1、第四章 探索实验,今天我们学习,在这一章中我们要学习如何进行探索实验！我们先通过一个实例,4.2 最速降线,来介绍探索实验的方法或技术。之后请同学们从数学实验与数学建模实践教程第二章探索实验一或探索实验二中选择实验内容进行上机实验。必须认真解读，反复修改实验计划。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,1,本次理论课安排如下,第一部分、教材分析 第二部分、实验指导书解读 第三部分、制订实验计划 第四部分、实验过程演示,科学出版社,2019/10/18,2,南通大学理学院计算科学与统计学系,第一部分 教材分析,科学出版社,2019/10/18,3,南通大学理学院计算
2、科学与统计学系,问题 A、B是重力场中给定的两点，A点高于B点一个在A点静止的质点在重力作用下沿着怎样的路线C无摩擦地从A点滑到B点，才能使所花费的时间T最短?使T最短的曲线C称为最速降线,教材研究如下经典问题,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,4,对于此问题，自然地先要解决时间计算问题。不妨以A为原点、以向下的方向为 y 轴的正方向、在AB与 y 轴所在的平面内建立平面直角坐标系，使B点的 x 坐标 a 和 y 坐标 h 都是正实数对从A到B的任一条曲线y = f ( x ),用定积分方法计算质点沿此曲线由A到B所花的时间T ：,科学出版社,南通大学理学院计
3、算科学与统计学系,2019/10/18,5,如果曲线C由参数方程,给出，且,是区间,可微函数，则,上的单调递增,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,6,接下来要解决最速降线的形状问题。我们可以先猜测最速降线的形状：直线、圆弧、抛物线。我们可以用折线来推知最速降线不是直线、圆弧、抛物线！从而可知最速降线是形状不一般的曲线。受折线的启发，从微分的角度看，最速降线近似于多段折线。对于多段（例如 n段）折线，如果能确定除端点外的其余n-1个点的话，则此折线也就确定了。这n-1个点可以这样来确定：,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,7,在
4、区间,中插入,等分点,从而在曲线上得到相应的,个分点,则,可近似地看作折线,而,可近似地看作各分点的纵坐标,的函数,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,8,其中,.问题就变成求这个,元函数的最小值,用Mathematica求多元函数最小值的语句FindMinimum 可以做出解答。应当注意，上述方法在 n 较大时会受到软件用户使用功能的限制；即使得到较大 n 的结果，但 终究是近似结果，无法得到精确的最速降线结果。但我们希望知道：精确的最速降线到底是什么曲线?它的曲线方程是什么?,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,9,我们知道光
5、总是走最省时间的路线由此想到，可以让质点模仿光的行为，按照光的折射定律运行，这样走出的就应当是最速降线先将这个问题离散化，取一个很小的正实数的d，若干个不同高度,用一组平行于 x 轴的直线,将质点所要通过的空间分成很多层，相邻平行线,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,10,之间所夹的部分是第 k 层当 d 很小的时候，可以认为质点在每一层内部的速度不变，以第 k 层内的平均速度,作为质点在这一层中的速度质点从第 k 层进入第 k+1 层时速度由 vk 变为 vk+1 ，发生折射，满足折射定律,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,令,是一个与
6、 k 无关的常数.由此可得各层与最速降线 交点的 x 轴坐标，从而可模拟得到最速降线。用变分法求最速降线的方程参见姜启源数学模型(第三版).,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,12,第二部分 实验解读,科学出版社,2019/10/18,13,南通大学理学院计算科学与统计学系,通过以上分析可知，本实验首先从折线通过积分法计算时间排除最速降线为常见曲线直线、圆弧、抛物线，其次从固定均分 x 轴坐标再利用多元函数极值的方法寻找多段折线作为最速降线的近似而感性认识最速降线的形状，最后按照光的折射定律让质点模仿光的行为来确定最速降线的形状。,科学出版社,南通大学理学院计
7、算科学与统计学系,2019/10/18,14,第三部分 制订实验计划,科学出版社,2019/10/18,15,南通大学理学院计算科学与统计学系,A 编写程序,时间计算用 NIntegrate ，求极值用 FindMinimum ，作图用 Plot 等命令可以解决。按照光的折射定律让质点模仿光的行为来确定最速降线形状的程序见实验过程介绍。,B 实验思路,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,16,第一步 初步认识,1 对从A到B的以下曲线：(i)直线段，()圆弧，()抛物线段，计算时间T的近似值通过比较，看质点沿着上述哪一种曲线从A到B所花的时间更少注意从到的圆弧和
8、抛物线段都不是唯一的可任选一条，并且尝试不同的选择方案，看哪一种更好2 直线段AB的中点M的坐标为（a/2,h/2),保持M的横坐标不变，将它的纵坐标改变为某个值y(h/2)，得到点P(a/2,y)分别取曲线C为：(i)折线APB，()从A经过P到B的抛物线段计算质点经C从A到B所花的时间按照优化方法，选择y的适当的值y*，使T最小,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,17,第二步 寻找最速降线,取定一组 a , h 值 , 用Mathematica求多元函数最小值的语句求 n-1元函数T=T(y1,y2, ,yn-1)的最小值点为此，首先选定一个 n 值，比如
9、选 n = 16利用Mathematica语句定义出T依赖于15个变量y1，y2，y15的表达式还要选定自变量(y1，y2，y15)的一组初始值(h1，h2，h15)比如，可以取从A到B的直线段作为初始曲线，以直线上对应点的坐标依次作为初始值h1，h2，h15，然后运行语句 FindMinimumT,y1,h1,y2,h2,，y15,h15 求得最小值点y1*,y2*, ，y15 *。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,18,依次将点连成折线或光滑曲线，就得到从A到B的最速降线的近似形状.取不同的 a , h 值，观察所得的结果特别取一组比值h/a很小的a ,
10、 h，观察最速降线先下降后上升的情形.,第三步 模拟最速降线,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,19,我们知道光总是走最省时间的路线由此想到，可以让质点模仿光的行为，按照光的折射定律运行，这样走出的就应当是最速降线先将这个问题离散化，取一个很小的正实数的d，若干个不同高度,用一组平行于 x 轴的直线,将质点所要通过的空间分成很多层（例如 n 层），相邻平行线,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,之间所夹的部分是第 k 层当 d 很小的时候，可以认为质点在每一层内部的速度不变，以第 k 层内的平均速度,作为质点在这一层中的速度质点
11、从第 k 层进入第 k+1 层时速度由 vk 变为 vk+1 ，发生折射，满足折射定律,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,21,令,是一个与 k 无关的常数。由此可得各层与最速降线 交点的 x 轴坐标，给出 n 不同的值，就得到最速降线的近似，让 n 越来越大就可得到最速降线。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,22,第四部分 实验过程演示,科学出版社,2019/10/18,23,南通大学理学院计算科学与统计学系,一、初 步 认 识,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,24,Mathematica编程如下,
12、科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,25,运行后结果如下：,坐标： A（0，0） B（10，10）,抛物线 T3=1.88227,圆弧T2=1.8729,直线段T1=2.02031,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,26,p0,p1,p2,p3,p4,p5,输出结果为：Y*= 7.93835，T=1.91284,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,27,二、极值法,从A经过P到B的抛物线段：,用Mathematic编程求出m,n的值分别为-3/25，11/5,输入程序：,输出结果为：T=1.855
13、1,图象为：,通过比较上述结果发现A，B间插入一个节点时，时间明显减少 了，所以可以猜测增加N个节点后，效果会更好，并且曲线越接近最速降线 。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,28,寻找最优分点：,的最小值点：,取定一个 ，在区间0,a中插入 等分点 ,从而在曲线上得到相应的 个分点 ， 取定一组 值，用FindMinimum语句求 元函数：,取n=17时 T=1.85576,取n=16 时 T=1.85125,取n=18时 T=1.85681,取n=10时 T=1.85569,取n=32时 T= 1.93548,分析：我们发现用Findminimum语句时
14、，当n=16时T最小，曲线也比较光滑，可能最接近最速降线的形状，而理论上应该步长越小T越小，由此可见用Findminimum语句求解时的误差比较大,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,29,拟，模拟过程实际上是产生点列 的过程。,前面用求多元函数极值的数值方法求得了最速降,线的近似形状。但我们希望知道：精确的最速降,线到底是什么曲线？它的曲线方程是什么？,下面我们用物理原理上的折射定律来进行数值模,三、光学原理模拟,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,30,下面我们用数值模拟计算的方法来计算各点的坐标,如图建立坐标系,设A为原点,
15、B为(c,H),将带状区域0 y H,用平行于x 轴的直线y=yk=kH/n,把这区域分成n个带状小区域,在带状域yk-1yyk ,可近似认为,而曲线段近似认为是直线段,其长度,于是质点从A到B所需时间近似为,(n -1元函数!),科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,31,即,所以,可令,要使 最小，相当于求多元函数的极值，因此，令,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,32,又由,于是有,所以,同理得,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,33,+,于是,得到：,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统
16、计学系,2019/10/18,34,，（ 为给定的误差），则 为所求的结果。,再将所求出的 值代入上述方程中，求出相应的 ，由各点,由上式，可用二分法求 值，设 ，且 ，计算,为了求 ，可令：,所连成的曲线就是所求的“最速降线”。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,35,用Matlab编程如下：, H=10.0;n=16;h=H/n; g=9.8;f=1.0; a =0; b=2/(sqrt(2*g*(n-1)/n*H)+sqrt(2*g*H); c=(a+b)/2; i=1; while abs(f)1e-10s=0;for j=1:nv=(sqrt(2*g
17、*j*h)+sqrt(2*g*(j-1)*h)/2;s=s+v/sqrt(1.0-c2*v2);endf=c-10.0/(h*s);if f0,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,36,b=c;else a=c;endc=(a+b)/2;i=i+1;end x(1)=sqrt(9.8*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*v*v); for k=2:nv=(sqrt(2*g*k*h)+sqrt(2*g*(k-1)*h)/2;x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v);end plot(x,-(0.625:.625:10),*r)
18、 n=16（x,-(0.3125:.3125:10),*r）n=32,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,37,运行后所得图形如下：,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,38,用Mathematica编程得出的结果如下,n=16时，T=1.84534,n=32时，T=1.8446,n=100时，T=1.84429,上面我们用计算机模拟实验的方法得到了最速降线的近似形状，,曲线方程是什么呢？下面我们就来推导这一方程。,越大，步长越小，曲线越接近最速降线，那么最速降线的精确,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10
19、/18,39,将 代入上式得：,于是质点滑行时间应表为 的泛函,任一点处的速度 满足（ 为弧长）,为了使问题简化，将 点取为坐标原点，在如图所示的坐,标系中 点坐标为 根据能量守恒定律，质点在曲线 上,用变分法求解最速降线的精确方程,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,40,端点条件为,最速降线满足欧拉方程,等价于,作一次积分得,只依赖于 ，而 不含 ，欧拉方程可展开为,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,41,即,化为参数方程可表为,这是旋轮线方程，由 可知 ， 由另一端 点条件 确定。,为任意常数，将 代入得,科学出版社,南通
20、大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,42,按上述参数方程作出的旋轮线经过原点A（0，0），,求出适当的,B（a,h）时解方程组,用Mathematica语句,求出的 t=2.412, c1=5.72917,用Plot语句画出左边函数图象：发现它与横坐标的交点 在2.5左右,当a=10,h=10时，两式相除消去c1，整理得t的一元,方程,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,43,五、总 结,（1）时间的比较,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,44,（2）将前面的用求多元函数最小值的方法与模拟出的最速降线与,求极小值
21、,旋轮线,旋轮线进行比较如图所示（红色的表示模拟的，绿色表示,用多元函数求最小值的方法，蓝色表示旋轮线）,n=100时模拟出的曲线,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,45,极小值与旋轮线比较,n=100时模拟出的图形与 理论推导出的图形的比较,从以上的图形我们也可以看出 模拟的相对效果比较好，更接 近最速降线的近似形状,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2019/10/18,46,2019/10/18,南通大学理学院计算科学与统计学系,47,科学出版社,2019/10/18,南通大学理学院计算科学与统计学系,48,I want to thank you for being a part of my life.,下课啦,科学出版社,
