1、3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题,【知识提炼】 线性规划中的基本概念,最大值或最小值,不等式(组),关于变量的一次函数,关于变量的一次不等式,(或等式),最,大值或最小值,最大值或最小值,可行解,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)最优解表示的点一定是可行域中的孤立的点吗？ 提示：不一定.当线性目标函数对应的直线与可行域多边形的一条边平行时，最优解表示的点可能是一条直线或一条线段.,(2)若将目标函数z=x+y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？ 提示：把目标函数整理可得y=-x+z，z为直线在y轴上的截距.,2.下面给出的四个点中，满足约束条件 的可行解是(
2、) A.(0，2) B.(-2，0) C.(0，-2) D.(2，0),【解析】选C.判断已知点是不是满足约束条件的可行 解，只需将四个点的坐标代入不等式组 进行验证，若满足则是可行解，否则就不是.经验证知满足条件的是点(0，-2).,3.在约束条件 下，目标函数z=10x+y的最优解是( ) A.(0，1)，(1，0) B.(0，1)，(0，-1) C.(0，-1)，(0，0) D.(0，-1)，(1，0),【解析】选D.作出可行域如图，使目标函数取得最大、最小值的点分别是(1，0)和(0，-1).,4.将目标函数z=2x-y看成直线方程时，则该直线的纵截距等于_. 【解析】由目标函数可得y
3、=2x-z，故该直线的纵截距为-z. 答案：-z,5.已知x，y满足约束条件 则z=2x+4y的最小值为_.,【解析】画出约束条件所表示的平面区域如图所示：,作出直线2x+4y=0，并平移至过点A处时z=2x+4y取得 最小值. 由方程组 得A(3，-3)， 所以zmin=23+4(-3)=-6. 答案：-6,【知识探究】 知识点 简单的线性规划问题 观察图形，回答下列问题：,问题1：目标函数与线性目标函数有何不同？ 问题2：可行域所表示的区域是怎样的图形？,【总结提升】 1.对线性规划有关概念的三点说明 (1)线性约束条件包括两点：一是关于变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1. (2)
4、目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数.,(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的平面区域(或其内部一些点)，可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域.,2.对目标函数z=Ax+By+C(A，B不全为0)的理解 当B0时，由z=Ax+By+C得y= 这样，二元一 次函数就可以视为斜率为- ，在y轴上截距为 ，且 随z变化的一组平行线.于是，把求z的最大值和最小值 的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上 的截距的最大值和最小值的问题.,(1)当B0时，z的值随
5、着直线在y轴上的截距的增大而增大. (2)当B0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.,【题型探究】 类型一 线性目标函数的最值问题 【典例】1.(2015安徽高考)已知x，y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是( ) A.-1 B.-2 C.-5 D.1,2.已知点P(x，y)在不等式组 表示的平面区 域上运动，则z=x-y的取值范围是( ) A.-2，-1 B.-2，1 C.-1，2 D.1，2,【解题探究】1.典例1中满足约束条件的可行域是一个什么样的图形？应怎样求最大值？ 提示：可行域是一个三角形，利用数形结合计算求值. 2.典例2中要求z=x-y的取值范围，只要求得目标函数
6、的什么值？ 提示：要求z=x-y的取值范围，只要分别求出该目标函数的最大值和最小值即可.,【解析】1.选A.根据题意画出约束条件确定的可行域，如图所示：因为z=-2x+y，则y=2x+z，可知过图中点A(1，1)时，z=-2x+y取得最大值-1，故选A.,2.选C.作出可行域，如图：,因为目标函数z=x-y中y的系数-10，而直线y=x-z表示斜率为1的一组直线，所以当它过点(2，0)时，在y轴上的截距最小，此时z取得最大值2；当它过点(0，1)时，在y轴上的截距最大，此时z取得最小值-1，所以z=x-y的取值范围是-1，2.,【方法技巧】用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤 (1)
7、画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.,(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解. (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值. (4)答：写出答案.,【变式训练】(2015天津高考)设变量x，y满足约束 条件 则目标函数z=3x+y的最大值为( ) A.7 B.8 C.9 D.14,【解析】选C.画出约束条件 表示的可行域， 如图所示， 由 得A(2，3). 当直线z=3x+y过点A时，z取得最大值9.,类型二 非
8、线性目标函数的最值问题 【典例】1.已知x，y满足约束条件 则x2+y2+2x的最小值是( )2.(2015全国卷)若x，y满足约束条件 则 的最大值为_.,【解题探究】1.典例1中x2+y2+2x的几何意义是什么？ 提示：因为x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1，故其几何意义为可行域上的点到定点C(-1，0)的距离的平方减1.,2.典例2中 具有怎样的几何意义？ 提示：在约束条件内的点与原点两点连线的斜率.,【解析】1.选D.画出可行域如图所示，由于x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1，而(x+1)2+y2表示可行域上 一点到定点C(-1，0)的距离的平方，由图可知|AC|最 小，所
9、以x2+y2+2x的最小值为,2.作出可行域如图中阴影部分所示， 由斜率的意义知， 是可行域内一点 与原点连线的斜率，由图可知，点 A(1，3)与原点连线的斜率最大，故 的最大值为3. 答案：3,【延伸探究】 1.(变换条件)典例2中若将约束条件变为 其他条件不变，结果如何？,【解析】如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，,令u= ，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原 点相连的直线l的斜率，即u= 由图形可知，当直线l 经过可行域内点C时，u最大，由 得 所以umax= ，所以,2.(变换条件，改变问法)典例2中若将约束条件变为求 的最大值？ 【解题指南】由 可知此式的几何意义为
10、可行域上 任一点(x，y)与定点(-2，-1)相连的直线l的斜率.,【解析】如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，,令u= ，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y) 与定点(-2，-1)相连的直线l的斜率.由图形可知，当 直线l经过可行域内点C时，u最大，由 得 所以umax= ，所以,【方法技巧】非线性目标函数的最值的求解策略 (1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方；特别地，z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.,(2)z= 型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b) 连线的斜率. (3)z=|Ax+By
11、+C|可转化为点(x，y)到直线Ax+By+C=0 的距离的 倍.,【补偿训练】实数x，y满足约束条件 试求z= 的最小值. 【解析】作出可行域，如图所示.,z= 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的最小值为连线OB的斜率，由 得B(1，2)， 则kOB= =2，所以z最小值=2.,【延伸探究】 1.(改变问法)本题的条件不变，如何求z= 的取值范围 呢？ 【解析】z= 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜 率，因此 的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率 (OA斜率不存在)，而由 得B(1，2)，则kOB= =2，所以zmax不存在，zmin=2，故z的取值范围为2，+).,2
12、.(变换条件)若本题条件不变，如何求z=x2+y2的取值范围？,【解析】z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点 间距离的平方，因此x2+y2的最小值为|OA|2 (取不到)， 最大值为|OB|2，由 得A(0，1)， 所以 所以z的最大值为5，没有最小值，故z的取值范围是 (1，5.,类型三 已知目标函数的最值求参数问题 【典例】1.(2015山东高考)已知x，y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4，则a=( ) A. 3 B. 2 C. -2 D. -3,2.(2015福建高考)变量x，y满足约束条件 若z=2x-y的最大值为2，则实数m等于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.
13、2,【解题探究】1.典例1需要分情况讨论吗？ 提示：首先画出可行域，分情况讨论可得正确结果；还可以结合选择题的特点直接将选项代入验证.,2.典例2中目标函数z=2x-y在哪个位置取到最大值？ 提示：结合图形，对m分析， 可知目标函数在 的解处取到最大值.,【解析】1.选B.由约束条件可画可行域如图，解得A(2，0)，B(1，1).若过点A(2，0)时取最大值4，则a=2，验证符合条件；若过点B(1，1)时取最大值4，则a=3，而若a=3，则z=3x+y最大值为6(此时A(2，0)是最大值点)，不符合题意.(也可直接代入排除),2.选C.如图所示，当m0时，比如在的位置，此时 为开放区域无最大值
14、，当m2时，比如在的位置，此 时在原点取得最大值不满足题意，当0m2时，比如在 的位置，此时在点A取得最大值，所以代入得m=1.,【延伸探究】若将典例1中的“z=ax+y的最大值为4”改为“z=ax+y的最小值为-4”，其他条件不变，则结果如何？ 【解析】由约束条件可画可行域如图：,解得A(2，0)，B(1，1).若过点A(2，0)时取最小值-4，则a=-2，验证符合条件；若过点B(1，1)时取最小值-4，则a=-5，而若a=-5，则z=-5x+y最小值为-10(此时A(2，0)是最小值点)，不符合题意.(也可直接代入排除),【方法技巧】含参数的线性目标函数问题的求解策略 (1)约束条件中含有
15、参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值. (2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值.,【变式训练】若函数y=2x图象上存在点(x，y)满足约 束条件 则实数m的最大值为_.,【解析】在同一直角坐标系中作出函数y=2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示. 由图可知，当m1时，函数y=2x的图象 上存在点(x，y)满足约束条件，故m的 最大值为1. 答案：1,【补偿训练】已知变量x，y满足条件 若目标函数z=ax+y
16、仅在点(3，0)处取得最大值，则a的 取值范围是_.,【解析】画出x，y满足条件的可行域如图所示，,要使目标函数z=ax+y仅在点(3，0)处取得最大值，则 直线y=-ax+z的斜率应小于直线x+2y-3=0的斜率，即 -a ，故a的取值范围是 答案：,易错案例 求目标函数的最值 【典例】(2015福建高考)若变量x，y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于 ( ),【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是没有搞清z=2x-y的几何意义，误认为求z=2x-y的最小值即为求y=2x-z截距的最小值.,【自我矫正】选A.画出可行域如图所示： 当目标函数平移至B点时截距最大， 所以 把点B坐标代入目标函数可得zmin=2(-1),【防范措施】 1.正确画出可行域 解决线性规划问题时，要正确画出可行域，标清可行域中的关键点(最优解的可疑点).,2.明确目标函数的几何意义 在线性目标函数z=ax+by中，参数b的符号直接影响目标函数在y轴上截距的正负，如本例中“-z”是目标函数的截距，其与“z”符号相反.,
