1、日常生活中的悖论问题在 我 们 的 生 活 中 ， 存 在 着 许 多 的 数 学 问 题 ， 其 中 有 一 些 现 象 ， 看 着貌 似 是 对 的 ， 但 生 活 常 识 又 告 诉 我 们 它 是 错 的 ， 我 们 把 这 一 类 问 题 叫做 悖 论 问 题 。悖 论 问 题 在 我 们 的 生 活 中 十 分 常 见 ， 而 且 其 中 充 满 着 许 多 数 学 乐 趣 ，所 以 今 天 就 让 我 们 来 探 究 一 下 悖 论 问 题 。一 悖 论 问 题 的 原 理 及 解 悖 的 方 法首 先 ， 悖 论 是 指 在 逻 辑 上 可 以 推 导 出 互 相 矛 盾 之
2、结 论 ， 但 表 面 上 又能 自 圆 其 说 的 命 题 或 理 论 体 系 。 悖 论 的 出 现 往 往 是 因 为 人 们 对 某 些 概 念的 理 解 认 识 不 够 深 刻 正 确 所 致 。 悖 论 的 成 因 极 为 复 杂 且 深 刻 ， 对它 们 的 深 入 研 究 有 助 于 数 学 、 逻 辑 学 、 语 义 学 等 等 理 论 学 科 的 发 展 ， 因此 具 有 重 要 意 义 ， 而 悖 论 是 表 面 上 同 一 命 题 或 推 理 中 隐 函 着 两 个 对 立 的结 论 ， 而 这 两 个 结 论 都 能 自 圆 其 说 。 悖 论 的 抽 象 公 式 就
3、 是 :如 果 事 件A 发 生 ， 则 推 导 出 非 A， 非 A 发 生 则 推 导 出 A。悖 论 是 命 题 或 推 理 中 隐 含 的 思 维 的 不 同 层 次 、 意 义 (内 容 )和 表 达方 式 (形 式 )、 主 观 和 客 观 、 主 体 和 客 体 、 事 实 和 价 值 的 混 淆 ， 是 思 维 内容 与 思 维 形 式 、 思 维 主 体 与 思 维 客 体 、 思 维 层 次 与 思 维 对 象 的 不 对 称 ，是 思 维 结 构 、 逻 辑 结 构 的 不 对 称 。悖 论 根 源 于 知 性 认 识 、 知 性 逻 辑 (传 统 逻 辑 )、 矛 盾
4、逻 辑 的 局 限 性 。产 生 悖 论 的 根 本 原 因 是 把 传 统 逻 辑 形 式 化 、 把 传 统 逻 辑 普 适 性 绝 对 化 。其 次 ， 就 是 悖 论 的 解 决 办 法 ， 一 般 而 言 ， 只 要 运 用 对 称 逻 辑 ， 没有 一 个 悖 论 无 解 。 悖 论 是 表 面 上 同 一 命 题 或 推 理 中 隐 函 着 两 个 对 立 的 结论 ， 而 这 两 个 结 论 都 能 自 圆 其 说 。 悖 论 的 抽 象 公 式 就 是 :如 果 事 件 A发 生 ， 则 推 导 出 非 A， 非 A 发 生 则 推 导 出 A。 悖 论 是 命 题 或 推
5、理 中 隐含 的 思 维 的 不 同 层 次 、 意 义 (内 容 )和 表 达 方 式 (形 式 )、 主 观 和 客 观 、主 体 和 客 体 、 事 实 和 价 值 的 混 淆 ， 是 思 维 内 容 与 思 维 形 式 、 思 维 主 体 与思 维 客 体 、 思 维 层 次 与 思 维 对 象 的 不 对 称 ， 是 思 维 结 构 、 逻 辑 结 构 的 不对 称 。 悖 论 根 源 于 知 性 认 识 、 知 性 逻 辑 (传 统 逻 辑 )、 矛 盾 逻 辑 的 局 限性 。 产 生 悖 论 的 根 本 原 因 是 把 传 统 逻 辑 形 式 化 、 把 传 统 逻 辑 普 适
6、 性 绝 对化 。例 如 ， 用 对 称 逻 辑 思 维 层 次 法 解 “说 谎 者 悖 论 “， 这 个 悖 论 即 “我在 说 谎 “这 句 话 中 所 蕴 含 的 悖 论 。 这 个 悖 论 表 面 上 由 “我 在 说 谎 “和 “我 说 实 话 “这 两 个 对 立 的 “命 题 “组 成 ， 实 际 上 这 两 个 “命 题 “并 不 等 价-前 一 个 命 题 包 含 思 维 内 容 ， 后 一 个 “命 题 “只 是 前 一 个 命 题 的 语 言 表达 式 ， 因 此 后 一 个 “命 题 “不 是 严 格 意 义 上 的 命 题 。 长 期 以 来 人 们 之 所以 把
7、其 看 成 悖 论 ， 是 由 于 把 两 个 “命 题 “看 成 等 价 ， 即 都 是 思 维 内 容 和语 言 表 达 式 统 一 的 命 题 。 只 要 把 思 维 的 两 大 层 次 :命 题 的 思 维 内 容 和命 题 的 语 言 表 达 式 区 别 开 来 ， “我 在 说 谎 “这 个 悖 论 即 可 化 解 。二 数 学 界 典 型 的 悖 论芝 诺 悖 论 是 古 希 腊 数 学 家 芝 诺 提 出 的 一 系 列 关 于 运 动 的 不 可 分 性 的哲 学 悖 论 。 这 些 悖 论 由 于 被 记 录 在 亚 里 士 多 德 的 物 理 学 一 书 中 而为 后 人
8、 所 知 。 芝 诺 提 出 这 些 悖 论 是 为 了 支 持 他 老 师 巴 门 尼 德 关 于 “存在 ”不 动 、 是 一 的 学 说 。 这 些 悖 论 中 最 著 名 的 两 个 是 ： “阿 喀 琉 斯 跑 不过 乌 龟 ”和 “飞 矢 不 动 ”。 这 些 方 法 现 在 可 以 用 微 积 分 （ 无 限 ） 的 概 念 解释 。还 有 著 名 的 罗 素 悖 论 ， 在 世 界 文 学 名 著 唐 吉 诃 德 中 有 这 样 一个 故 事 ： 唐 吉 诃 德 的 仆 人 桑 乔 潘 萨 跑 到 一 个 小 岛 上 ， 成 了 这 个 岛 的 国王 。 他 颁 布 了 一 条
9、 奇 怪 的 法 律 ： 每 一 个 到 达 这 个 岛 的 人 都 必 须 回 答 一 个问 题 ： “你 到 这 里 来 做 什 么 ？ ”如 果 回 答 对 了 ， 就 允 许 他 在 岛 上 游 玩 ，而 如 果 答 错 了 ， 就 要 把 他 绞 死 。 对 于 每 一 个 到 岛 上 来 的 人 ， 或 者 是 尽 兴地 玩 ， 或 者 是 被 吊 上 绞 架 。 有 多 少 人 敢 冒 死 到 这 岛 上 去 玩 呢 ？ 一 天 ， 有一 个 胆 大 包 天 的 人 来 了 ， 他 照 例 被 问 了 这 个 问 题 ， 而 这 个 人 的 回 答 是 ：“我 到 这 里 来 是
10、 要 被 绞 死 的 。 ”请 问 桑 乔 潘 萨 是 让 他 在 岛 上 玩 ， 还 是 把他 绞 死 呢 ？ 如 果 应 该 让 他 在 岛 上 游 玩 ， 那 就 与 他 说 “要 被 绞 死 ”的 话不 相 符 合 ， 这 就 是 说 ， 他 说 “要 被 绞 死 ”是 错 话 。 既 然 他 说 错 了 ， 就 应该 被 处 绞 刑 。 但 如 果 桑 乔 潘 萨 要 把 他 绞 死 呢 ？ 这 时 他 说 的 “要 被 绞 死 ”就 与 事 实 相 符 ， 从 而 就 是 对 的 ， 既 然 他 答 对 了 ， 就 不 该 被 绞 死 ， 而 应 该让 他 在 岛 上 玩 。 小
11、岛 的 国 王 发 现 ， 他 的 法 律 无 法 执 行 ， 因 为 不 管 怎 么 执行 ， 都 使 法 律 受 到 破 坏 。 他 思 索 再 三 ， 最 后 让 卫 兵 把 他 放 了 ， 并 且 宣 布这 条 法 律 作 废 。 而 罗 素 悖 论 的 原 理 可 以 用 集 合 的 角 度 解 决 ， 即 集 合可 以 分 为 两 类 ： 第 一 类 集 合 的 特 征 是 ： 集 合 本 身 又 是 集 合 中 的 元 素 ， 例如 当 时 人 们 经 常 说 的 “所 有 集 合 所 成 的 集 合 ”； 第 二 类 集 合 的 特 征 是 ：集 合 本 身 不 是 集 合 的
12、 元 素 ， 例 如 直 线 上 点 的 集 合 。 显 然 ， 一 个 集 合 必 须是 并 且 只 能 是 这 两 类 集 合 中 的 一 类 。 现 在 假 定 R 是 所 有 第 二 类 集 合 所成 的 集 合 。 那 么 ， R 是 哪 一 类 的 集 合 呢 ？ 罗 素 悖 论 如 果 R 是 第 一类 的 ， R 是 自 己 的 元 素 ， 但 由 定 义 ， R 只 由 第 二 类 集 合 组 成 ， 于 是R 又 是 第 二 类 集 合 ； 如 果 R 是 第 二 类 集 合 ， 那 么 ， 由 R 的 定 义 ， R必 须 是 R 的 元 素 ， 从 而 R 又 是 第
13、一 类 集 合 。 总 之 ， 左 右 为 难 ， 无 法 给出 回 答 。而 说 谎 者 悖 论 则 是 与 自 然 语 言 的 表 达 方 式 密 切 相 关 的 悖 论 ， 涉 及 真假 、 定 义 、 名 称 、 意 义 等 语 义 方 面 的 概 念 ， 这 类 悖 论 被 称 为 “语 义 学悖 论 ”。 语 义 学 悖 论 的 实 例 很 多 ， “格 列 林 -纳 尔 逊 ”悖 论 ”就 饶 有 趣 味 ，它 与 形 容 词 的 应 用 有 关 ： 将 形 容 词 分 为 两 类 ， 一 类 称 为 “自 谓 的 ”，即 可 对 于 它 们 自 身 成 立 、 对 自 己 为
14、真 的 。 例 如 ， 形 容 词“Polysyllabic（ 多 音 节 的 ） ”本 身 是 多 音 节 的 ， “English（ 英 文 的 ） ”本 身 是 英 文 的 ， 它 们 都 是 自 谓 的 。 另 一 类 称 为 “它 谓 的 ”， 即 对 于 它 们自 身 不 成 立 、 对 自 己 不 真 的 。 例 如 ， 形 容 词 “Monosyllabic（ 单 音 节的 ） ”是 它 谓 的 ， 因 为 这 个 词 不 是 一 个 单 音 节 词 ； “英 文 的 ”也 是 它 谓的 ， 因 为 这 个 词 是 中 文 的 而 不 是 英 文 的 。 问 题 来 了 ： 形
15、 容 词 “它 谓 的 ”是 不 是 它 谓 的 ？ 得 到 的 结 果 是 ： 如 果 “它 谓 的 ”是 它 谓 的 ， 那 么 会 推出 “它 谓 的 ”不 是 它 谓 的 ， 反 之 亦 然 。 导 致 了 自 相 矛 盾 。 三 对 悖 论 问 题 的 认 识大 家 不 要 以 为 悖 论 是 错 误 的 ， 所 以 它 的 存 在 会 让 数 学 往 相 反 的 方 向 走去 。 其 实 恰 恰 相 反 ， 它 的 存 在 会 让 数 学 的 基 础 越 来 越 坚 固 。 一 些 悖 论 之所 以 会 出 现 ， 并 非 恶 意 ， 是 由 于 实 际 上 它 确 实 存 在 ，
16、 也 就 是 说 数 学 上 尚存 在 这 个 漏 洞 ， 比 如 说 集 合 论 里 的 “罗 素 悖 论 “， 它 的 消 除 使 得 集 合 论更 加 健 全 !四 小 结通 过 本 次 对 悖 论 问 题 的 研 究 与 学 习 ， 我 认 识 到 ， 在 我 们 的 生 活 处 处 都存 在 着 悖 论 问 题 ， 而 且 近 代 科 学 的 发 展 ， 也 离 不 开 悖 论 问 题 的 帮 助 ， 而且 随 着 现 代 数 学 、 逻 辑 学 、 物 理 学 和 天 文 学 的 快 速 发 展 ， 又 有 不 少 新 的悖 论 大 量 涌 现 ， 人 们 在 孜 孜 不 倦 地 探 索 ， 预 计 他 们 的 成 果 将 极 大 地 改 变我 们 的 思 维 观 念 与 处 事 原 则 。
