1、第二节 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体,三年16考 高考指数: 1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点； 2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差； 3.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释；,4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想； 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.,1.频率分布直方图的应用和平均数、标准差的计算及应用是考查重点； 2.频率分布等内容经常与概率等知识相结合出
2、题； 3.题型以选择题和填空题为主，与概率交汇则以解答题为主.,1.统计图表的含义 (1)频率分布直方图 频率分布直方图由一些小矩形来表示，每个小矩形的宽度为 _，高为_,小矩形的面积恰为相应 的_,图中所有小矩形的面积之和为_.,xi(分组的宽度),频率fi,1,求极差(即一组数据中_与_的差)决定_与_ 将数据_列_画_,作频率 分布直 方图的 步骤,最大值,最小值,分组的宽度,组数,分组,频率分布表,频率分布直方图,(2)频率折线图 定义：在频率分布直方图中，按照分组原则，再在_ 和_各加一个区间.从所加的左边区间的_开始， 用线段依次连接各个矩形的_，直至右边所加区间 的_，就可以得到
3、一条折线，我们称之为频率折线图. 作用：可以用它来估计_情况.,左边,右边,中点,顶端中点,中点,总体的分布,(3)茎叶图 茎叶图表示数据的优点 ()茎叶图上_的损失,所有的_都可以从 这个茎叶图中得到. ()茎叶图可以随时记录,方便_. 茎叶图表示数据的缺点 当数据量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观清晰了.,没有信息,原始数据,表示与比较,【即时应用】 判断下列关于频率分布直方图和茎叶图的说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”) 从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.( ) 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了. ( )
4、,茎叶图一般左侧的叶从大到小写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次. ( ) 用茎叶图表示数据有两个优点：一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示. ( ) 茎叶图只能表示两位有效数字的数据. ( ),【解析】根据频率分布直方图的含义可知都正确；茎叶图要求不能丢失数据，所以不正确；正确；不正确，茎叶图能够记录三个或三个以上的有效数字的数据，只不过此时茎和叶的选择要灵活. 答案： ,2.数据的数字特征 (1)中位数：一组从小到大(或从大到小)排列的数，若个数是 奇数，_的数为中位数，若个数是偶数
5、，中位数为 _. (2)众数：一组数中_的数据.,位于中间,位于中间两数的平均数,出现次数最多,(3)标准差和方差 标准差是样本数据到平均数的一种_. 标准差： s=_. 方差: (其中xn(nN*)是样本数据，n是样本容量， 是样本平均数).,平均距离,【即时应用】 (1)思考：在频率分布直方图中，如何确定中位数？ 提示:在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的.,(2)已知一个样本为：1，3，4，a,7.它的平均数是4，则这个样本的标准差是_. 【解析】由平均数是4，得 a=5，代入标准差的计算公式得s=2. 答案：2,统计图表的应用 【方法点睛】常用统计图表的作用 频率
6、分布表、频率分布直方图、茎叶图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息.,【提醒】在画频率分布表或频率分布直方图分组时，取值区间两端点可根据数据分别向外延伸半个组距.,【例1】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：(1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计电子元件寿命在100，400) h以内的概率； (4)估计电子元件寿命在400 h以上的概率.,【解题指南】本题分组及频数统计已完成，只需列表画图即可，解答(3)(4)可用频率代替概率.,【规范解答】(1)频率分布表如
7、下：,(2)频率分布直方图如下：,(3)由频率分布表和频率分布直方图可得，寿命在100，400) h内的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65，所以我们估计电子元件寿命在100，400) h内的概率为0.65. (4)由频率分布表可知，寿命在400 h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h以上的概率为0.35.,【反思感悟】1.画频率分布直方图时要注意纵、横坐标轴的意义，频率分布直方图中小矩形的面积是该组数据的频率. 2.频率分布直方图反映了样本的频率分布. (1)在频率分布直方图中纵坐标表示 频率(fi)=组距(xi)
8、(2)频率分布表中频率的和为1，故频率分布直方图中各长方形的面积和为1. (3)用样本的频率分布可以估计相应总体的概率分布.,【变式训练】从两个班中各随机的抽取10名学生，他们的数学成绩如下： 画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况.,【解析】由茎叶图可知甲班成绩较分散,80分以上的很少，主要集中在70分，乙班成绩较集中，主要集中在70分、80分两个分数段，所以乙班总体成绩优于甲班.,【变式备选】将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个小组，如表：第3组的频率为( ) (A)0.14 (B) (C)0.03 (D) 【解析】选A.第3组的频率为,数字特征的应用 【方法点睛】 1.众数
9、、中位数与平均数的作用 众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，其中平均数与每一个样本数据都有关，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化.,2.标准差与方差 标准差与方差描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差与方差越大，说明这组数据的波动性越大. 【提醒】用样本的数字特征估计总体的数字特征时，样本容量越大，估计就越精确.,【例2】(1)(2011江西高考)为了普及环保知识，增强环保意 识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分 制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值 为 ，则( )(A)memo (B)memo
10、 (C)memo (D)mome,(2)某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是( ) (A)70,50 (B)70,75 (C)70,1.04 (D)65,25,(3)对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？,【解题指南】计算样本的数字特征可以利用定义进行，利用数字特征估计总体，可以根据各数字特征反映的总体的某些方面的特征进行. 【规范解答】(1)选D.由频数分布条形图可知，30
11、名学生的得分依次为2个3,3个4,10个5,6个6,3个7,2个8,2个9,2个10.中位数为第15,16个数(为5,6)的平均数，即me5.5,5出现次数最多，故mo5，5.97.于是得mome .故选D.,(2)选A.甲少记了30分，乙多记了30分，故更正后平均分仍为 70分； 设更正前48名学生成绩为x1，x2，x46，50,100，则由条件 知(x170)2(x270)2(x4670)2(5070)2(100 70)27548. 更正后方差 s2 (x170)2(x270)2(x4670)2(8070)2 (7070)2 (7548202302102)50.,(3) = (60+80+
12、70+90+70)=74，= (80+60+70+80+75)=73， s甲2= (142+62+42+162+42)=104， s乙2= (72+132+32+72+22)=56， s甲2s乙2 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡.,【互动探究】本例(2)中若另一个平行班级的平均分也是70分，方差是20 ，则这两个班级的学生的学习水平如何？ 【解析】两个班级平均分相同，说明总体水平一样，但平行班级的方差小，说明平行班级的学生成绩差距不大，没有特别高分的，也没有特别低分的.,【反思感悟】牢记样本数据的数字特征是正确求解的关键，各个数字特征只是反映了总体的某一方面的信息，应用时要综合考虑，
13、尤其是平均数与方差(标准差)的作用在比较、决策时应用更广泛.,【变式备选】数据a1，a2，a3，an的方差为2，则数据2a1 1,2a21，2an1的方差为( ) (A) (B)221 (C)42 (D)421,【解析】选C.数据a1，a2，a3，an的方差为2，平均数 为 ，则数据2a11,2a21,2a31，2an1的平均数为 2 1， 方差 4 42.,统计与概率的综合应用 【方法点睛】统计与概率的综合 高考中，对统计知识的考查，往往与概率相结合，考查学生分析、使用统计图表的能力，抽样方法的操作，概率(尤其是古典概型)的求解，并进一步解决实际问题.在此类问题中，从统计图表中准确获取相关信
14、息是解题关键.,【例3】某市从4月1日4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77, 86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (1)作出频率分布表； (2)作出频率分布直方图；,(3)根据国家标准，污染指数在050之间时，空气质量为优；在51100之间时，为良；在101150之间时，为轻微污染；在151200之间时，为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价. 【解题指南】首先根据题目中的数据完
15、成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数.,【规范解答】(1)频率分布表：,2,1,4,6,10,5,2,(2)频率分布直方图：,(3)答对下述两条中的一条即可： 该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天 数的 ，有26天处于良的水平，占当月天数的 ，处于优或良 的天数共有28天，占当月天数的 说明该市空气质量基本良 好. 轻微污染有2天，占当月天数的 污染指数在80以上的接 近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17 天，占当月天数的 超过50%，说明该市空气质量有待进一 步改善.,【反思感悟】1.在频率分布表
16、中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量； 2.在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.,【变式训练】(2012无锡模拟)为了了解某年段1 000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组13，14)；第二组14，15)；第五组17，18.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3819，且第二组的频数为8.,(1)将频率当作概率，请估计该 年段学生中百米成绩在16， 17)
17、内的人数； (2)求调查中随机抽取了多少 个学生的百米成绩； (3)若从第一、五组中随机取 出两个成绩，求这两个成绩 的差的绝对值大于1秒的概率.,【解析】(1)百米成绩在16，17)内的频率为 0.321=0.32，0.321 000=320, 估计该年段学生中百米成绩在16，17)内的人数为320人. (2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x， 依题意，得3x+8x+19x+0.321+0.081=1， x=0.02. 设调查中随机抽取了y个学生的百米成绩， 则80.02= y=50， 调查中随机抽取了50个学生的百米成绩.,(3)百米成绩在第一组的学生数有30.0215
18、0=3， 记他们的成绩为a，b，c，百米成绩在第五组的学生数有0.08150=4，记他们的成绩为m，n，p，q，则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有a,b,a,c,a,m, a,n,a,p,a,q,b,c,b,m,b,n,b,p,b,q,c,m, c,n,c,p,c,q,m,n,m,p,m,q,n,p,n,q,p,q,共21个.,其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有a, m，a，n，a，p，a，q，b，m，b，n，b，p， b，q，c，m，c，n，c，p，c，q，共12个，所以所 求概率为,【变式备选】某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩
19、(均为整数)分成六段40,50),50,60)， ，90,100后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：,(1)求分数在70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； (3)用分层抽样的方法在分数段为60,80)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段70,80)的概率.,【解析】(1)分数在70,80)内的频率为： 1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)10 =1-0.700=0.300，故 如图所示：,(2
20、)平均分为：=450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+ 950.05=71. (3)由题意，60,70)分数段的人数为：0.1560=9人； 70,80)分数段的人数为：0.360=18人； 在60，80)的学生中抽取一个容量为6的样本， 60,70)分数段抽取2人，分别记为m，n；70,80)分数段抽取4人，分别记为a,b,c,d；,设从样本中任取2人，至多有1人在分数段70,80)为事件A，则 基本事件空间包含的基本事件有：(m,n)、(m,a)、(m,b)、 (m,c)、(m,d)、(c，d)共15种， 则事件A包含的基本事件有： (m,n)、(m,a)、(m,
21、b)、(m,c)、(m,d)、(n,a)、(n,b)、 (n,c)、(n,d)共9种，,【满分指导】统计的综合应用解答题的规范解答 【典例】(12分)(2011北京高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示,(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这 两名同学的植树总棵数为19的概率 (注：方差 其中 为 x1，x2，xn的平均数),【解题指南】(1)利用平均数和方差的定义计算.(2)利用列举法求出所有可能情况,然后求概率. 【规范解答】 (1)当X8时，由茎叶图可知
22、，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为 3分 方差为 6分,(2)记甲组四名同学分别为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10. 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A1,B1),(A1，B2),(A1，B3),(A1，B4),(A2,B1), (A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)10分,用C表示：“选出的
23、两名同学的植树总棵数为19”这一事件， 则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)， (A4，B2)，故所求概率为 12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2012西安模拟)某学校对高二年级一次考试进行抽样分析.如图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图，其中抽样成绩的范围是96，106，样本数据分组为96，98)，98，100)，100，102)，102，104)，104，106.已知样本中成绩小于100分的人数是36，则样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数是( ),(A)90 (B)
24、75 (C)60 (D)45,【解析】选A.因为样本中成绩小于100分的频率是(0.050+0.100)2=0.300， 所以该校高二年级总人数 (人)， 而成绩大于或等于98分且小于104分的频率是(0.100+0.150+0.125)2=0.750， 所以成绩大于或等于98分且小于104分的人数是1200.750=90(人).,2.(2012合肥模拟)如图是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为( )(A)85 (B)86 (C)87 (D)88 【解析】选C.所求平均分,3.(2011江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分 别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=_. 【解析】平均值 s2= (10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2= =3.2. 答案：3.2,
