1、第29卷2009年第2期3月高师理科学刊Joumal of science 0f Te舵he瑁Couege柚d UrIivers竹VoI29 No2M盯 2009文章编号：10079831(2009)02001004微分中值定理证明中辅助函数的构造宋振云，陈少元，涂琼霞(湖北职业技术学院信息技术学院。湖北孝感4320)摘要：由复数z+)，i与直角坐标平面上的点(工，)I)(五yR)的一一对应关系，将复平面与直角坐标平面看成是一致的，通过复数乘法运算构造出一系列拉格朗日中值定理证明中满足罗尔中值定理条件的辅助函数，并明确指出了柯西中值定理证明中辅助函数的构造方法关键词：微分中值定理；复数乘法；辅
2、助函数中图分类号：01721 文献标识码：A在微积分学里，关于拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明，除教科书上给出的方法外，不少文献也分别介绍了从不同角度进行分析研究，通过构造辅助函数，应用罗尔中值定理进行证明的方法鉴于拉格朗日中值定理和柯西中值定理与罗尔中值定理的特殊关联关系，作者经过更详细的分析研究，通过化繁为简，从一般到特殊，找到了一种运用复数乘法运算构造符合罗尔中值定理条件的辅助函数的新的构造方法，应用这种方法可以构造出证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理所需要的各种不同形式的辅助函数，并且思路清晰，方法灵活基于问题的需要，在介绍新的方法之前，需要明确一点：由于复数石+)Ii与直角坐标平
3、面上的点(工，)，)(石，)，R)一一对应，所以，可以把复平面与直角坐标平面看成是一致的1用复数乘法运算构造辅助函数证明拉格朗日中值定理证明1如图l所示，设曲线弦A曰的倾斜角为叫o秒兀，口罢1，则t柚矽：旦掣二丛尘取曲线y：厂(工)上任意一点肘化厂(工)(工【乜，6】)，对复数z+矿(x)作复数乘法运算：o+矿(工)【cos(一日)+isin(一目)】_(工cos曰+，(工)sin臼)+i(，(工)cos口一工sin口)，作辅助函数妒(工)=，(工)cos口一工siIl口 ， 注意到taIl臼=!掣 ， 贝。缈(口)=，(口)c。s口一口siIl口=口一，(易)cos日一6siIl口=妒(易)
4、由拉格朗日中值定理的条件可知，缈(工)在口，6】上连续，在(口。6)内可导，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点善(口善6)，使9(孝)=0，(善)：taIl曰：攀型图1利用倾斜角口通过复数运算构造辅助函数即，(孝)cos口一siIl口=0，从而证毕显然，这种用复数乘法运算构造辅助函数的方法十分有效，通过从几何上对罗尔中值定理和拉格朗日中值定理作一个简单的比较，可以明确这种方法的实际含义复数乘法运算收稿日期：2008一1209基金项目：湖北省高等学校省级教学基金资助项目(20D60422)作者简介：宋振云(J958一)，男，湖北孝感人，副教授，从事数学教育研究E-腿d：h岫r12358126啪
5、万方数据第2期 宋振云，等：微分中值定理证明中辅助函数的构造 1l+矿(工)Icos(一秒)+isin(一日)l就是将拉格朗日中值定理中的曲线_)，=厂(x)沿顺时针方向旋转了口角，其结果就是使曲线旋转后曲线弦仙平行于工轴，从而使拉格朗日中值定理中曲线的一般情形变成了罗尔中值定理中曲线的特殊情形，从思维上讲，这就是化繁为简，化一般为特殊的思想方法注这里的辅助函数伊(z)=，(工)cos口一工siIl口就是文献【1】坐标轴旋转法构造的辅助函数证明2如图1所示，设曲线弦AB的倾斜角为臼f o口7【，口昙1，则taIl臼：丛掣二丛生取曲线L z 扫一口)，=，(工)上任意一点M(工，厂(工)(工【d
6、，6】)，对复数工+i厂(工)作复数乘法运算：0+i，(工)(1一itaIl口)=(工+厂(工)ta皿曰)+i(，(工)一zta咀曰) 作辅助函数仍(工)=厂(工)一工tan曰注意到taIl口：上竺型，即，(口)一口t觚臼：，(易)一易taIl口，则口一口仍(口)=仍(6)，由拉格朗日中值定理的条件知，仍(工)在k，纠上满足罗尔中值定理的条件，因此至少存在一点孝(口善6)，使硝(f)=o，即，7(孝)一tan口=o，所以，(孝)：t锄曰：丛掣二型 证毕D一口应该说明的是，证明1和证明2都是通过对复数石+酽(工)作简单的复数乘法运算就完成了曲线y=，(工)沿顺时针方向的旋转，而且得到了证明拉格朗
7、日中值定理所需要的辅助函数伊(工)=，(工)cos曰一工sill口和仍(工)=厂(工)一石taIl口，其复数乘法运算中的乘数cos口一isiIl目和1一itall秒都是辐角为一口的复数因此，可以考虑辐角为一目的其它复数作乘法，从而得到所需要的辅助函数2拉格朗日中值定理证明中辅助函数的多样性应用上述辅助函数的构造方法，同样可以构造出证明拉格朗日中值定理所需要的并且符合要求的各种各样的辅助函数由于众所熟知的原因，只给出证明拉格朗日中值定理所需辅助函数的构造方法，而略去其详细证明分析1取曲线)，=，(工)上任意一点M(工，(工)(工【口，纠)，对z+i厂(z)作复数乘法运算 c工+酽c石，(-一t删
8、=(x+訾，c工，)+；(，c工，一訾刁作辅助函数伊2(工)：，(工)一旦掣工，则伊：o)：笪警攀：伊：(6)，由拉格朗日定理的条件知，仍(工)在【口，6】上满足罗尔中值定理的条件注这里的辅助函数矽：(工)：，(工)一旦掣二丛生工就是文献【2中原函数法构造的辅助函数分析2令丛掣二丛尘：七，取曲线)，：，(工)上任意一点M(工，(工)(工，纠)，对复数工+i，(工)作复数乘法运算：+矿(工)(1一谈)=伍+矿(工)+i(厂(工)一h) 作辅助函数仍(工)：厂(工)一h，注意到丛掣：七，则仍o)：，(口)一勋：，(6)一胁：仍(6)，由拉格朗日定理的条件知，仍(x)在【口，剀上满足罗尔中值定理的条
9、件注这里的辅助函数仍(工)=，(工)一h就是文献3中常数七值法构造的辅助函数分析3取曲线)，=，(工)上任意一点M(工，(工)(工【口，纠)，对复数石+矿(工)作复数乘法运算： +矿(工)I(6一口)一i(，(6)一厂(口)】-一口)工+(厂p)一厂(口)，(z)J+i一口)，(石)一(，(6)一，(口)工J作辅助函数9。(工)=(参一口)，(工)一(厂(6)一，(口)工，贝U伊。(口)=匆厂(口)一巧(6)=伊。(易)，显然，钆(工)在【日，易】上满足罗尔中值定理的条件分析4如图2所示，先怍向考蚕算A彳=l，M19A=(石一口，(工)一，(口)， 图2利用点月通过向量运算 构造辅助函数万方数
10、据12 高师理科学刊 第29卷对复数一口)+i(，(z)一，(口)作复数乘法运算【(工一口)+i(，(工)一，(口)I(厶一口)一i(厂(6)一厂似)】=f(6一口)(工一口)+(厂(6)一，(口)(，(力一厂(口)】+i【(易一口)(厂(工)一，(口)一(厂(6)一，(口)(工一口)】作辅助函数伊5(功=(6一口)(厂(工)一，)一(，(6)一，(口)(工一口)，显然，伤(口)=伤(6)=0，由拉格朗日定理的条件知，姥(工)在【口，6】上满足罗尔中值定理的条件注辅助函数伤(工)=(6一口)(，(工)一，(口)一(，(易)一，0)伍一口)就是文献4】中的面积法构造的辅助函数，同时也是文献5中行
11、列式法构造的行列式形式辅助函数的展开式的结果分析5如同分析4，对复数O一口)+i(，(工)一厂(口)作复数乘法运算 【(工一口)+i(，(工)一，(口)】li掣I：I(工一口)+掣(，(工)一，(口)l+L 一“ J L 口一“ JiI厂(工)一，(口)一!掣(工一口)lL 口一口 J作辅助函数吼(工)：，(工)一厂(口)一旦掣(工一口)显然，仇(工)在【口，纠上满足罗尔中值定理的条件注这里的辅助函数吼(工)：厂(工)一，o)一氅I二盟。一口)就是文献【6】中曲线函数)：厂(工)与其弦A曰的函数)，：，(口)一丛掣二丛生一口)(n工易)的差构造的辅助函数口一口同样地，对复数(工一口)+i(，(
12、z)一，0)用辐角为一p的复数cos口一isiIl口，卜itaIl护，1一让(七为曲线弦仙的斜率)，li丛掣二丛堕为乘数作复数乘法运算也可得到所需满足条件的辅助函数口一口另外，由图3所示，如果先作向量运算丽：面一历：(工一6，厂(工)一厂(6)，再对复数(工一易)+i(，(工)一，(易)用复数cos曰一isin臼，1一itaIl口，1一让(七为曲线弦船的斜率)，卜i丛掣二型，p一口)+i(，(易)一厂(口)为乘数作复数p一口乘法运算，也可得到一系列符合条件的辅助函数髁取曲线弦仙的中点P(半，型产)，先作向量运算而=面一历=(工一半删一半刷复数(工一半)+i(似)一地笋)用辐角舢的复数ssiIl
13、一让 图3利用点刀通过向量运算 构造辅助函数(七为曲线弦AB的斜率)为乘数作复数乘法运算，同样可得到一系列所需要的符合条件的辅助函数3柯西中值定理证明中辅助函数的构造 对于柯西中值定理，只要对复数用复数cos臼一isiIl口，litaIl口(tall秒：尝掣)，li粤娑，gL口JgL口J 占L口Jg口J1一让(七：型梨二马掣)，(g(易)一g(日)+i(，(6)一，(口)为乘数作复数乘法运算均可构造出所需满足条件的gL口Jg L口J辅助函数，同时，如果先作类似拉格朗日中值定理证明中的向量运算，再作相应的复数乘法运算，一样可得到一系列所需符合条件的辅助函数，由于处理的方法完全相同，这里就不再赘述
14、了参考文献：【l】刘振航关于拉格朗日中值定理的证明【J】天津商学院学报，2002(5)：3536【2】张艳丽，周香孔拉格朗日微分中值定理几种不同的证法【J】衡水师专学报，2004(2)：l一3【3J张家秀关于构造辅助函数的几种方法【J】高等理科教育，2003(3)：126-128万方数据第2期 宋振云，等：微分中值定理证明中辅助函数的构造 13【4】孟宪吉，王瑾拉格朗日中值定理的新证明【J】沈阳师范大学学报：自然科学版，2003(4)：252254【5谭杰锋行列式函数构造与应用的一点注记【J】合肥学院学报，200r7(2)：1719【6】同济大学应用数学系高等数学(上册)【M】5版北京：高等教
15、育出版社，2003：126一132The constmction of additive functions to testify diferential mean value theoremSONG Zhen)mn，CHEN Shaoyuan，TU Qiongxia(Schl 0f I血栅峨1ion 1kh啪lo盯Hubei PolybechIlic I鹏6tlk，xia唱蚰432000，ChiM)Ab8tmct： According to tl】e onetoone correspondence between the complex number J+)】i and tlle poin(
16、工，)，)(工，yR)on tlle plane，c跚take tllem鹅identical Constlllcted a series 0f additive functions t0 meet Rolletlleorem conditio璐稍th tIle multiply method of complex numbers while test坶ing L唧ge me肌value tlleorem，alsoput fbrwam a metllod of co璐nllcting additiVe functions to test母Cauchy me蚰value tlleoremK句w讪
17、：ddkrential me肌vaLlue tlleorem；functio啮0f colplex v撕abl船；additive functions(上接第9页)参考文献：【1】彭晓珍，严钦容关于交错级数的个新的审敛准则【J】大学数学，2004，20(3)：120-123【2】杨万必关于交错级数的审敛准则的改进和推广们大学数学，2006，22(2)：138一141【3】苏翊，邱利琼，王大坤，等一类交错级数的收敛定理【J】大学数学，2006，22(5)：143一146【4】华东师范大学数学系数学分析(下册)【M】3版北京：高等教育出版社，2006：1317【5】周玉霞关于正项级数敛散性判定的一
18、类方法(J】大学数学，2006，22(1)：109一110An new criterion for conVergence or diVe唱ence of altemating seriesQIAN weiyi(m=pBr咖e眦0fM8t-erdc5，B0hi UIIiven竹，如IzII121000，CIIiM)心缸am：AJtemating sees is one 0f ilponant contents in matIlematical锄alysis，now，tlle陀are not m锄y criterio璐about conVe日gence or diV明驴nce of alte功a
19、ti|19 se五esEstablished a new crit翻伽to decjde conve释nce ordiVerg衄ce 0f altemating seriesB鹪ed 0n tlle conVergence criterion， c锄decide not omy conve唱ence or divergencebut also absolute conve唱ent or conditional conVe唱ent of altemating series selected some examples t0 test tllefe私ibil时of tlle proposed cr
20、iterionKey wordB： altemating sedes； cdterion； conVe唱ence； divergence万方数据微分中值定理证明中辅助函数的构造作者： 宋振云， 陈少元， 涂琼霞， SONG Zhen-yun， CHEN Shao-yuan， TU Qiong-xia作者单位： 湖北职业技术学院,信息技术学院,湖北,孝感,432000刊名： 高师理科学刊英文刊名： JOURNAL OF SCIENCE OF TEACHERS COLLEGE AND UNIVERSITY年，卷(期)： 2009,29(2)被引用次数： 2次参考文献(6条)1.同济大学应用数学系
21、高等数学 20032.谭杰锋 行列式函数构造与应用的一点注记期刊论文-合肥学院学报(自然科学版) 2007(02)3.孟宪吉;王瑾 拉格朗日中值定理的新证明期刊论文-沈阳师范大学学报(自然科学版) 2003(04)4.张家秀 关于构造辅助函数的几种方法期刊论文-高等理科教育 2003(03)5.张艳丽;周香孔 拉格朗日微分中值定理几种不同的证法期刊论文-衡水师专学报 2004(02)6.刘振航 关于拉格朗日中值定理的证明期刊论文-天津商学院学报 2002(05)引证文献(2条)1.华瑛 几何直观法证明Lagrange中值定理期刊论文-西安工业大学学报 2011(3)2.王秀玲 微分中值定理的另类证明与应用期刊论文-安庆师范学院学报(自然科学版) 2010(4)本文链接：http:/
