1、2019/10/18,litonghong,1,广义欧几里得除法 最小公倍数 素数 算术基本定理,第一章 整数的整除性,2019/10/18,litonghong,2,广义欧几里得除法,设a，b是任意两个正整数，记r0=a，r1=b. 反复运用欧几里德除法，我们有,2019/10/18,litonghong,3,经过有限步骤，必然存在n使得rn+1=0， 这是因为且b是有限正整数.定理4 设a，b是任意两个正整数，则 (a，b)=rn , 其中 rn 是广义欧几里得除法中最后一 个非负余数.,2019/10/18,litonghong,4,证：根据定理3 ，我们有 (a，b) = (b，r2)
2、 = (r2, r3) = =(rn-1 , rn) = (rn ，0) 再根据定理2，我们有(a，b)=(rn，0)=rn 因此，定理4成立.,2019/10/18,litonghong,5,求两个整数的最大公因数的过程,首先，根据定理1 ，将求两个整数的最大公因 数转化为求两个非负整数的最大公因数；其次，运用欧几里得除法，并根据定理3，我们 可以将求两个正整数的最大公因数转化为求两个较 小非负整数地最大公因数;反复运用欧几里 得除法，即广义欧几里得除法， 来将求两个正整数的最大公因数转化为求0和一个正 整数的最大公因数;最后，根据定理2，求出两个整数的最大公因数.,2019/10/18,l
3、itonghong,6,例1 设a=-1859，b=1573 ，计算(a，b). 解： 由定理1 ， (-1859，1573)=(1859，1573) 运用广义欧几里得除法，有1859 = 11573 + 2861573 = 5 286 + 143286 = 2143 根据定理4，(-1859，1573)=143,2019/10/18,litonghong,7,例2 设a=169, b=121, 计算（a,b). 解 利用广义欧几里得除法，有169 = 1 121 + 48121 = 248 + 2548 = 125 + 2325 = 123 + 223 = 112 + 12 = 21 所以，
4、(169，121) = 1.,2019/10/18,litonghong,8,例3 求整数对 (20785 , 44350)的最大公因数.答案(20785 , 44350)= 5,2019/10/18,litonghong,9,例4 设a = 46480 , b=39423,计算(a,b). 解 利用欧几里德除法，,方法一：最小非负余数.46480 = 139243 + 705739243 = 57057 + 41387057 = 14138 + 29194138 = 12919 + 12192919 = 21219 + 4811219 = 2481 + 257481 = 1257 + 224
5、257 = 1224 + 33224 = 633 + 2633 = 126 + 726 = 37 + 57 = 15 + 25 = 22 + 12 = 21,方法二：绝对值最小余数.46480 = 139423 + 705739423 = 67057 - 29197057 = 22912 + 12192912 = 21219 + 481 1219 = 3481 - 224481 = 2224 + 33 224 = 733 - 733 = 57 - 27 = 32 + 1 2 = 21,2019/10/18,litonghong,10,所以，(46480，39423)=1.从欧几里得除法的演示中
6、，可以观察到：这样，逐次消去rn-1 , rn-2 , , r3 , r2 ,我们可找 到整数s,t使得 sa +tb=(a，b),2019/10/18,litonghong,11,例 5 设a=-1859 , b=1573 , 求整数s , t , 使得 sa + tb = (a , b),运用欧几里德除法，有 1859 = 11573 + 286 1573 = 5286 + 143286 = 2143 (-1859 , 1573)= 143,143 = 1573 - 5286= 1573 - 5(1859 - 11573)= 5(-1859) +61573,因此，整数s=5 , t = 6
7、 满足 sa + tb = (a ,b).,2019/10/18,litonghong,12,例6 设a=169 , b=121 ,求整数s , t ,使得sa + tb = (a , b),利用欧几里得除法，有169 = 1121 + 48 121 = 248 + 2548 = 125 + 2325 = 123 + 223 = 11 2 + 12 = 21,1 = 23 - 11 2 = 23 - 11(25 - 123)= -1125 + 12(48 - 25)= 12 48 - 23(121 - 248)= -23121 + 58(169 - 1121)= 58 169 - 81 121
8、,因此，整数s=58 , t = -81 满足sa + tb = (a , b).,2019/10/18,litonghong,13,例 7 设 a = 150 , b = 42 , 求整数 s , t , 使得 sa + tb = (a , b) .,解 ：由广义欧几里德除法，有,150 = 42 3 + 24 42 = 24 1 + 1824 = 18 1 + 618 = 6 3,具体算式是：,2019/10/18,litonghong,14,求解的具体过程：,1,1,3,1,1,2,7,+,+,+,结果是：6 = 2150 - 742,2019/10/18,litonghong,15,定
9、理5 设a , b 是任意两个正整数，则sna + tnb = (a , b) 对于n = 0 , 1, 2 , , 这里 sn , tn 归纳地定义 为 其中qj 是上式中的不完全商.,2019/10/18,litonghong,16,上述过程可以列成如下表格：,2019/10/18,litonghong,17,其中， 对于j = 1, 2 , ,n.,2019/10/18,litonghong,18,例 8 设a = 1859 , b = 1573.计算整数s,t 使得 sa + tb = (a , b),解：根据表格及公式，我们有,2019/10/18,litonghong,19,因此，
10、 s= -5 , t = 6 使得( - 5) 1859 + 61573 = 143,练习：设 a = 24871 , b = 3468 . 计算整数s , t 使得sa + tb = (a , b),2019/10/18,litonghong,20,答案： (24871 , 3468) = 17 17 = 35 24871 251 3468,2019/10/18,litonghong,21,定理 6 整数 a , b 互素的充分必要条件是 存在整数s , t 使得sa + tb = 1 证 根据定理 5 ，我们得到命题的必要性.反过来，设d = (a , b), 则有d|a , d|b. 现
11、在 若存在整数 s , t 使得 sa + tb = 1 则我们有 d|sa+ tb = 1 因此， d = 1 , 即整数a , b 互素.,2019/10/18,litonghong,22,例9 设四个整数a , b, c , d 满足关系式：ad bc = 1 则(a , b )=1 , (a , c )= 1 , (d , b)=1,(d , c )=1 证 可以根据上述定理证明之.,定理 7 设a ,b是任意两个不全为零的整数，d 是正整数，则d是整数a , b 的最大公因数的充分 必要条件是：(i) d|a , d|b;(ii)若e|a , e|b , 则e|d.,2019/10/
12、18,litonghong,23,证 若d 是整数a , b的最大公因数，则显然有(i) 成立；再由定理5 ，存在整数s , t使得sa + tb = d 因此，当e|a , e|b时，有e|sa + tb = d 故(ii)成立.反过来，假设(i)和(ii)成立，那么(i)说明d 是a , b的公因数；(ii)说明d是整数a,b的公因数中最大数， 因为e|d时，有|e|d.因此，d是整数a ,b的最大公因数.,2019/10/18,litonghong,24,定理8：设a ,b是不全为零的整数(i)若m是任一正整数，则 (ma ,mb) =m(a ,b) (ii)若非零整数d满足d|a ,
13、d|b ,则,证 设d=(a , b) , d = (am , bm). 由定理5 ， 存在整数t，s使得sa+tb = d 两端同乘m，得到,2019/10/18,litonghong,25,s(am) + t(bm) =md 因此，d|dm.又显然有dm|am, dm|bm.根据定理7 (ii), 有dm|d.故d = dm=(a,b)m即(i)成立.再根据(i),当d|a , d|b时，我们有,2019/10/18,litonghong,26,因此，故(ii)成立.,2019/10/18,litonghong,27,例10 设 a = 11200306 , b = 23200306 ,计
14、 算(a,b).解 因为 (11 , 23) = (11 , 23-112) = (11 , 1)=1 所以(a,b) = (11200306 , 23200306) = 200306,2019/10/18,litonghong,28,例11 求整数对 (k n , k (n + 2)的最大公因数.解 因为k (n + 2) = k n + 2k 所以，( k n , k (n + 2) = ( k n，2k)=k( n , 2)当 n 为奇数时，( n , 2) = 1 此时， ( k n , k (n + 2) =k.当n为偶数时，( n , 2) = 2 此时， ( k n , k (n
15、 + 2) =2k.,2019/10/18,litonghong,29,求n个整数的最大公因数.定理9 设a1 , , an 是n个整数，且a10. 令 (a1 , a2) = d2 , , (dn-1 , an) = dn 则(a1 , , an) = dn .,例12 计算最大公因数(120,150,210,35).解 因为 (120 , 150) = (120 ,30) = 30(30 , 210) = 30(30 , 35)= (30 , 5) =5所以(120 , 150 ,210 , 35) = 5 或用( ( (120, 150) , 210) , 35) 形式来求.,2019/
16、10/18,litonghong,30,如何求多个整数的最大公因数的整系数 线性组合？例 13 将正整数120,150,210,35 的最大公 因数表示为整系数的线形组合. 解 根据上题可以反推：5 = 35 30 = 35 (210 6 30 )= 35 ( 210 6(150 120 )= 35 210 + 6 150 6 120,2019/10/18,litonghong,31,另一种形式： 例 14 求出 一组x , y , z (均为整数)的值，使得 6x + 15y + 20z = 17. 解 : 因为( 6 , 15 , 20) = 1,且有 1 = 21 6 7 15 20 所
17、以17 = 17 21 6 17 7 15 17 20= 357 6 119 15 17 20 故所求的一组数为：x = 357 , y = - 119 , z = - 17 .,2019/10/18,litonghong,32,引理1 设a , b 是两个正整数,则2a-1被2b-1 除的最小余数是2r-1, 其中，r是a被b除的最 小正余数.证 当ab时，r=a ,结论显然成立.当ab 时，对a，b用欧几里德除法，存在不完全 商 q及最小正余数r使得a = bq + r , 1rb , 进而，2a -1 = 2r(2bq-1)+(2r - 1)=(2b-1)q1 + 2r-1 其中，q1=
18、2r(2b(q-1)+ +1)为整数，结论成 立.,2019/10/18,litonghong,33,引理2 设a,b是两个正整数，则2a-1和2b-1的最大公 因数是2(a,b)-1.证 不妨设 ab ,由带余数除法得 a = qb + r 0r 0,则继续对 ( 2b 1 , 2r 1 ) 作同样的讨论. 由辗转相除法知，结论成立.,显见，2用任一大于1 的自然数 a代替，结论都成立,2019/10/18,litonghong,34,定理10 设a,b是两个正整数，则正 整数2a-1和2b-1互素的充分必要条件 是a和b互 素.由上述两引理很容易证明.,2019/10/18,litongh
19、ong,35,整除的进一步性质,定理1 设a, b , c是三个整数，且b0，c 0， 如果(a , c)=1,则 (ab , c)=(b , c)证 令d=(ab , c) ,d=(b , c). 我们有d| b , d| c , 根据1.3定理7，我们有d| d.反过来，因为(a , c) = 1,根据1.3定理6，存在 整数s , t使得 sa + tc = 1.两端同乘b，得到 s(ab) + (bt)c = b根据1.1定理 3,由d | ab , d | c ,我们有 d | s(ab) + (tb)c ,即d | b. 同样，根据1.3定理7， 我们得到d | d. 故d = d
20、.,定理 6 整数 a , b 互素 的充分必要条件是存在 整数s , t 使得 sa + tb = 1,定理 7 设a ,b是任意两个不全为零的整数，d是正 整数，则d是整数a , b 的最大公数的充分必要条 件是： (i) d|a , d|b; (ii)若e|a , e|b , 则e|d.,2019/10/18,litonghong,36,推论 设a , b , c是三个整数，且c0，如 果cab , (a , c) = 1, 则c | b.证 根据假设条件和定理1 ， 我们有c(ab , c) =(b , c) 从而c |b，证毕. 定理 2 设p 是素数，若p |ab , 则p |a或
21、p|b.例 2 因为5 | 3 25 ，又5 3及5为素数，所以5 | 25.,2019/10/18,litonghong,37,定理3 设a1 , ,an ,c 为整数，如果(ai , c)=1, 1in, 则 (a1 an ，c)=1 证 我们对n做数学归纳法. n= 2 时，命题就是定理1 . 假设n -1 时, 命题成立.即(a1 an-1 , c )=1 对于n，根据归纳假设，我们有(a1 an-1 , c )=1 再根据(an , c)=1及定理1 ，我们有 (a1 an-1 an ,c) = 1=(a1 an-1 ) an ,c)=1 因此，命题对所有的n成立,证毕.,2019/
22、10/18,litonghong,38,推论 设a1 , ,an是n个整数，p是素数，若 p| a1 an ,则p一定整除某一个ak .证 若a1 , ,an都不能被p整除， 则根据1.3例6 ，有 (ai , p) = 1, 1in 而由定理3，(a1 an , p)=1, 这与p| a1 an矛盾.,例6 设p是一个素数，a为 整数.如果p a，则p与a互素.,2019/10/18,litonghong,39,例 3证明： 都不是有理数 . 证(1)假设 是有理数，且有 ( a , b) = 1 即 a = b , 所以a2 = 7b2 , 由于b a , 所以 7 | a , 令 a =
23、 7a1 , 得 7b2 = 49 a1 2 , 有b2 = 7 a1 2 , 因为a b , 所以 7 | b ,于是( a , b) 7 与 （a , b）= 1矛盾. (2) 假设 是有理数，且有 （a , b）=1, 即2a/b = 10, 即2a = 10b = 2b 5b , 显然是不可能的，故 是无理数.,2019/10/18,litonghong,40,最小公倍数,定义1 设a1 , ,an是n个整数，若m是这n 个数的倍数，则m叫做这n个数的一个倍数. a1 , ,an的所有公倍数中的最小正整数叫做 最小公倍数.记作a1 , ,an.m= a1 , ,an的数学表达式是： (
24、i)ai |m, 1in (ii) 若ai | m, 1in, 则 m | m.,2019/10/18,litonghong,41,例 3 整数14和21 的公倍数是 42， 84，最小公倍数是 14 ， 21=42. 定理 4 设a , b 是两个互素正整数，则 (i)若 a | m, b|m ,则 ab | m. (ii)a , b = ab. 证 设a|m ,则 m=ak . 又b | m, 即b |ak ,以及 ( a ,b)=1,根据定理1 之推论，得到b | k. 因此，k=bt, m = abt .(i)得证. 显然，ab是a,b的公倍数，又由(i)知，ab 是a,b的最小的公倍
25、数，故a , b=ab,2019/10/18,litonghong,42,定理5 设a,b是两个正整数，则 (i)若a | m, b| m,则a,b | m.(ii) a, b =证 令d=(a,b), 根据1.3定理8，我们有又根据定理4,2019/10/18,litonghong,43,再由 从而 |m ,即(i)成立.,2019/10/18,litonghong,44,N个整数的最小公倍数求法,用递归的方法，转化为一系列求两个整数的 最小公倍数. 定理6 设a1 , ,an是n个整数，令 a1 , a2=m2 , m2 , a3= m3 , , mn-1 , an = mn , 则a1
26、, ,an = mn 例5 计算最小公倍数120 ，150，210，35. 解 因为,2019/10/18,litonghong,45,所以最小公倍数120,150,210,35 = 4200.定理 7 设a1 , ,an是n个整数，如果a1 |m,a2 |m, , an |m , 则a1 , ,an | m. 证 对n作数学归纳法。n=2时命题就是定理5（i）. 假设n-1(n3)时，命题成立.即mn-1 = a1 , ,an-1 | m对于n，根据归纳假设，我们有mn-1 | m.再根据定 理6，mn-1 , an = a1 , ,an 及定理5（i），我们得到 a1 , ,an | m
27、因此，命题对所有的n成立, 证毕.,2019/10/18,litonghong,46,算术基本定理,定理 1 （算术基本定理）任一整数n1都可以表示成素数的乘积，且在 不考虑乘积顺序的情况下，该表达式是唯一的. 即 n= p1 ps , p1 ps , (1) 其中pi 是素数，并且若 n = q1 qt , q1 qt , 其中qj 是素数，则s= t , pi = qi , 1 i s.,2019/10/18,litonghong,47,证: 首先用数学归纳法证明：任一整数n1都可以 表示成素数的乘积 ，即(1)式成立.n=2，(1)式显然成立. 假设对于小于n的正整数，(1)式成立. 对
28、于正整数n, 若n是素数，则(1)式对n成立. 若n是合数，则存在正整数b, c 使得 n = bc , 11的整数 成立.,2019/10/18,litonghong,48,再证明表达式是唯一的，设还有n= q1 qt , q1 qt 其中 qj 是素数，则 p1 ps = q1 qt 因此，p1 | q1 qt ,根据1.4定理3之推论， 存在qj 使得 p1 | qj ,但是p1 , qj 都是素数， 故p1 = qj同理，存在pk 使得q1 = pk ,这样，p1 pk = q1 qj = p1 , 进而， p1 = q1 将(2) 式两端同时消除p1 ， 我们有 p2 ps = q2
29、 qt,2019/10/18,litonghong,49,同理可推出 p2 = q2 .以此类推，依次得到 p3 = q3 pt = qs 以及 s = t ,证毕.例1 写出45，49，100，128的因数分解式. 根据定理1 ，我们有 45 = 335 ， 49 = 77， 100 = 2255， 128 = 2222222,2019/10/18,litonghong,50,定理2 任一整数n1可以唯一地表示成其中pi pj (ij)是素数. (3)式叫做n的标准分解式. 在应用中，整数的因数分解式常写成,2019/10/18,litonghong,51,定理3 设n是大于1的一个整数，且
30、有标准分 解式：则d 是n的正因数，当且仅当d有因数分解式：证 设d | n ,且d有因数分解式：,2019/10/18,litonghong,52,则我们一定有 否则，存在1 is 使得再根据1.4定理3 之推论，存在j，2js 使得p1 | pj , 这是不可能的.故(4)式成立.,推论 设a1 , ,an是n个整数,p 是素数，若p| a1 an ,则p一 定整除某一个ak,2019/10/18,litonghong,53,例3 设正整数有因数分解式则n的因数个数 d(n)=(1+a1) (1+as),反过来，若(4)式成立，则是一个整数，且使得 n = d n ,这说明 d|n ，证毕
31、.,2019/10/18,litonghong,54,定理4 设a, b是两个正整数，且都有素因数分解式，,证 设d是整数n的正因数，根据定理3 ， 我们有因为1 的变化范围是0到1共1+ 1 个 值， s的变化范围是0到s 共1+ s 个 值，所以n的因数个数为d(n)=(1+a1 ) (1+as ).,2019/10/18,litonghong,55,则a 和b的最大公因数和最小公倍数分别有 因数分解式：证 根据定理3，我们知道整数满足1.3最大公因数的数学定义，所以,2019/10/18,litonghong,56,同样，整数满足1.4最小公倍数的定义，所以,推论 设a , b是两个正整
32、数，则 (a , b) a , b = a b. 证 对任意整数,我们有min( , ) +max( , )= + 根据定理3 ，推论是成立.,2019/10/18,litonghong,57,例 4 计算整数120,150,210,35的最大公因数和最 小公倍数.解 根据定理1 ，我们有120 = 2335 ， 150 = 2352210 = 2357 ， 35 = 57 再根据定理4 ，我们有120，150 = 23 3 52 =600600，210 = 23 3 52 7 = 4200 4200 ， 35= 23 3 52 7 = 4200 所以整数120，150，210，35的最小公倍
33、数 为4200.,2019/10/18,litonghong,58,同样，根据定理4，我们有 (120 , 150) = 2 3 5 = 30 ( 30 , 210) = 2 3 5 =30 (30 , 35) = 5 所以整数的最大公因数为 5 . 例5 设a ,b是两个正整数，则存在整数a|a, b|b使得 a b=a , b ,(a , b)=1 证 设整数a,b有如下的因数分解式,2019/10/18,litonghong,59,例6 设a = 23 54 116 32 70 , b = 22 50 113 36 74 我们取 a = 23 54 116 ,b = 36 74 则有a
34、b = 23 54 116 36 74,2019/10/18,litonghong,60,例7 设n是合数，p是n的素因数，设pa|n (即pa | n ,但pa+1 n) 则pa ,证 因为pa | n ,我们设n = pa m, (m , p)=1 ,则对 于1k p-1 ,有 (n k , p) = 1 ,否则， p| n - (n -k)=k,矛盾.根据1.4定理3 ，我们有(n-1) (n-p+1) , p) = 1,2019/10/18,litonghong,61,从而，,故 pa,2019/10/18,litonghong,62,作业,习题1.7 :29( (1) , (2) ) ; 32( (1) , (2) ) ;33 ( (2) ) ; 34 ; 51 ( (2) , (4) ) ; 62 .,
