通信原理公式总结.pdf

1、 考研 通信原理公式手册 Date: 2007-05-02 复习通信原理之前应该知道的 通 信 与 信 息 系 统 这一 学 科 的 研 究 生 入 学 考 试 专 业 课 包 括 通 信 原 理 和 信 号 与 系 统 两 门 。 两 者 风 格 不 同 ， 所 以 复 习时的 策 略 和方法 也 应 适当调 整 。 通 信 原 理课程 主 要 考察基 本 原 理 ， 因 此 数 学计算 量 不 大 ， 题 型 相 对信号 与 系 统来说 也 比 较固定 。 教 材 中 虽 有 相当数 量 的 公式需 要 记 忆， 但 都 比 较简单 ， 解题 时只 需 确 定好题 型 ， 带 入相 应 公

2、 式计算 ， 基本 上 没 有 过 于 繁杂的 步 骤 的特殊 的 技 巧。 复 习 好 通信原 理 课 程 ， 在 于 充 分理解 各 种 基本原 理 。 原 理是 基 础 ， 解题 是 目 的 。 应 当 在 牢牢把 握 基 础 知 识 的 情况下 ， 有 方法的 、 有 策略的 巩 固 、 记忆 学 过 的知识 点 和 解题思 路 。 切不可 刚 刚 开始复 习 ， 就 打 算 用 背 题 型的办 法 来 对待， 因 为 越 到复 习 的 最后阶 段 ， 越 要求 对 基 本原理 有 个 清晰的 认 识 ， 越要 求 对 全书 的 各 章 节 有 一 个 总 体 的 关 联 和 综 合

3、。 如 果 基 本 的 知 识 点 都 不 清 晰 ， 后 期 复 习 的 效 果 将 大 打 折 扣 ， 那 样 的 话 ， 摆 在 我 们面前 的 就 是各个 章 节 独立的 “ 块 ” ，而没 有 形 成紧密 相 连 的“体 ” ， 综 合就更 无 从 谈起。 复 习 专 业课， 同 复 习 数学 相 似 ， 复习 一 两 遍是不 够 的 ， 建议 复 习 三遍以 上 。 当 然每 一 轮 复习的 侧 重 是 不 同 的 。下面 简 要 说一下 各 轮 的安排 。 第 一 轮 ，主要 目 的 在于回 顾 知 识点。 由 于 考 研时， 通 信 原 理课 已 经 结课至 少 半 年时间 ，

4、 有 的 人已 经 忘 记了很 多 内容。 另 外 也 与每个 人 当 时 学习掌 握情况 有 关 ， 如果 当 时 掌握得 不 是 很牢固 ， 到 现 在可 能 也 忘记得 差 不 多了。 所 以 有 必要 在 深 入复 习 之 前 ， 大 略地 翻 看 以前的 教 材 和 笔记 ， 看看 过去 学 过 些什么 。 这一 阶段 不 必 背记公 式 和 知识点 ， 只要 从 前 往 后 翻 看知识 点 即 可， 不必 做 题。 这 样的 目 的 就是找 到 当 时学它 的 感 觉。 当教 材 看 完后 ， 可 翻 开 教材目 录 ， 对 照 标 题看看 自 己 能不能 大 概 想出该 章 节

5、有那些 主 要 内容。 如 果 有 能力 ， 在 翻 看教 材 的 过程中 ， 可 以 记 忆 一 些 简 单的 公 式 和 知 识 点 ， 太 过 复 杂 的 公 式 （ 比 如 功 率 谱 密 度 公 式 ） 可 以 在 第 二 、 三 轮 复 习 时 重 点 背 记 。 第 二 轮 ，主要 目 的 在于熟 记 知 识点和 公 式 、总结 题 型 和解法 ， 做 一定量 的 练 习题。 经 过 第 一轮回 顾 后 ， 应该 对 教 材内容 有 些 印象了 。 现 在需要 的 是 熟记公 式 、 知识点 、 解 题思路 ， 并 做 一定量 的习题 巩 固。 这一 阶 段， 背记 公 式 可能

6、效 果 不 是很明 显 ， 但 一定 要 结 合习题 巩 固， 习题 可 以 不亲 自 动 手 做 ， 可 以 看 一 些 辅 导 书 的 题 解 过 程 ， 熟 悉 一 下 解 题 思 路 ， 姑 且 也 可 以 称 为 “ 套 路 ” ， 因 为 这 些 题 都 有 基 本 固 定的模 式 。 这 一轮 下 来 以后， 可 能一 些公 式 还 是印象 不 深， 不过 问 题 也不大 ， 可待 第三 轮 时 重点 强 化记忆 ， 但不 能 完 全依赖 第 三 轮 。 这 一 阶 段， 最 主 要 的目的 不 是 背记公 式 ， 而是总 结 各 章节的 题 型 ， 并 掌 握 相 应 的解题

7、思 路 和方法 。 会 解题是 这 一 轮的重 点 ， 记不住 的 公 式可以 在 第 三轮强 化 。 第 三 轮 ，主要 目 的 是 强化 记 忆 公式、 知 识 点和解 题 思 路。 经 过 前 两轮的 复 习 ， 有人 可 能 觉得已 经 复 习得差 不 多 了。 但 这 还 不能说 明 你 在考场 上 也 能轻松 准 确 地 写 出 每 个公式 的 每 个符号 。 考 研数学 复 习 的最后 阶 段 不是讲 究 背 公式吗 ？ 专 业课也 一 样 需要。 背 公 式 不 是 让 人 单 纯地背 一 大 堆数学 符 号， 而是 让 人 在理解 的 基 础上， 会 用、 并且 熟 用 公式

8、， 要 达到 像不 用 思 考 就 说 出 1 加 1 等于 2 那 样 写出 每 一 个公式 的 程 度。 背 公 式 看似投 机 取 巧， 但 这 能 让你在 很 短 的时间 内 掌 握大 量 复 杂 的 公式， 其 效 果 只有 上 了 考场才 能 充 分体现 出 来 。 因为 在 考 场上， 轻 松 准 确地 写 出 公式能 节 省 相当 的 时 间 ， 且能给 自 己 信心， 稳 定 情绪。 对 基 本公式 都 咬 不准， 接 下 来的解 题 过 程， 你 又 能 有多大 把 握 保 证 做 完 了 都 正确且 能 得 分呢？ 没 把 握就直 接 导 致信心 不 足 ， 畏首 畏 尾

9、 ， 间接 地 影 响了后 面 各 题的解 答 。 这 是 我 们 不 希 望看到 的 。 背 记 公 式也有 技 巧 。 背记 公 式 不能采 取 像 背诵英 语 课 文那样 的 方 法。 我 在 背 任何公 式 的 时候都 把 公 式 视 为 图 像 ， 而 不 仅 仅是文 字 。 这 样是 为 了 在大脑 中 浮 现出公 式 的 轮廓， 多 次 记 忆后 就 可 清晰地 显 现 出公 式 的 细 节 。 背 公 式 最 后 是 为 了 考 场 上 能 写 出 来 ， 不 需 要 用 口 读 出 来 ， 那 种 出 声 的 背 法 ， 我 并 不 推 荐 。 （ 每 个人 都 有 自己的

10、背 法 ， 我的 背 法 不一定 适 合 所有人 ， 这 里 只是 提 供 一种经 过 实 践 检验 的 可 行的方 法 。 它 的 效 果 并 不 是很快 地 就 显现出 来 ， 也就是 说 ， 一开始 不 见 得就 能 像 口 头拼写 单 词 beauty = b-e-a-u-t-y 一样， 快 速 说 出 公 式 。 但 当 你 需 要 在 纸 上 写 出 公 式 时 ， 这 种 方 法 的 效 果 就 很 明 显 了 。 ） 背 课 文 、 背 政 治 需 要 顺 理 成章、 有逻辑 地 说 出内容 ， 这 需要大 量 运 用左脑 。 背 公式只 需 背 一句， 不 需 要有多 强 的

11、 逻辑性 ， 所 以 用 图 像法背， 利用 一 下 你的右 脑 ， 也许有 更 大 的收获 。 另 外 在 背公式 的 周 期安排 上 ， 小 公式 、 容易 记的 公 式， 最好 每 天 回顾一 遍 ， 要 在大 脑 中 用 “想 ” 的 方 法 背 ， 把 公式 的 每 个符号 从 大 脑中抽 出 来。 小公 式 回 顾的次 数 多 了， 就 能 记 住很久 ， 以后 就可 以 多 隔几 天 再 背 一 次。 大 公 式、难记 忆 的 公式，像 功率 谱密 度 公 式、PCM 的 信 号 量化 误 差 平均功 率 比 推导公 式 、 各 种 常 见 方 波 （包 括 单 极性 NRZ 、

12、 双 极 性 NRZ 、 单 极 性 RZ 、 双 极 性 RZ ） 的 功 率 谱公 式 等 等 ， 最 好 每 天特别 安 排 一 段 时 间 背 ， 要 细 背 ， 反 复 地 “ 看 背 写 ” 。 此 后 每 天 背 之 前 ， 先 检 查 前 一 天 背 完 的 效 果 。 这 里 要 说 明 一下， 最 初刚 开 始 背的时 候 ， 前 一天 背 好 的 个别 公式 ， 可能 第 二 天还记 得 很 清晰， 可 若觉 得 问 题 不 大就 把 精 力 从 它移到 别 处， 放松 了 警 惕， 第 三 天 就可能 什 么 也写不 出 来。 所以 背 公 式是个 长 期 坚持的 工

13、作， 短 期 效 果 可 能很好 ， 但 这不是 我 们 的最终 目 的 ，我们 要 的 是长效 。 通 信 原 理不是 孤 独 的学科 ， 它 与信 号与 系 统 有着很 大 的 联系 。 通 信 原 理将用 到 很 多信号 与 系 统的公 式 ， 比 如 傅 立叶变 换 等 等 ， 同 样 信 号与系 统 也 需要通 信 原 理的基 本 原 理知识 ， 比 如 调制 与 解 调 。 因 此 前 面说 的 背 公 式 ，应该 与 信 号与系 统 的 背公式 同 步 进行。 通 信 原 理课程 各 章 复习顺 序 ： 我 们 可 以发现 ， 这 样的复 习 顺 序， 从 绪 论 到信道 ， 都

14、 是基础 知 识 。 此后 的 各 章， 正 好 符 合了一 个 数 字 通 信 系 统大致 上 的 级联顺 序 。 这样的 复 习 顺序， 有 助 于把握 各 章 节的内 在 联 系。 下 面 就 进入正 题 ， 总结一 下 各 章节的 内 容 。 绪论 随机 过程 信道 模拟信 号的数 字传输 数字基 带传输 系统 正弦载 波数字 调制 系统 差错 控制 编码 同步 原理第一章 绪论 1 、 信息量 = 1 = ( ) 其单位与对数底 有关。 = 2 时 ， 2 = ，单位是比特 ； = 时 ， = ， 单位是奈特 ； = 10 时 ， 10 = ， 单位是哈特莱 （ ） 1 = 1.44

15、3 ，用于不能计算以 2 为底的对数的计算器，先算 ，再乘 1.443。 2 、 熵 （ 平 均信息 量 ） = =1 1 = =1 ( 符号 ) 当信源中每个符号等概率独立出现时，熵有最大值。设此时信源有M 个符号，则信源的最大熵： = 1 =1 1 = ( 符号 ) 一条由 个符号构成的消息，其总信息量 = ( ) 3 、 码 元 传 输速 率 码元 速率 与进制数无关，仅与传输的码 元长度 有关。 = 1 或 在信息速 率不变的情况下， 进制的码 元速率 与二进制的信息速率 之间有以下转换关系： 2 = 4 、 信息 传 输速 率 单位： 秒 或 或 或 = ( ) 当等概传输时，熵有最

16、大值 , 则 也达到最大。 = ( ) (为进制数) = 2 时， = 5 、 频带 利 用率 （1 ）用 码元传输速率表示的频带利用率 = ( ) ， 即单位频带内的码元传输速率。 （2 ）用 信息传输速率表示的频带利用率 = ( ) ，即单位频带内的信息传输速率。 6 、 误码 率 （码 元 差 错率） = 错误接收码元数 传送总码元数 = 7 、 误信 率 （信 息 差 错率） 二 进 制 时有 = = 错误接收比特数 传送总比特数 第二章 随机过程 1 、随机过程 的数字特征 （1 ）均值（ 数学期望） = 1 , = （2 ）方差 = 2 = 2 2 = 2 当 = 0 时 ， 方差

17、 2 = 2 （3 ）相关 函数 1 , 2 = 1 2 = 1 2 2 1 , 2 ; 1 , 2 1 2 （4 ）协方 差函数 1 , 2 = 1 , 2 1 2 当 1 = 0 或 2 = 0 时， 1 , 2 = 1 , 2 令 2 = 1 + ，则 1 , 2 可表示为 1 , 1 + 。 说明， 相关函数是起始时刻 1 和时间间隔 的函数。 2 、平稳随机 过程 （1 ）狭义 平稳 对任 意的 和 ，随机过程 的 维概率密度函数满足 1 , 2 , , ; 1 , 2 , , = 1 , 2 , , ; 1 + , 2 + , , + , 则称 是狭义平稳。 含 义： 指 随机 过

18、程 的 统计 特性 不 随时 间的 推 移而 变化 ， 即当 取样 点 在时 间轴 上 做任 意平移时， 随机过程的所有有限维分布函数不变，且有： 一维分布 与时间 无关： 1 1 , 1 = 1 ( 1 ) ； 二维分布 只与 有关： 2 1 , 2 ; 1 , 2 = 2 ( 1 , 2 ; ) （2 ）广义平 稳 若随 机过程 的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与时间间隔 有关，即: = , 1 , 1 + = 则称 是广义平稳。 注 狭义平稳一 定是广义平稳的， 反之不一定成立。 通信系统中所遇到的信号及噪声， 大多数可 视为平稳随机过程。 以后讨论的随机过程除特殊说明外， 均假定是

19、平稳的， 且均指广义平稳。 3 、各态历经 性（遍历性） 设 是平稳随机过程 的一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为： = = 1 2 2 = + = 1 ( + ) 2 2 若依概率1使下式成立： = , = ，则称平 稳随机过程 具有各态历经性。 注 具 有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。 在通信 系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。 4 、相关函数 的性质 设 为实平稳随机过程，则其自相关函数 = + ，它具有如下性质： （1 ） 0 = 2 = （平均功率） （2 ） = 2 （直流功 率） （3 ） 0 = 2（交

20、流功率 、方差） ， 当均值为0时，有 0 = 2 。 （4 ） = （ 的偶函数） （5 ） 0 （ 的上界） 注 其中 （1 ） 、 （2 ） 、 （4）、（ 5 ）常 用 于 判 断 给 出 的 图 形 是 否 可 能 是 某 个 平 稳 随 机 过 程 的 自 相 关 函 数 。 5 、频谱特性 随机过程 的频谱特性用它的功率谱密度来表示 。 （维纳 辛钦关系） = = 1 2 或 = 2 = 2 = 2 当 = 0 时，有 0 = 1 2 = ，为总平均 功率。 具有如下性质： （1 ） 0 ， 非负性； （2 ） = ， 偶函数。 单边 功率 谱密度 1 为： 1 = 2 , 0

21、0 , 0 这相当于 把双边的功率谱折叠起来放在单边的正频率上。 求功率 有两种方法： （1 ）已知 时， = 0 ； （2 ）已知 时， = 1 2 = 。 6 、高斯随机 过程（正态随机过程） （1 ）定义 ：若随机过程 的任意 维( = 1,2, ) 分布都服从正态，则称它为高斯随机过程。 （2 ）性质 ： 若高斯 随机过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的。 若高斯 随机过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的。 若干个 高斯过程的代数和的过程仍是高斯型。 高斯过 程经过线性变换（或通过线性系统）后的过程仍是高斯型。 （3 ）一维 概率密度函数： = 1 2 ( ) 2 2 2

22、其中 ， 、 2 为常数，分别为期望、方差。 其性 质同正态分布。 （4 ）误差 函数： = 2 2 0 两者相通 其性质： 2 + 0 = 2, 2 = + 2 2 = 2 + 0, 2 2 = 2 + （5 ）互补 误差函数： = 1 = 2 2 当 1 时， （实际应 用中只要 2即可） ，有以下 近似式： 1 2这 将在正弦载波数字调制系统一章中用到。 7 、高斯白噪 声 = 0 2( ) = 0 2 注 白噪声 的自相关函数 只在 = 0 处才有值， 而在所有 0的位置上， = 0。 这说明， 白噪声 只有在 = 0 （同一时刻）才相关，而其他任意的两个时刻上的随机变量都是不相关的。

23、 实际上，如 果噪声的带宽远大于系统带宽，且它的功率谱在该通信系统所占带宽内接近常数，就可以把它视为 白噪声。 若白噪声被限制在 0 , 0 内， = 0 2, 0 , 0 0 , 其他 = 1 2 = 0 2 2 0 0 = 0 0 2 0 在 = 2 0 = 1, 2, 点不相关 8 、随机过程 通过线性系统 = = 若输有界 且系统是物理可实现的，则： = 或 = 0 （1 ）若线 性系统的输入 是平稳随机过程，则输出 也是平稳随机过程。 = 0 1 , 1 + = + = 即： 的均值与 无关，自相关函数只依赖时间间隔 。 （2 ）输出 功率谱密度是输入功率谱密度与系统功率传输函数的乘

24、积。 = 2 双边 当 要求输出过程的自相关函数 时， 可利用上式先求出 ， 然后求其反变换 ， 这比直接 计 算 要简便得多。 = 1 （3 ）若线 性系统的输入 是高斯过程，则输出 也是高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性 变 换后的过程仍是高斯型。 以白 噪声通过理想低通滤波器为例，设理想矩形的低通滤波器的传输特性为： = 0 2 , 0, 其它 输出 噪声的功率谱密度为： = 2 = 0 2 0 2 , 可 见 ， 输 出 噪 声 的 功 率 谱 密 度 在 内是均匀的，在此 范围外则为 零，如图（a ） 所 示 ， 通 常 把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为： = 0 2 0

25、 2 如 图（b ） 所 示，带 限 白 噪 声只 在 = 2 = 1,2,3, 上 得 到的 随 机 变 量才 不 相 关 。这 一 结 论告诉我们，若对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。 9 、窄带随机 过程 （1 ）定义 与表达式： 随机 过程通过以 为中心频率的窄带系统的输出， 即为窄带过程。 所谓窄带系统， 是指其通带宽度 ，且 0的系统， 如图 （a ） 所示。 它的波形是一个频率近似为 ， 包络和相位随机缓变 的正弦波，如图（b ）所 示。 窄带 的过程可表示为： = + , 0 等价式： = = ( ) = ( ) 其中 ， 及 分别是窄带过程 的随

26、机包络和相位， 和 分别称为同相分量和正交 分量，它们的变化相对于载波 的变化要缓慢得多，均属低通型过程。 （2 ）统计 特性： 结论 1 一个均 值为零， 方差为 2 的平稳高斯窄带过程 的同相分量 、 正交分量 同样 是平稳高斯过程， 且均值都为零， 方差也 相同。 此外， 在同一时刻上得到的 和 是 互不相关的或统计独立的。即有下式成立： = = = 0 2 = 2 = 2 0 = 0 = 0 结论 2 一个均 值为零， 方差为 2 的平稳高斯窄带过程 ， 其包络 的一维分布是瑞利分布， 相位 的 一 维 分 布 是 均 匀 分 布 ， 并 且 就 一 维 分 布 而 言 ， 与 是 统

27、 计 独 立 的 。 即有下式成立： = 2 2 2 2 , 0 = 1 2 , 0 2 , = 10、正弦波 加窄带高斯过程 合成信号 ： = + + 式 中 ， = 为 窄 带 高 斯 噪 声 ， 其 均 值 为 零 ； 正 弦 波 的 振 幅 和频率 为 常数， 在 0 ，2 上均匀分布，则： = + + = = + 式中 = + , = + 合成信号 的包络和相位分别为： = 2 + 2 , = 0 = , 0 2 服从广义瑞利分布，其概率密度为： = 2 1 2 2 2 + 2 0 2 , 0 式中， 0 是零阶修正贝塞尔函数，当 0时， 0 是单调上升函数，且有 0 0 = 1 。

28、如果 = 0 ， 则上式变为瑞利分布， 不再是均匀分布。 第三章 信道与噪声 1 、传输特性 与无失真传输条件 线性网络的传输特性 可用幅频特性 和相频特性 共同来描述。 满足无失真传输条件 的恒参信道是理想恒参信道，其等效的线性网络传输特性为： = 0 = = 0 , = 其中， 0 为传输系数， 为 时 间 延 迟 ， 它 们 都 是 与 频 率 无 关 的 常 数 。 幅 频 特 性 在 整 个 频 率 范 围 是 一 条 水平线，如图（a ）所示 。相频特性是 的线性函数，如图（b ）所示。 群迟延 频率特性： = = 它表示对信号的不同频率成分具有相同的迟延，如图（c ） 所示。 由

29、 可得理想恒参信道的冲激响应为 ： = 0 若输入信号为 ，则理想恒参信道输出为： = 0 可 见 ， 理 想 恒 参 信 道 对 信 号 在 幅 度 上 产 生 固 定 的 衰 减 ； 信 号 在 时 间 上 产 生 固 定 的 迟 延 。 这 种 情 况 也 称 信号是无 失真传输的。 2 、随参信道 的特性及对信号传输的影响 多径传播 后的接收信号 : = + 式中， 是合成波 的包络，其一维 分布为瑞利 分布； 是合成波 的相位 ，其一维分 布为均 匀分布。于是， 可视为一个窄带过程。 多径 传播 对信号传输的影响： （1 ）瑞利 型衰落 从波形 上看，多径传播使载波信号 变成了 包络和相位受调制的窄带信号。 （2 ）频率 弥散 从频 谱上看，多径传播使单一谱线变成了窄带频谱。 （3 ）频率 选择性衰落 当 发 送 的 信 号 是 具 有 一 定 频 带 宽 度 的 信 号 时 ， 多 径 传 播 除 了 会 使 信 号 产 生 瑞 利 型 衰 落 外 ， 还 会 产 生频率选择性衰落，这是信号频谱中某些分量被衰落的一种现象。 设最 大多径时延差为 ，则定义多径传播信道的相关带宽为： = 1 即相 邻传输零点的频率间隔。 如 果信 号 的 频 谱 比 宽，则产生严重的频率选择性衰落。当传输高速数字信号时，频率选择性 衰 落 将 会 造