1、1,第九章 静电场中的导体和电介质,戴振翔 安徽大学物理学院 2012年,2,91 静电场中的导体,92 静电场中的电介质,93 有电介质时静电场的高斯定理,第九章 静电场中的导体和电介质,94 电容 电容器,95 静电场的能量,3,从物质电结构理论的观点来看，任何物体都亦可能带电。按导电性能的不同，物体可分为三类： 1.导体 存在大量的可自由移动的电荷 (conductor) 2.绝缘体 理论上认为无自由移动的电荷 也称 电介质 ( dielectric ) 3.半导体 介于上述两者之间 (semiconductor )本章将讨论静电场与场中导体和电介质的相互作用和相互影响.,4,91 静电
2、场中的导体,5,如图, 从物质的电结构看, 金属导体具有带负电的自由电子和带正电的晶体点阵组成. 当导体不带电也不受外电场的作用时, 只有微观的热运动.,任意划取的微小体积元内，自由电子的负电荷和晶体点阵上的正电荷的数目相等，整个导体或其中任一部分都显现电中性。,6,静电感应(electrostatic induction)：在外电场作用下,导体内自由电子将在电场力作用下作宏观定向运动并引起电荷的重新分布.,静电平衡(electrostatic equilibrium)：导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动的状态。,一、导体静电平衡性质,7,静电平衡条件,导体内部电场为零，否则导体内部电荷会在
3、电场下运动； 导体表面的电场垂直于导体表面，即在导体的表面的法线方向没有电场分量，否则电荷会在导体内部沿着导体的表面的法线方向,导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动,电场线不进入导体内部, 而与导体表面正交.,8,静电平衡条件,从电势的角度，静电平衡条件是 “在导体内和导体表面各处电势相同, 整个导体是等势体”,电势的空间变化率为零，即电势没有变化，于是电势处处相等,9,导体静电平衡的条件,导体静电平衡时，导体上各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。,10,1. 带电导体在静电平衡时, 电荷只分布在导体的表面上.,在内部作一任意封闭曲面，由高斯定理可以证明:,静电平衡时导体的电荷分布,任
4、意封闭曲,11,穿过静电场中任一封闭曲面 S 的电通量 , 等于包围在该封闭曲面内所有电荷之代数和的 倍, 而与封闭曲面外的电荷无关. 这一结论称为真空中静电场的高斯定理.,高斯面,12,设导体表面电荷面密度为,P 是导体外紧靠导体表面的一点,相应的电场强度为,根据高斯定理:,2. 处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与当地表面近邻处的电场强度的大小成正比.,13,由实验可得以下定性的结论：,在表面凸出的尖锐部分电荷面密度较大，在比较平坦部分电荷面密度较小，在表面凹进部分带电面密度最小。表面上曲率愈大处(例如尖端部分)，面电荷密度愈大。,3.孤立导体在静电平衡时，电荷密度与导体表面曲率
5、成正比.,导体球 孤立带电,孤立球形带电导体，由于球面上各部分的曲率相同，所以球面上电荷的分布是均匀的.,14,尖端放电 (discharge at sharp point),对于有尖端的带电导体，尖端处电荷面密度大，则导体表面邻近处场强也特别大。当电场强度超过空气的击穿场强时，就会产生空气被电离的放电现象.,避雷针,电风,15,尖端放电 (discharge at sharp point),对于有尖端的带电导体，尖端处电荷面密度大，则导体表面邻近处场强也特别大。当电场强度超过空气的击穿场强时，就会产生空气被电离的放电现象.,避雷针,16,17,(1) 腔内无带电体,问题: 若导体带电, 电荷
6、如何 分布, 内表面上有无电荷?,二、空腔导体和静电屏蔽：静电平衡的应用！,1.空腔导体,导体内部无电荷.,S,作一个包围内表面的闭合曲面s，场强处处为零，通过s的电通量为零,18,从反证的角度分析,二、空腔导体和静电屏蔽：静电平衡的应用！,若内表面带电, 则腔体内存在电场，内表面存在电势差。,导体是等势体,结论 若空腔带电, 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）,S,19,(2) 腔内有带电体,1.导体中场强为零.,同时，由电荷守恒 , 当空腔内有电荷q 时, 外表面有感应电荷+q,2.空腔内部电场决定于腔内带电体, 空腔外电场决定于空腔外表面的电荷分布.,3.空腔的内表面所带电荷与空腔内带电
7、体所带电荷等量异号.,20,(2) 腔内有带电体,由电荷守恒 , 当空腔内有电荷-q 时, 外表面有感应电荷+q,在空腔的内外表面之间作一个面积为s的高斯面。高斯面在导体内部，由于其场强处处为零，故通过s的电通量为零。,: 导体内无电荷.,腔内有带电体，同时腔本身带有电荷的情形,由高斯定理,在导体内作一包围空腔的高斯面S,结论：空腔内有电荷q时，空腔内表面感应出等值异号电量-q，导体外表面的电量为导体原带电量Q与感应电量q的代数和,导体内,电荷守恒定律可知：,即,内表面有-q,外表面有Q+q,22,在静电平衡下，不管导体壳是否带电，还是导体壳是否处在外电场中，只要导体壳内没有其他带电体，则该导
8、体壳就如同一个实心导体，内部没有电场。这样就是，导体壳屏蔽了它所包围的区域，使之不受外电场和导体壳表面电荷的影响。,23,屏蔽内外电场,空腔内带电体与外界的带电体之间静电作用被隔绝,同轴电缆屏蔽层,接地,外表面电荷被中和,高压变压器上的鸟巢,接地的空心导体,24,2.静电屏蔽(electrostatic shielding),导体壳(不论是否接地)的内部电场不受壳外电荷的影响, 接地导体壳的外部电场不受壳内电荷影响的现象称为静电屏蔽.,空腔导体屏蔽外电场,25,（1）空腔导体可保护腔内空间，不受腔外带电体的影响,当Q大小或位置改变时， q (感应电荷) 将自动调整,（2）接地空腔导体可保护腔外
9、空间不受腔内带电体的影响,26,防静电屏蔽袋,静电屏蔽应用,法拉第笼,27,例1 有一外半径R1、内半径R2的金属球壳B, 其中放一半径为R3的金属球A，球壳B和球A均带有电量为q的正电荷. 问：(1) 两球电荷分布. (2) 球心的电势. (3) 球壳电势.,R3,R2,R1,分析：电荷分布如图所示: 球面q,壳内表面-q,壳外表面2q,且所有电荷是均匀分布的.,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,B,A,球对称性，可由高斯定理得电场分布,28,例1 有一外半径R1、内半径R2的金属球壳B, 其中放一半径为R3的金属球A，球壳B和球A均带有电量为q
10、的正电荷. 问：(1) 两球电荷分布. (2) 球心的电势. (3) 球壳电势.,解：(1) 电荷分布如图所示: 球面q,壳内表面-q,壳外表面2q,且所有电荷是均匀分布的.,(2) 由高斯定理得电场分布为:,29,选积分路径沿径向,球心电势为:,(2) 根据电势的定义：,30,(3) 同理,球壳电势为:,31,一个带电金属球半径R1，带电量q ，放在另一个带电球壳内，其内外半径分别为R2、R3，球壳带电量为 Q 。试求此系统的电荷、电场分布以及球与球壳间的电势差？,32,92 静电场中的电介质,33,电介质(dielectric)的电结构特征,分子中的正负电荷束缚的很紧, 不能分离, 介质内
11、部几 乎没有自由电荷.,无极分子,有极分子,分子电矩：,34,无极分子,有极分子,+-,无外场时（热运动）,整体对外 不显电性,(无极分子电介质),(有极分子电介质),35,电介质极化: 在外电场的作用下,介质表面产生电荷的现象.,*由于这些电荷仍束缚在每个分子中，所以称之为束缚电荷或极化电荷.,极化前,无极分子的位移极化(displacement polarization),有极分子的转向极化(orientation polarization),1.电介质的极化,36,受外电场作用,(分子) 位移极化,(分子) 取向极化,束缚电荷,束缚电荷, 无极分子电介质, 有极分子电介质,37,:分子电
12、矩,的单位：,对于电介质,定义：,2. 电极化强度(polarization intensity),实验规律：,与E无关，取决于电介质的种类. 可证明:,注意 这里研究的是各向同性的电介质.,38,设在均匀电介质中截取一斜柱体，体积为dV。,*电极化强度与极化电荷密度的关系,结论：均匀电介质表面产生的极化电荷面密度等于该处电极化强度沿表面外法线方向的投影.,39,3. 有电介质时的场强,同理可知:,亦可得:,40,真空中的高斯定理：,介质中的高斯定理：,q,93 有电介质时静电场的高斯定理,如图：,得：,整理得：,定义辅助矢量,41,定义电位移矢量(electric displacement
13、vector)：,介质中的高斯定理：通过有电介质的静电场中任一闭合曲面的电位移通量, 等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.,的单位：,说明： 1. 介质中的高斯定理有普适性. 2. 电位移矢量D是一个辅助量, 描写电场的基本 物理量是电场强度E. 3. D是总场，与q、q有关，但其通量仅与q有关。,42,对于各向同性的电介质：,注: 性质方程只适用于各向同性的均匀介质.,真空中：,介质中：,电介质的性质方程：,是定义式，普遍成立.,而,43,利用对称性, 根据介质中的高斯定理计算出电位移矢量, 再通过性质方程, 便可求出场强.,*有电介质时高斯定理的应用,例1. 在无限长电缆内，导体圆柱A和同
14、轴导体圆柱壳B的半径分别为 r1和 r2 (r1 r2)，单位长度所带电荷分别为+和-，内、外导体之间充满电容率为 的均匀电介质。求电介质中任一点的场强及内、外导体间的电势差.,44,解: 取如图同轴圆柱形闭合高斯面,由有电介质时的高斯定理,可得:,即:,并由于E 和D 的方向一致，得所求场强的大小为,内、外导体间的电势差为,45,例2. 如图, 自由电荷面密度为 的无限大金属平板A,B间充满两层各向同性的电介质, 电介质的界面与带电平板平行, 相对介电常数分别为 和 , 厚度各为 和 , 求(1)各介质层中的场强; (2)A, B间的电势差.,+ + + + + + + + + + +,-
15、- - - - - - - - - - - -,解:由对称性可知,两层介质中的电场都为均匀电场, 的方向与带电平面垂直. 取如图圆柱形闭合高斯面 ,由电介质中的高斯定理,可得:,故得:,46,同理作高斯面 ,可得介质2中:,由电势差定义,可求得,47,1. 孤立导体(isolated inductor)的电容(capacitance),定义 带电量为Q的孤立导体球的电量和电势之比为定值,94 电容 电容器,称为导体的电容.,注意 电容 C 反映导体容电能力, 只与导体本身的形状、大小和结构有关；与是否带电无关. 电容通过单位电势容纳的电量来表征.,单位 法拉,实际中常用更小的单位,48,2.
16、电容器(capacitor),说明：(1) C 是描述电容器储电本领的物理量；(2) C 取决于电容器两板的形状、大小、相对位置及中间电介质的种类和分布情况； (3) q为一个极板所带电量的绝对值.,*电容器电容 极板所带电量q与极板间电势差U的比值.,*常用的电容器由两个金属极板和介于其间的电介质所组成.,两块带电导体构成的电容器,49,电容器电容的计算步骤：,1、首先假设电容器的两个极板A、B 分别带+q和-q电荷； 2、求两极板间的电场 分布，并由计算两极板间电势差。3、由定义式 计算电容C。,50,（2）两带电平板间的电场强度,（1）设两导体板分别带电, 面密度,（3）两带电平板间的电
17、势差,（4）平板电容器电容,3. 平行板电容器,51,球形电容器是由半径分别为 和 的两个同心金属球壳所组成两球壳间充满电容率为 的电介质. 内球壳均匀带正电 , 外球壳内外表面均匀分布感应电荷 和 .外球壳接地. 由高斯定理, 得:,*,4. 球形电容器,孤立导体球电容,52,1) 电容器的串联,等值电容：,结论：串联电容器等值电容的倒数等于各电容的倒数之和.,95 电容器的串联和并联,2) 电容器的并联,总电量：,等值电容：,结论：并联电容器的等效电容等于个电容器电容之和.,53,1) 点电荷系统的电能,该两点荷系统静电能为：,将两点荷从相距无限远处先后移动到如图位置,在这个过程中,外力克
18、服电场力作功为:,96 静电场的能量,54,用类似方法可以得出n个点电荷系统的电能：,连续分布带电体的电能：,*对真空和电介质都适用.,55,2) 电容器的能量,图示为电容器充电过程.,若将单位正电荷从B板移至A板, 则外力作功为:,在整个充电过程中, 外力作功为:,所以, 带电量为q的电容器所具有的能量为:,根据电容器电容的定义式,上式也可写为:,56,物理意义 电场是一种物质，它具有能量.,任一带电系统的电场, 根据场强分布,便可计算其电场所储存的总能量.,3) 电场的能量,4) 电场能量的计算,57,例1. 半径为R=10cm 的金属球, 带有电荷为q=1.010 -5C, 位于r =2
19、 的无限大均匀电介质中, 求这带电球体的电场能量.,解法一:由高斯定理,可得离开球心为r (rR)处的场强:,该处电场能量密度为:,取如图所示同心球壳作为体积元, 则积分可得整个电场的能量:,代入数值.,58,解法二:由孤立导体球的电容表达式可知,所以带电球体的电场能量为:,结果一致,例2. 一空气平板电容器电容C =1.010 -12F, 当充电至Q =1.010 -12C时切断电源. 求(1)极板间电势差及电场能量(2)若将极板间距增加一倍, 能量是增加还是减少? 为什么?,解: (1)极板间电势差为:,电场能量,59,(2) 当极板间距由d变为2d , 相应的电容为,能量的变化为,可见电场能量增加了,增加的能量是由外力克服两极间引力作功而转换来的.,
