1、1,随机过程,南京邮电大学理学院胡国雷,2,教材：随机过程，刘次华，华中理工大学出版社。 参考书： 1.应用随机过程，林元烈编著，清华大学出版社； 2.随机系统分析引论，盛昭瀚，东南大学出版社； 3.随机过程，伊曼纽尔、帕尔逊著，邓永录、杨振业译，高等教育出版社； 4.随机过程，Sheldon M1.Ross著。,3,第一章 预备知识,简要回顾一下概率论中与本课程有关的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率、随机变量、概率分布、数字特征等。,4,一、基本概念,试验结果事先不能准确预言，三个特征: 可以在相同条件下重复进行； 每次试验结果不止一个，可预先知道试验所有可能结果； 每次试验前不能确
2、定那个结果会出现。,样本空间,随机试验所有可能结果组成的集合，记为,随机事件,样本空间的子集A称为随机事件，用A、B、C表示,1.1 概率空间,随机试验,5,注：由于事件是集合，故集合的运算（并、交、差、上极限、下极限、极限等）都适用于事件。,注：所谓某个事件在 试验中是否出现，当且仅当该事件所包含的某个样本点是否出现，因此一个事件实际上对应于的一个确定的子集。,6,在实际问题中，并不是对所有的事件： （样本空间的所有子集）都感兴趣，而是关心某些事件（的某些子集）及其发生的可能性大小（概率）。,为了数学上处理方便，我们常要求这些子集组成的类具有一些基本性质（即对事件需加一些约束）,7,F中的元
3、素称为事件。,则称F为 代数（Bord事件域），,称为可测空间,8,例如，包含A的最大的 代数是 的一切 子集组成的集类,对于某个事件A包含它的 代数不是唯一的,而包含A的最小的 代数则是：,注：F（）表示由的子集全体构成的集合类， 显然满足上述定义的（1）（3），但这个族常常显得太大以致对于某些样本空间而言不可以在这样的族上定义满足三条公理的概率函数,。,为了建立概率的数学理论通常只需把事件族取为具有定义（）（）中并包含了我们感兴趣的所有集合的的最小子集族。,9,三、概率的公理化定义,为了完成随机现象的数学描述，还要规定随机事件族上的概率函数 即对中的每个事件要定义一个称作为的概率的数 ，作
4、为事件A的函数必须假定满足三条公理。,非负性；,规范性；,两两互不相容，即,有,则称P为（，F）上的概率，（，F，P）称为概率空间，P（A）为事件A的概率。,定义1.2：设（，F）是可测空间， 是定义在F上的实值函数，如果 满足,10,由此定义出发，可推出概率的其它一些性质：,即概率具有单调性；,新事件：,连续性定理,11,条件概率,在事件B已发生这一条件下，事件A发生的概率。,全概率公式,若有N个互斥事件Bn（n=1,2,N），它的并集等于整个样本空间，则,四、几个重要公式,加法公式,12,设事件B1，B2，Bn构成一个完备事件组，概率P(Bi)0,i=1,2,n,对于任何一个事件A，若P(
5、A)0, 有,贝叶斯公式,独立事件,独立事件族：设（，F，P）是概率空间， 如果对任意 有 则称Y为独立事件族。,13,1.2 随机变量及其分布,一、一维随机变量及其分布函数,由于数学分析不能直接利用来研究集合函数，这样影响对随机现象的研究。解决这个问题的方法，主要是设法在集合函数与数学分析中所研究的点函数间建立某种联系，从而能用数学分析去研究随机现象。,14,X(e)就是一个函数，它把样本点映射到实数轴上，随机变量就是从原样本空间到新样本空间的一种映射，我们通常把这样一种对应关系称之为在概率空间上的一个随机变量。下面我们给出随机变量的数学定义。,定义1.4：设（ ，F，P）是概率空间，X=X
6、(e)是定义在上的实函数，如果对任意实数x，e:X(e) x F，则称X(e)是F上的随机变量。,15,事件,随机变量,离散型随机变量： 只取有限个数值或可列无穷多个值。,连续型随机变量：从原样本空间到新样本空间的映射是某一个范围，是一段（或几段）实线（也可能是整个坐标轴），随机变量可以取值于某一区间中的任一数。,16,分布函数（一个描述随机变量取值的概率分布情况的统一方法）,17,离散型随机变量X的概率分布用分布律描述：,18,离散型随机变量的概率分布用分布列描述,01分布,二项分布,泊松分布,连续型随机变量的概率分布用概率密度描述,均匀分布,正态分布,指数分布,19,随机变量函数的分布,在
7、给定某任意的随机变量X，以及它的概率分布函数FX(x)，希望进一步求出给定的随机变量的某些可测函数（如Y=g(X)）的概率分布函数。,非线性放大器,Y,X,Y的概率分布函数公式为,如果上式右端概率的导数对于y处处存在，那么这个导数就给出了随机变量Y的概率密度,20,二、n维随机变量及其分布函数,定义1.5 设（ ，F，P）是概率空间，X=X(e)（X1(e),Xn(e)）是定义在上的n维空间Rn中取值的向量函数。如果对于任意x=(x1,xn) Rn，e:X1(e) x1,Xn(e) xn F，则称X=X(e)为n维随机变量。称,为X=(X1,X2,Xn)的联合分布函数,21,22,三、边缘分布
8、,若二维联合分布函数中有一个变元趋于无穷，则其极限函数便是一维分布函数，对于这种特殊性质，我们称其为边缘分布。,对于任意两个随机变量X,Y，其联合分布函数为：,则：,分别称FX(x)和FY(y)为 关于X和关于Y的边缘分布函数。,23,离散型随机变量（X，Y）边缘分布律计算如下,连续型随机变量（X，Y）边缘概率密度计算如下,24,相互独立的随机变量,设X，Y是两个随机变量，若对任意实数x，y有,则称X，Y为相互独立的随机变量。,若X，Y为相互独立随机变量，则有,联合密度,边缘密度,边缘密度,联合密度,25,四、条件分布,条件概率,条件分布函数,两边对x微分,26,1.3 随机变量的数字特征,随
9、机变量的数学期望 随机变量函数的期望 方差 协方差 相关系数 独立与不相关,27,一、斯蒂尔吉斯积分（补充）,1.有限区间上的斯蒂尔吉斯积分,28,29,2.无限区间上的S积分,30,31,左边的积分称为斯蒂尔吉斯积分,二、数学期望,32,随机变量函数的期望,已知随机变量X的数学期望，求随机变量函数Y=g(X)的数学期望，,对于多维随机变量,33,设X1,X2, ,Xn为随机变量，求随机变量函数Y=a1X1+a2X2+anXn的数学期望。,已知随机变量X1和X2，求随机变量函数YaX1+bX2的数学期望,34,加权和的期望等于加权期望的和,求数学期望是线性运算,数学期望的线性运算不受独立条件限
10、制,已知随机变量X1和X2，求随机变量函数Yg1(X1)g2(X2)的数学期望,35,假设两个随机变量X1和X2相互独立，则有,因此，有,36,三、方差（随机变量取值的离散程度）,37,四、协方差与相关系数,引入一个描述两个随机变量相关程度的系数,XY称为归一化的协方差系数或相关系数。,若XY0，则称随机变量X和Y不相关。,38,若两个随机变量X和Y的联合矩满足,则称随机变量X和Y统计独立,39,五、K阶原点矩、k阶中心矩,随机变量X，若E|X|k，称EXk为k阶原点矩。,离散随机变量,连续随机变量,又若EX存在，且E|X-EX|k ，称,为X的k阶中心矩。,离散随机变量,连续随机变量,40,
11、一阶原点矩就是随机变量的数学期望，,数学期望大致的描述了概率分布的中心。,二阶中心矩就是随机变量的方差，,方差反映随机变量取值的离散程度。,01分布,泊松分布,正态分布,常用分布的数学期望和方差 （见表11）,41,中心化的两个随机变量X-EX，Y-EY的互相关矩称为随机变量X和Y的协方差，,协方差是描述随机现象中，随机变量X和Y概率相关的程度。,42,相互独立,不相关,相互独立,不相关,设Z是一个随机变量，具有均匀概率密度,令X=sinZ，Y=cosZ，求随机变量X和Y是否相关，是否独立？,43,1.4 特征函数、母函数,数字特征只反映了概率分布的某些侧面，一般并不能通过它们来确定分布函数，
12、这里将要引进的特征函数，既能完全决定分布函数而又具有良好的分析性质。,一、复随机变量,对复随机变量也可以平行于实随机变量建 立起一系列结果。,44,二、特征函数,45,对离散型随机变量，若其分布律为,46,三、特征函数的性质,47,48,因而可作下列积分号下的微分,49,此性质使我们可以方便地求得随机变量的各阶矩,50,51,（7）特征函数与分布函数是相互唯一确定的,证略,52,唯一性定理：分布函数由其特征函数唯一决定,而分布函数由其连续点上的值唯一决定 不连续点利用右连续性,53,即在特征函数绝对可积的条件下，概率密度 与特征函数构成一对付氏变换。,54,因此用控制收敛定理知（极限号与积分号
13、 交换的勒贝格控制收敛定理）,55,56,四、多元特征函数,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,利用特征函数与分布一一对应的唯一性得,67,注：求随机变量的特征函数的方法,（3）用Fourier变换去求解。,（1）一般定义求解；,（2）对一些特殊分布可化为微分方程求解；,（4）利用特征函数求多个独立随机变量和的分布。,要求： （1）会求一些常用的随机变量的特征函数；,（2）记住一些重要分布的特征函数，如正态分布；,（3）利用特征函数求相应随机变量的各阶矩；,68,五、母函数,对于整值随机变量，有一种处理方法很便于应用，这就是母函数法。,69,70,例、求二项分布、泊松分
14、布、几何分布 的母函数,71,（1）唯一性，非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定,六、母函数的性质,72,73,74,3、独立随机变量之和的母函数等于母函数之积,75,76,(4) 随机个随机变量之和的母函数,77,78,79,一、密度函数与特征函数,80,81,二、几个常用结论,82,83,84,85,1.6 条件期望,一、条件分布及条件期望,（1）随机变量关于事件的条件分布及条件期望,条件数学期望：,86,（2）离散型随机变量的条件分布律及条件期望,87,88,89,90,（二）条件期望的性质,91,92,93,（7）连续型全概率公式,由全期望公式得,94,95,96,97,同理，母函数为,98,复习概率论与数理统计方面的知识； 掌握特征函数与母函数的性质和计算方法； 重点掌握条件分布与条件期望的性质和计算方法。,预备知识结束,作业：,
