1、高等数学 A1试题（第 1 页，共 4 页）杭州师范大学 2015-2016 学年第一学期中期测验 高等数学 A1 试卷题号 一 二 三 四 五 总分得分一、单项选择题：（填上正确选择前面的字母，共 18 分，每小题 3 分）1点 是函数 的（ B ） 。 0x1()xfeA. 可去间断点 B.跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点2设 ，则 ( D )。20()sin3lim4xfx 0)fA3 B. 4 C. 0 D. 433对函数 在区间 上用拉格朗日中值定理得到的 =（ A ） 。32)(xf ,1A2 B1.5 C2.5 D44.设在0，1上， ，则下列不等式成立的是（ A
2、） 。0)(xf. B. ；1)(f )0(1)0(1ffC. D. 。)(f 5. 设函数 在 上有定义, 在 内可导，则 ( D )。yfxab(,)abA 时,存在 ,使 ()0fa()0fB存在 ,使 )()fC 时,存在 ,使 ()fb(abfD对任意 ,有)alim)0xf6. 若 ，则 ( B )。0(3fx 0(2)xxA B C D6912得分班级： 学号： 姓名： 装 订 线 高等数学 A1试题（第 2 页，共 4 页）二、填空题（共 18 分，每小题 3 分）7 1 。cosliminx8若直线 与 相切，则 。yalxa1e9设 ，当 0 时， 与 的为同阶无穷小，则
3、n= 3 sin()xfe)(xfn。10设 则 = 。2l(1),ydy21d11设 ，则 。)()fxxn )0(f!n12函数 的拐点为 (-1,ln2)和(1,ln2) 。2(ln1)三、解答题：（共 36 分，每小题 6 分）13求极限 。0limsn1xxe解： 01li()xx 0sinlixx201sinlimxe（6 分）0cosli2xe0i1li2xe14设方程 确定函数 ，求 。lncosy()yfx0d,xy解： ，lx0xe两边对 x 求导， ，siny2sinyxy， （4 分）(sin)1y， （6 分）iddxy20xye15设 ，求 。2xe)50(解： (
4、50)()2(49) 2(48)5x xyee （6 分）21x得分得分高等数学 A1试题（第 3 页，共 4 页）16已知由参数方程 所得函数 )(xfy，求 。32tyx 2dy解： （3 分）23(1),dytttx（6 分） 2()32.4dytxtt17求极限 01coslim()xx。解： （6 分）2000s1cs1li=lilim.(1co)(o)(1cos)2xx xx 18设 ,求 在 内的间断点，以及间断点的类1,0()ln)xef()fx,)型。解： ， ，故 是第一类间断点，00lim()li(1)xxf100lim()lixxfe0x且为跳跃间断点； （3 分），
5、是第二类间断点 （6 分）1lixe四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）19设 (0)，讨论 在 处的连续性与可导性。 0,1sin)(xexf )(xf0解： 当 时， 在 处连续，且+001limsin,lim1,xx xe=0)(xf0得分高等数学 A1试题（第 4 页，共 4 页）（3 分）(0)=.f当 时， 10 001sin1()lim,()limlisin,xx xxef f x -10当 时， 不存在，所以 不存在。 （5 分） ()=()ff， -()f()f20设函数 可导, . 令 , 求 。()fx(0)f()(1|sin|)Fxfx(0)F解： 0 0 0|i|()limlimlim().x x xFf fF fxx （8 分）五、证明题：（共 12 分，每小题 6 分） 21证明不等式： 。)0()1ln(xx证明：令 根据拉格朗日中值定理，()l),0.fxf则 ,.1+ffxx其 中（4 分）由于 ，所以 （2 分）1+xln().x22设函数 ，其中 在 处连续，证明： 是 在3()|1|)f1x(1)0()fx处可导的充分必要条件。1x证明： （2 分）311()()()limli().xxff （2 分）-3-11()()()lili(1).xxf xf 在 处可导当且仅当 从而 （2 分）f -()=f， 0。 得分
