1、一、第一型曲面积分 二、第二型曲面积分 三、奥-高公式 四、斯托克斯公式,第二节 曲面积分,定理1 若曲面块S:,是光滑或者逐片光滑的，其中D是有,其中,界闭区域。函数 在曲面S连续，则函数,在S的第一型曲面积分存在，且,1、第一型曲面积分的计算法,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,(1).,2.其它情形曲面积分的计算法,设S在 面的投影区域为 ,(3).,(2).,设S在 面的投影区域为 ,则,设 S 在 面的投影区域为 ,则,定理2 若有光滑曲面S:,其中D是有界闭区域。函数 在曲面S,连续，则函数 在S第二型曲面积分,其中符号“ ”由曲面s的正侧外法线与z轴,正向的夹角余弦的符号决定
2、。,3.第二型曲面积分的计算方法,存在，且,设S是有向曲面.,假定,上各点处的法向量与z轴正向的夹角,在有向曲面,取一小块,.有向曲面在坐标面上的投影,若光滑曲面S有参数方程给出,且在D上各点它们的函数行列式,不同时为零，则,三、奥-高公式,中的有界闭体:,是V在xoy平面上的投影，是由光滑或分段,光滑闭曲线围成的有界闭区域,是光滑曲面,若V由曲面 以及垂直于 的边界,的母线所构成的柱面 所围成，则称V为,xy型的有界闭体,xy型的有界闭体的定义,xy型有界闭体V,定理 设 是 中的双侧闭曲面S所围成的,型（同时既是 又是 型）有界闭体,若三元函数 及其偏,导数在包含 的区域上连续，则,其中曲
3、面S的外侧为正,奥-高公式,证明,公式由三个等式组成.,下面证明式(1).,设是xy型有界闭体V由3个,在xoy平面上的投影为 ,由三重积分的计算公式，有,曲面组成：,由曲面积分的计算公式，有,其中曲面 是曲面S的侧面，其在xoy平面上,的投影是区域 的边界,则,曲面 法线正向与z轴正向的夹角是钝角，,曲面 法线正向与z轴正向的夹角是锐角,则,所以有,若V又是yz型和zx型有界闭体，同法可证,对于一般的有界闭体可分成有限个小的有界,闭体，使得每个有界闭体满足定理中的条件,推出V的体积为,例1 计算曲面积分,其中 是平面,及三个坐标面围成的立方体V的表面,例2 利用高斯公式计算曲面积分,外侧,解,曲面 S 不是封闭曲面，不能直接用高斯公式。,补充,故所求积分为,例 计算,其中S为,取上侧为正,例 计算,其中S为椭球面,取外侧为正,的上半球面，,1. 通量的定义,四散度,曲面S正侧法线的单位向量,2. 散度的定义,散度的另外的形式,积分中值定理,两边取极限,根据高斯公式可写成,
