对定义的认知水平.这也源于学生对元、一次方程的概念已有较好的认知基础.3.2 对列表尝试法的思考关于用列表尝试法解方程组的解,在讨论
8、时曾有教师产生异议:这个内容是否有上的必要，教材编写者是否忽视了学生原有的认知基础.课堂上一些学生并没有学过相关的知识,却能创造性地使用代入法或加减法求方程组的解看似也佐证了教师的判断,虽然他并不一定能体会到其中隐藏的思想方法.但在激烈的争论之后,我们又反复研读教材,逐渐领会了编者的意图.从尝试求解到用程序求解本身就是人类在解决实际问题中认识逐步深化的一个过程,它充分展现了知识的发生发展历程,符合学生的认知规律.当然尝试求解并不仅仅是一种解题方法,更重要的是,它既蕴藏了估计、逼近的数学思想;还能使学生体验到，要同时满足几个条件，首先必须先满足一个条件，再来满足其它条件这一朴素的数学方法论.它的
9、价值或许暂时无从体现,但从长远考虑,对学生形成正确的数学观念有深远的影响.因此,列表尝试法可以说是编者贯彻以学生发展为本理念的重要载体.但由于教材对于尝试求解法是以学术形态直接呈现的,所以教学设计的任务就应把它变为教育形态下的数学.鉴于目前初一学生的生活体验与学习经验有限,如何设计一种有效的活动使学生在有限的时间感知、体验,并自然生成使我们颇费思量4.新设计下的教学片段对比4.1 创设情境环节在学生明确一个方程无法确定一个福娃和一支奥运笔的价格之后,T:老师打听到一个信息,一个福娃的价格大概在 3338 元之间,这时你能确定它们的价格吗?S:还是不能,因为还有很多解,所以仍无法确定.T:你能把
10、这些解求出来,填在下面的表格中吗?已知 ，填写下表：562yx 33 34 35 36 37 38 点评:基于学生的生活体验有限,为使探究有效进行,而不是漫无目的,故设计这个环节. 当然一方面使学生意识到,即使把范围缩小到很窄的范围,但是二元一次方程仍有很多解,强化学生对二元一次方程解的个数的理解;另一方面,使学生体会到估计,逼近的思想,并自然生成出第一个表格,为列表尝试法的最终生成进行铺垫.教师又提供另一个信息,学生明确表示能确定一个福娃与一支笔的价格之后,马上一些学生又用了代入法或加减法求出了福娃与笔的价格,这时,教师进行了这样的启发:上面同学合理地运用了等式的性质求出了它们的价格,那么你
11、能充分利用上面表格中的数据确定福娃与笔的价格吗?S1:把第一个表格中的数据代入到第二个方程,看哪个解也同时符合第二个方程.这时教师根据学生的思路又呈现出第二个表格. x 33 34 35 36 37 38 y 11.5 11 10.5 10 9.5 9 32 学生纷纷通过计算、比较发现了福娃与笔的价格,即 .10,36yx点评:这样的设计既顺应了学生的思维习惯,又能很好的引导学生发现列表尝试法 ,从中让学生体验到方法不是莫名其妙产生的,而是思维深化的结果.这里其实我们也预备了另一个方案,即如果学生回答仍在 3338范围内求第二个方程的解,然后找到两个方程的公共解,那也将按学生的思路展开. 这里
12、还有一个花絮:在省里比赛后的点评环节中,专家曾对教师顺应学生的思路按代入法和加减法求出价格有异议, 说教学内容产生了偏差.而我们认为,课堂上应该顺应学生的思维习惯,堵不如疏 ,牵强的引导产生不了和谐的课堂,尊重学生的想法之上, 通过教师的引导、启发,使学生自然生成出数学方法反而更能凸显出教师的教学价值,产生富有生命力的课堂.4.2 概念辨析环节由本例的数学模型引出本节的课题之后,教师直接给出了二元一次方程组的定义,即由两个一次方程组成,并且含有两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组.T:请大家仔细阅读这个定义,它有哪几个关键词.S2: 两个一次方程;两个未知数.T:回答的很到位.须要指出的是:
13、这里的两个未知数,是指方程组共有两个未知数,而不是每个方程都含有两个未知数.请对照定义,判断下列方程组哪些是二元一次方程组,哪些不是,为什么? .0;12zyx.2;xy.1;xy.21;3xy .2)(3;yx点评:二元一次方程组概念的得出采用了概念同化的方式,这也是基于本节课的重难点分析之后一种合理的选择.但在学生对于概念的内化方面,我们并没有一味采取简单的降低认知水平的方法,而是引导学生通过分析,概括出概念的本质属性,同时采用变式训练,提高学生的认知水平 .接着,教师通过福娃与笔的价格又引出了二元一次方程组解的概念5.结语像这样一节普普通通的课,如果我们没有进行深入的探讨,细致的研读,就难以真正深刻理解编者的设计意图,难以实现教师教学智慧的共生,也就可能失去一次培植学生数学观念与思想方法的良机.过后我与其他教师的交流中也确实发现,部分教师对这个内容理解不深刻,不甚重视;更有甚者,竟然把二元一次方程与二元一次方程组的教学内容合二为一草草带过.所以我想,学习、实践、反思,正是教师专业成长的一个必由之路吧!【参考文献】1义务教育课程标准实验教科书,数学( 七下)M.杭州,浙江教育出版社 ,2005,12.2何小亚 .教育战争与数学教育的出路J .数学教育学报,2008,(1):70-74.
