1、1,2,第三节 柯西积分公式,柯西积分公式,考虑积分,设f(z)在闭曲线C所在的区域内解析, 则有(1) 被积函数在C上连续, 积分I必然存在；(2) 被积函数在 z0 点不解析, I 不一定为0.例如 f(z)1时：,3,根据闭路变形原理, 积分 I 的值沿任何一条围绕z0的简单闭曲线都是相同的. 因此取以z0为中心, 半径 r 0 很小的的正向圆周| zz0 | = r为积分曲线Cr , 则有,因此, I 只与f(z)在 z0 点附近的值有关., 可得,4,由于f (z)连续, 并且积分 I 在C上的值与 r无关, 令 r 0 得： f(z) f(z0) 即,5,上式称为柯西积分公式,柯西
2、积分公式,若f(z)在区域D内解析;C为D内的任何一条正向简单闭曲线;它的内部完全含于D;z0为C内的任意一点. 则,6,柯西积分公式的进一步说明,对于由简单闭曲线 C 围成的有界闭区域上的解析函数, 它在区域内任意一点的值可以用它在边界C上的值来表示； 柯西公式是解析函数的最基本的特性之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 柯西公式的标准证明及相关推论请参见教材。,7,柯西积分公式应用举例,例 计算积分,8,第四节 解析函数的高阶导数,在实函数中, 一阶导数的存在, 并不能保证高阶导数的存在. 而复变函数只要在某区域内可导便有特别好的性质; 解析函数的导数仍然是解析的. 即解析函
3、数的任意阶导数都存在. 函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异.,9,解析函数的导数公式,解析函数f(z)的导数仍然是解析函数，它的n阶导数为,其中闭曲线C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任意一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于D. 本定理证明较长，请同学们参见教材。,10,解析函数高阶导数公式的常见应用计算某些特定闭曲线的积分,例 计算积分, C为正向圆周：|z| = r 1 解,11,被积函数在C内的z = i 处不解析. 在C内 作互不相交的正向圆周C1, C2分别只包含 i , i. 由复合闭路定理,12,13,14,第五节 解析函数与调和函数的
4、关系,若二元实变函数u(x, y)在区域D内具有二阶连续偏导数，且在D内满足Laplace(拉普拉斯)方程,调和函数的定义,则称u(x, y)是区域D内的调和函数。,15,解析函数与调和函数的关系,定理 设f (z) = u(x, y) + i v(x, y)在区域D内 解析，则函数 f(z)的实部和虚部都是D内 的调和函数.,证明由f (z) = u(x, y)+ i v(x, y)在D内解析， 则u, v满足CR方程，即,由解析函数的导数仍为解析函数，即解析 函数具有任意阶导数，因而解析函数的实,16,部和虚部具有任意阶的连续偏导数，将上 式中的两个等式分别对x和y求偏导数，得,因此u与v
5、都是D内的调和函数.,17,共轭调和函数,设u(x, y)与v(x, y)是区域D内的调和函数. 若在区域D内函数f(z) = u(x,y)+i v(x,y)是 解析函数，则v(x,y)称为u(x,y)的共轭调 和函数. 即,解析函数的虚部是实部的共轭调和函数.,共轭调和函数的等价定义在D内满足CR方程,18,的两个调和函数u和v， v称为u的共轭调 和函数.,共轭调和函数的常见应用若知道解析函数 f(z) = u + i v实部和虚部中的一个，利用CR方程，就可求出另一个. 具体解法如下：,已知u(x, y)是调和函数，先求出u(x, y)的一阶偏导数,19,由CR方程,再利用上式结果，求v
6、(x, y)的偏导数,解出g (x), 再求g (x)的积分, 得到v(x, y).,已知v(x, y), 求u(x, y)的方法基本相同.,20,例 证明u(x, y) = y33x2y为调和函数, 并求出其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数. 解 先证明u为调和函数. 因为,21,再利用CR方程解出v. u(x, y) = y33x2y,22,相应得到的解析函数为,23,例已知调和函数v = ex(ycosy+xsiny)+x+y，求一解析函数f(z) = u+iv. 使f(0)=0. 解,24,25,由f(0) = 0, 得C = 0。 将上式整理得,所以,26,27,下面介
7、绍已知调和函数u(x,y)或v(x,y), 求解析函数 f(z) = u + iv 的另一种方法. 由解析函数f(z) = u + iv 的导数仍为解析函数，有,把uxiuy与vy+ ivx表成自变量为z (z=x+iy) 的函数, 得,28,例 已知u(x, y) = y33x2y, 求以u(x,y)为实部所构成的解析函数f(z)=u+iv . 解 因为f(z) = u + iv解析，所以,于是求f(z)的过程就意味着求U(z)或V(z)的原函数的过程, 这种方法可以称为原函数法.,29,因为f(z)的实部u(x, y) = y3-3x2y没有常数,所以C1不含实部，是纯虚数，从而,30,例已知调和函数v = ex(ycosy+xsiny)+x+y，求一解析函数 f(z) = u + iv. 使f(0)=0. 解,31,由f(0) = 0 得 C = 0，于是,32,
