1、,第16章：二次根式总复习,襄阳二十中：李佳瑞,习惯，,是人们在长期生活中逐步养成的一种相对稳定的思维和行为的倾向，,一种稳固的,思维和行为定势。,习惯一旦形成，,就会在人的头脑中形成一种自动化的程序，,进入到人的潜,意识里，使人难以察觉，却处处受其影响。习惯成自然。当一种习惯渐渐稳固，成为人的个,性的一部分，它就像一个隐形人一样，自动地发挥作用，,在不知不觉间控制着人的思想，指,挥着人的行为，,影响着人在生活中的每个细节。,在社会生活中，,人的行为总是被打上道德的,烙印，,所以人的习惯自然也就具备了高下和优劣之分：它们不是造就你，就是毁掉你；,它们,不是有助于人，就是有损于人,习惯，,是人们
2、在长期生活中逐步养成的一种相对稳定的思维和行为的倾向，,一种稳固的,思维和行为定势。,习惯一旦形成，,就会在人的头脑中形成一种自动化的程序，,进入到人的潜,意识里，使人难以察觉，却处处受其影响。习惯成自然。当一种习惯渐渐稳固，成为人的个,性的一部分，它就像一个隐形人一样，自动地发挥作用，,在不知不觉间控制着人的思想，指,挥着人的行为，,影响着人在生活中的每个细节。,在社会生活中，,人的行为总是被打上道德的,烙印，,所以人的习惯自然也就具备了高下和优劣之分：它们不是造就你，就是毁掉你；,它们,不是有助于人，就是有损于人,习惯，,是人们在长期生活中逐步养成的一种相对稳定的思维和行为的倾向，,一种稳
3、固的,思维和行为定势。,习惯一旦形成，,就会在人的头脑中形成一种自动化的程序，,进入到人的潜,意识里，使人难以察觉，却处处受其影响。习惯成自然。当一种习惯渐渐稳固，成为人的个,性的一部分，它就像一个隐形人一样，自动地发挥作用，,在不知不觉间控制着人的思想，指,挥着人的行为，,影响着人在生活中的每个细节。,在社会生活中，,人的行为总是被打上道德的,烙印，,所以人的习惯自然也就具备了高下和优劣之分：它们不是造就你，就是毁掉你；,它们,不是有助于人，就是有损于人,习惯决定命运.态度决定一切,二次根式全章复习,二次根式的定义:,二次根式的性质:,a (a 0),-a (a0),=,=a,还学习了二次根
4、式的乘法和一种化简方法,a0,b0,1.将被开方数尽可能分解成几个平方数。,2.应用,化简二次根式的步骤：,根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。,运算的结果应该是最简二次根式或整式。,3.将平方项应用 化简.,例如：,把公式逆运用,二次根式的除法公式：,利用这个等式也可以化简一些二次根式。,复习回顾,二次根式计算、化简的结果符合什么要求？,（1）被开方数不含分母；分母不含根号；根号内不含小数。 （2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.,最简二次根式,复习回顾,若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。,在进行根式计算时，利用有理化
5、因式，有时可以化去分母中的根号，从而实现分母有理化。,二 次 根 式,知识结构,-不要求，只需了解,第一部分 二次根式的概念,1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？,2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？,3、7有没有平方根？有没有算术平方根？,正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。,Think 思考,试一试 ：说出下列各式的意义；,观察：,上面几个式子中，被开方数的特点？,被开方数是非负数,2、 表示什么？,表示非负数a的算术平方根,注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如,不是,它是二次根式的代数式.,定义： 像 , , 这样表示的算术平方根，且
6、根号内含有字母的代数式叫做二次根式。,2. a可以是数,也可以是式.,3. 形式上含有二次根号,4. a0, 0,5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.,1.表示a的算术平方根,( 双重非负性),a都是非负数.,其中a为整式或分式，a叫做被开方式,1.判断下列各式是否是二次根式.,2. 下列各式一定是二次根式的是（ ）.,C,试一试,例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？,题型1: 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.,1. 当 _时， 有意义。,3.求下列二次根式中字母的取值范围,解得 - 5x3,说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组
7、）,3,由2x-10，得,正数,0,没有,x2,练习,1、求下列二次根式中字母的取值范围：,求二次根式中字母的取值范围的基本依据：,被开方数不小于零；,分母中有字母时，要保证分母不为零。,2、 x取何值时,下列二次根式有意义?,3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ ）,-2X,X3且X-4,4、求下列二次根式中字母的取值范围：,（8）,5、要使下列式子有意义，求字母 的取值范围,（）,（）,（）,6、（）（）当 时， （） ，则的取值范围是（）若 ，则的取值范围是,因为难,所以我挑战!,7. 求式子 有意义时X的取值范围。,解:由题意得,求二次根式中字母的取
8、值范围的基本依据：,被开方数不小于零；,分母中有字母时，要保证分母不为零。,小结一下,?,第二部分 二次根式的性质,二次根式的性质（）,二次根式的双重非负性解析,经常作为隐含条件，是解题的关键,例 已知 ，求xy的值,解： ， ，,x，y,xy,经常作为隐含条件，是解题的关键,例 已知 ，求xy的值,解： ， ，,xy,题型2: 二次根式的非负性的应用.,1.已知： + =0,求 x-y 的值.,2.已知x,y为实数,且+3(y-2)2 =0,则x-y的值为( )A.3 B.-3 C.1 D.-1,解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0,解得 x=4,y=-8,x-y=4-(-8)= 4
9、+ 8 =12,D,注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。,初中阶段的三个非负数：,(a),归纳：,小结,a都是非负数.,其中a为整式或分式，a叫做被开方式,特点：,二次根式的性质（）,试一试（3）计算:,想一想 等于什么?请举例验证.,3,0.04,性质：,试一试（4）把下列各数写成平方的形式：,3= ，,利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。如 4= 。,例3： 计算：,解：,=16；,计算：,12,80,3.6,x2+1,把式子,反过来，就得到,把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x0）,面积,性质2:,5,例：
10、分解因式：,反过来就是,把下列各式中根号外的正因式移进根号内,(1),(2),(3),(4),根号外的负因式不能随意移进根号内，在移进根号内之前一定要先判断是否为非负因式。,练习在实数范围内分解因式,（1）,（2）,a,-a,|a|,0,2,2,3,3,二次根式的性质（）,由 ,可以得 。,利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“ ”的形式，例：,归纳,知识迁移,例 求下列二次根式的值,解：(1),(2),当x 时，x,当x 时，,性质2:,性质3:,性质2:,性质3:,归纳小结：,补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：,x0 , 4x0,例5:已知:x0,化简:,原式 = -4x,
11、1、什么叫做二次根式？,2、二次根式有哪两个形式上的特点？,课堂小结,第三部分 二次根式的乘除法,二次根式的性质：,（a0）,（1）,（2）,a,-a,当a0时，= ；当a0时，= .,|a|,a,二次根式的性质：,（3）,（4）,（a 0 ， b0）,（a 0 ， b0）,回顾:,你会计算吗? (1) (2),有简便的方法吗?根据什么?,积和商的二次根式的性质:,反过来:,二次根式乘除运算法则,二次根式相乘：被开方数相乘， 根指数不变；,化简。,二次根式的运算（乘除运算）:,（a 0 ， b0）,（a 0 ， b0）,（a0，b0）,根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。,二次根式的乘法：
12、根式和根式按公式相乘。,例1 计算：,解：原式,原式,解：,计算：,计算：,结果必须化为最简二次根式.,找因数的最大公因数,不行再分解因数,解:,要先相乘，后化简。,例2：计算,解：,两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数,试一试,计算：,解：,题型4： 最简二次根式,、被开方数不含分数； 、被开方数不含开的尽方的因数或因式； 注意：分母中不含二次根式。,练习1：把下列各式化为最简二次根式,二次根式乘除运算的一般步骤：,1.运用法则，化归为根号内的实数运算;2.完成根号内相乘，相除(约分)等运算;,3.化简二次根式.,分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘
13、出来(分母必须是平方的项),多项式先因式分解,再乘除,二次根式的乘除法：1）根式和根式按公式相乘除。2）根号外的系数与系数相乘除，积为结果的系数,第四部分 二次根式的加减运算,二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。,注意：对被开方数相同的二次根式进行合并，实质是对被开方数相同的二次根式的系数进行合并。,化简:,每组二次根式在化简后有什么特点？,几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。,题型5： 同类二次根式：,化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。,下列哪些是同类二次根式,下列各组二次根式是否为同类二次
14、根式？,探究,如何判断？,判断几个二次根式是否为同类二次根式的方法：,1、先化简：把各个二次根式都化为最简二次根式。,2、再观察：化简后的二次根式的被开方数是否相同。,例题讲解,计算:,解：,计算:,加减混合运算，应从左向右依次计算。,探究,解：原式=,别漏了“1”.,化简,解：原式=,二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的运算实质也基本相同。,二次根式的加减即为对同类二次根式的合并。,先化为最简二次根式,把同类二次根式合并（合并系数）。,（3）合并同类二次根式。,一化,二找,三合并,二次根式加减法的步骤：,（1）将每个二次根式化为最简二次根式；,（2）找出其中的同类二次根式；,交流
15、，归纳,第五部分 二次根式的综合能力,练习：,.已知 ，求x、y的值.,x=2，y=3,a4,.已知 ，求a的值.,a-4=9，则 a=13,3.实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：,试试你的反应,n12,n = 3，8，11，12,是正整数，则实数n的最大值是_,试试你的反应,?,1.计算下列各题:,(1),(2),试一试,化简：（2） (3) (a0,b0) (4) (a1 ) (5) (1x3 ),3、已知：a+b+4+ =0，求：a2+b2的值.,4、已知a,b,c在数轴上的位置如下：,求：代数式 -a+b+ +b+c的值.,结果：10,结果：-a,5、已知y=2 +3 + ,
16、求： + 的值. (安徽省中考题),6、若x-y+2与 互为相反数，则x=_，y=_. (徐州市中考题),结果：5,练习二：,-2x1,1,C,再见！,第16章二次根式复习,一、二次根式的意义,二、典型例题,例1、找出下列各根式：中的二次根式。,例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。,变式练习：,2、已知 求 算术平方根。,1、能使二次根式 有意义的实数x的值有（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个,B,3、已知x、y是实数，且 求3x+4y的值。,三、二次根式的性质,例3、计算,变式应用,1、式子 成立的条件是（ ）,D,2、已知三角形的三边长分别是a、b、c，且 ，那么
17、等于（ ） A、2a-b B、2c-b C、b-2a D、b-2C,D,例4、把下列各式写成平方差的形式，再分解因式；,例5已知 互为相反数，求a、b的值。,例6化简,四、二次根的乘除,1、积的算术平方根的性质,2、二次根式的乘法法则,例1、化简,例2、计算,变式应用,1、 成立的条件是 。,3、商的算术平方根的性质,4、二次根式的除法法则,例3、计算,5、最简二次根式的两个条件：,（1）被开方数不含分母；,（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；,例4、判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？,练习：把下列二次根化为最简二次根式。,五、二次根式的加减,1、同类二次根式,几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根就叫做同类二次根式,2、二次根式的加减,（1）先化简，,（2）再合并。,例1、计算,3、二次根式的混合运算,例2、计算,例2、计算,变式应用,1、比较 的大小。,2、已知 求 的值。,3、如图，四边形ABCD中，A=BCD=Rt，已知B=450，AB= ,CD= 求（1）四边形ABCD的周长；（2）四边形ABCD的面积。,
