1、第 四 章 4.2 直线、圆的位置 关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质 ； 2.会建立平面直角坐标系 ， 利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 ； 3.会用 “ 数形结合 ” 的数学思想解决问题 . 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识 点 坐标法解决几何问题的 步骤 用坐标法解决平面几何问题的 “ 三步曲 ” ： 第一步：建立适当的平面直角坐标系 ， 用坐标和方程表示 问题中的几何元素 ， 将平面几何问题转化为代数问题； 第二步： 通过 ， 解决代数问题； 第三步：把代数运算结果 “ 翻译 ”
2、 成几何结论 . 代数运算 返回 答案 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 直线与圆的方程的应用 例 1 某圆拱桥的水面跨度 20 m， 拱高 4 m.现有一船 ， 宽 10 m， 水面以上高 3 m， 这条船能否从桥下通过 ？ 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 1 如图 ， 一座圆拱桥的截面图 ， 当水面 在某 位置时 ， 拱顶离水面 2 m， 水面宽 12 m， 当水面 下降 1 m后 ， 水面宽为 _米 . 解析答案 类型二 坐标法证明几何问题 例 2 如图 所示 ， 在圆 O上任取 C点为圆心 ， 作圆 C与圆 O的直径 AB相切于 D， 圆 C与圆 O交于点 E， F， 且 EF与
3、CD相交于 H， 求证： EF平分 CD. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练 2 如图 ， 直角 ABC的斜边长为定 值 2m， 以 斜边的中点 O为圆心作半径为 n的圆 ， 直线 BC交圆 于 P， Q两点 ， 求证： |AP|2 |AQ|2 |PQ|2为定值 . 证明 如图 ， 以 O为坐标原点 ， 以直线 BC为 x轴 ， 建立平面直角坐标系 ， 于是 有 B( m,0)， C(m,0)， P( n,0)， Q(n,0). 设 A(x， y)， 由已知 ， 点 A在圆 x2 y2 m2上 . |AP|2 |AQ|2 |PQ|2 (x n)2 y2 (x n)2 y2 4n2 2x2 2y2
4、 6n2 2m2 6n2(定值 ). 解析答案 类型三 直线与圆位置关系的应用 例 3 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 ， 接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 60 km处 ， 受影响的范围是半径长为 20 km的圆形区域 (如图 ).已知港口位于台风中心正北 30 km处 ， 如果这艘轮船不改变航线 ， 那么它是否会受到台风的影响 ？ 解析答案 反思与感悟 返回 跟踪训练 3 设半径为 3 km的圆形村落 ， A、 B两人同时从村落中心出发 ， A向东 ， B向北 ， A出村后不久改变前进方向 ， 斜着沿切于村落圆周的方向前进 ， 后来恰好与 B相遇 ， 设 A、 B两人的速度一定
5、， 其比为3 1， 问 A、 B两人在何处相遇 ？ 解析答案 1 2 3 达标检测 4 解析答案 1.一辆卡车宽 1.6 m， 要经过一个半圆形隧道 (半径为 3.6 m)， 则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 ( ) A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m 解析 如图 ， 圆 半径 |OA| 3.6， 卡车宽 1.6， 所以 |AB| 0.8， B 所以弦心距 |OB | 3.6 2 0.8 2 3.5 (m ) . 1 2 3 4 解析答案 2.据气象台预报：在 A城正东方 300 km的海面 B处有一台风中心 ， 正以每小时 40 km的速度向西北方向移动
6、 ， 在距台风中心 250 km以内的地区将受其影响 .从现在起经过约 _h， 台风将影响 A城 ， 持续时间约为 _h(结果精确到 0.1 h). 1 2 3 4 3.设村庄外围所在曲线的方程可用 (x 2)2 (y 3)2 4表示 ， 村外一小路方程可用 x y 2 0表示 ， 则从村庄外围到小路的最短距离为 _. 解析 由圆心 (2 ， 3) 到直线 x y 2 0 距离为|2 3 2|27 22 ， 则从村庄外围到小路的最短距离为7 22 2. 7 22 2 解析答案 1 2 3 4 解析答案 4.已知集合 A (x， y)|x y m 0， 集合 B (x， y)|x2 y2 1.若
7、A B ， 则实数 m的取值范围是 _. 解析 如图 ， A (x， y)|x y m 0 表示 直线 x y m 0及其右下方区域 ， B (x， y)|x2 y2 1表示圆 x2 y2 1及其内部 ， 要 使 A B ， 则直线 x y m 0在圆 x2 y2 1的下方 ， 即|0 0 m |2 1 ， 故 m 2 . m 2 规律 与方法 1.利用坐标法解决平面几何问题 ， 是将几何中 “ 形 ” 的问题转化为代数中 “ 数 ” 的问题 ， 应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法 ， 事实上 ， 数学中一切问题的解决都离不开转化与化归 .所谓转化与化归思想是指把待解决的问题 (或未解决的问题 )转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识 . 2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义 ， 然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析 、 解决问题 . 返回
