1、3. 1 直线的倾斜角与斜率3. 1.1 倾斜角与斜率,学习导航 学习目标重点难点 重点: 直线的倾斜角与斜率的概念及斜率公式. 难点: 倾斜角的大小与斜率的对应关系.,1. 直线的倾斜角 (1)定义: 一条与x轴相交的直线l, 我们取x轴作为基准, x轴_与直线l_之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 一条直线与x轴_时, 规定它的倾斜角为0. (2)取值范围: 0180.,正向,向上方向,平行或重合,做一做 1.如图所示, 直线l的倾斜角为( ) A. 45 B. 135 C. 0 D. 不存在 答案: B,2. 直线的斜率,正切值,tan,k0,k0,k0,不存在,想一想 过两点P1(x1,
2、 y1)和P2(x2, y2), 且x1x2时直线 的倾斜角和斜率怎样？ 提示: 当x1x2时, 直线P1P2与x轴垂直, 倾斜 角90, 其斜率不存在.,做一做,题型一 直线的倾斜角设直线l过坐标原点, 它的倾斜角为, 如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45, 得到直线l1, 那么l1的倾斜角为( ),A. 45 B. 135 C. 135 D. 当0135时, 倾斜角为45; 当135180时, 倾斜角为135,【解析】 根据题意, 画出图形, 如图所示: 因 为0180, 显然A, B, C未分类讨论, 均不全面, 不合题意.,通过画图(如图所示)可知: 当0135, l1的倾斜角为45
3、; 当135180时, l1的倾斜角为 45180135.故选D. 【答案】 D,【方法小结】 求直线的倾斜角主要根据定义来求, 其关键是根据题意画出图形, 找准倾斜角, 有时要根据情况分类讨论.,变式训练 1. 一条直线l与x轴相交, 其向上方向与y轴正方向所成的角为(090), 则其倾斜角为( ) A. B. 180 C. 180或90 D. 90或90,解析: 选D.如图, 当l向上方向的部分在y轴左 侧时, 倾斜角为90; 当l向上方向的部分 在y轴右侧时, 倾斜角为90.故选D.,题型二 直线的斜率,【名师点评】 直线的倾斜角与其斜率之间并不是一一对应的, 要特别注意x1x2时的情
4、况.,变式训练 2. 设A(m, m3), B(2, m1), C(1,4), 直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍, 求实数 m的值.,题型三 直线的倾斜角与斜率的变化关系,名师微博 要熟悉特殊角的正切值 【名师点睛】 (1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件, 必要时应分类讨论;,(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按 逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时, 斜率 由0逐渐增大到; 按顺时针方向时, 斜率由 0逐渐减小到, 这种方法既可定性分析倾 斜角与斜率的关系, 也可以定量求解斜率和倾 斜角的取值范围.,变式训练 3. 已知直线l1的倾斜角115, 直线l1与l2的 交点为
5、A, 直线l1和l2向上方向之间所成的角为 120, 如图, 求直线l2的斜率k2.,解: 设直线l2的倾斜角为2, 则2120112015135, k2tan21, 直线的斜率为1.,1. 求证: A(1, 1), B(2, 7), C(0, 3)三点共线. 证明: kAB2, kAC2, kABkAC. 直线AB与AC的倾斜角相同且过同一点A. 直线AB与AC为同一直线, 故A、B、C三点共线.,2. 在平面直角坐标系中, 画出经过点P(2,1)且斜率分别为0,1的直线l1, l2.,方法技巧 1. 求直线倾斜角的方法及关注点: (1)方法 定义法: 根据题意画出图形, 结合倾斜角的定义找倾斜角.,分类法: 根据题意把倾斜角分为以下四类讨论: 0, 090, 90,90180. (2)关注点 结合图形求角时, 应注意平面几何知识的应 用, 如三角形内角和定理及其有关推论.,2. 当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解, 应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等, 若相等, 直线垂直x轴, 斜率不存在; 若不等, 再代入斜 率公式求解. 如例2. 3. 已知点的坐标, 求直线的倾斜角时, 要根据斜率公式先求出斜率, 再由倾斜角与斜率的关系求倾斜角. 如例3.,失误防范,
