1、第三章 圆,3.4 圆周角和圆心角的关系,第1课时 圆周角和圆心角、弧的关系,1,课堂讲解,圆周角的定义 圆周角和圆心角的关系 同弧或等弧所对的圆周角,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,在射门游戏中(如图)，球员射中球门的难易程度 与他所处的位 置B对球门AC的张角( ABC)有关.当球 员在B ， D，E处射门时，他所 处的位置对球门AC分别 形成三个张角 ABC， ADC， AEC.这三个角 的 大小有什么关系？,归 纳,（来自教材）,观察图中的 ABC， ADC， AEC，可以发 现，它们的顶点都 在圆上，两边分别与圆还有另一个 交点.像这样的角，叫做圆周角（angle o
2、f circumference).,1,知识点,圆周角的定义,定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆 周角 特征：角的顶点在圆上；角的两边都与圆相交，这两个特 征是判定圆周角不可缺少的条件 要点精析：圆周角的概念与圆心角的概念类似，它们的区别 主要是顶点位置不同，圆心角因为顶点在圆心，所以角的两边 必与圆相交，所以圆心角的概念中无需说明这一点,知1讲,如图，下列各角是圆周角的是( ) AAOD BAOC CBAD DBOD,知1讲,（来自点拨）,可根据圆周角的定义进行判断，显然AOD， AOC，BOD均是圆心角，只有BAD符合 圆周角的两个特征,导引：,例1,C,总 结,知1讲
3、,（来自点拨）,判断一个角是否为圆周角，关键是看这个角是否 具备圆周角的两个特征： (1)角的顶点在圆上； (2)角的两边都与圆相交，二者缺一不可,(中考柳州)下列四个图中，x为圆周角的是( ),知1练,（来自典中点）,如图，图中的圆周角共有_个，其中 所对的 圆周角是_， 所对的圆周角是_,知1练,（来自典中点）,2,知识点,圆周角和圆心角的关系,知2导,如图, AOB = 80. (1)请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流. (2 )这些圆周角与圆心角 AOB的大小有什 么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流.在图中，改变 AOB的度数，你得到的结论还成立吗？
4、,做一做,归 纳,知2导,（来自教材）,圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.,知2讲,1. 圆周角定理的证明：已知：如图, C是 所对的圆 周角， AOB是所对的圆心角.求证： C= AOB分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三 种情况讨论：,知2讲,(1)圆心O在 C的一条边上，如图 (1); (2)圆心O在 C的内部，如图 (2); (3)圆心O在 C的外部，如图 (3).在三种位置关系中，我们选择(1)给出证明，其他情况可以转化为(1)的情况进行证明. (1)圆心O在 C的一条边上，如图 (1). AOB是AOC的外角， AOB = A + C. OA = OC，
5、 A = C. AOB = 2 C,即 C = AOB.请你完成图 (2)和图 (3)两种情况的证明.,证明：,知2讲,2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 要点精析： (1)圆周角相对于圆心的位置关系有三种，因此定理的证明必须分三种情况(如图)：圆心在圆周角的一条边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部 (2)注意同一条弧所对的圆周角和圆心角度数才有这样的数量关系,知2讲,如图，A，B，C，D是同一圆上的点，168，A40，则D_,例2,由圆周角定理的推论1可知 CA40，由三角 形的外角性质得 D1C6840 28.,导引：,28,总 结,知2讲,（来自点拨）
6、,本题应用转化思想，利用“同弧所对的圆周角相等” 将已知角转化为与要求的角在同一个三角形中的角，然 后利用三角形的外角性质求解,知2讲,如图，在O中，AOC150，求ABC，ADC的度数，并判断ABC和ADC，EBC和ADC之间的度数关系,例3,解题的关键是分清同弧所对的圆 心角和圆周角，如 所对的圆 心角是AOC，所对的圆周角是ABC，所对的圆心角是大于平角的，所对的圆周 角是ADC.,导引：,知2讲,AOC150，ABC AOC75. 360AOC360150210， ADC 105. EBC180ABC18075105， EBCADC，即EBC与ADC相等 又ABCADC75105180
7、， ABC和ADC互补,解：,(2015张家界)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100，150，则ACB_,知2练,（来自典中点）,知2练,（来自典中点）,(2016绍兴)如图，BD是O的直径，点A，C在O上，AOB60，则BDC的度数是( ) A60 B45 C35 D30,知2练,（来自典中点）,(2015珠海)如图，在O中，直径CD垂直于弦AB，若C25，则BOD的度数是( ) A25 B30 C40 D50,知2练,（来自典中点）,(2015海南)如图，将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是 上一点，则APB的度数为( ) A45
8、 B30 C75 D60,知3导,3,知识点,同弧或等弧所对的圆周角,想一想,在如图的射门游戏中，当球员在B ， D，E处射门 时，所 形成的三个张角 ABC， ADC， AEC的 大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？,归 纳,知3导,（来自教材）,推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.,2圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 要点精析： 圆周角定理的推论主要有两个作用： 一是用来证明角相等，从而证明两个三角形相似或全等； 二是角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆 周角；从而达到题目中的要求,（来自点拨）,知3讲,（来自点拨）,知3讲,拓展： 在同圆或等圆中，在圆心角
9、、圆周角、弦、弧这四组量 中，如果其中一组量相等，那么其余的三组量也分别相 等 注意：其中的“等弦对等圆周角”，必须是弦的同侧的圆 周角,广州如图，在O中，ACBBDC60，AC2 cm.(1)求BAC的度数；(2)求O的周长,（来自点拨）,知3讲,例4,(1)观察图形发现BAC与BDC为同弧所对的圆周角， 故BACBDC60；(2)要求圆的周长，需先求出 半径，可利用垂径定理，即连接OA，作OEAC于点E， 构造直角三角形求出半径,导引：,（来自点拨）,知3讲,解：,(1)在O中，BDC与BAC均为 所对的圆周角，BACBDC60. (2)ACB60，又由(1)知BAC60，ABC为等边三角
10、形连接OA，作OEAC于点E，如图所示OEAC，AC2 cm，AE cm.在RtAOE中，AOEABC60，OAE30.OE OA.又OE2AE2OA2，OA2 cm.O的周长为224(cm),总 结,知3讲,（来自点拨）,同一条弧所对的圆周角有无数个，它们都相等， 这里特别要注意不要误认为 “同弦所对的圆周角” 相 等 , 因为一条弦(非直径)所对的圆周角的大小有两种,知3练,（来自）,(2016自贡)如图，在O中，弦AB与CD交于点M， A45，AMD75，则B的度数是( ) A15 B25 C30 D75,知3练,（来自典中点）,(2016达州)如图，半径为3的A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧A优弧上一点，则tanOBC为( ) A. B C. D.,知3练,（来自典中点）,(2015莆田)如图，在O中， ，AOB 50，则ADC的度数是( ) A50 B40 C30 D25,“圆周角定理”是圆中的又一个重要定理，其作用在 于转化同弧所对的圆心角与圆周角、同弧或等弧所对的圆 周角之间的数量关系在应用这一定理时，要注意“同弧、 等弧”的前提条件，只有准确识别图形中角的位置关系， 才能得到角之间的数量关系,1.必做: 完成教材P80随堂练习T1、2，教材P80-81T1-4 2.补充: 请完成典中点剩余部分习题,
