1、主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类作 业 ： P1811（ 1） （ 5） （ 7） （ 9） ， 2, 6, 7 ,9（ 2） （ 4） ， 10, 11, 12（ 1） （ 3） （ 5） ， 15（ 1） （ 2） ， 16, 17（ 2） （ 4）主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 孤 立 奇 点 ： 如 果 函 数 f(z)在 z0点 不 解 析 ， 但 在 z0的 某 个 去内 处 处 解 析 ， 则 称 z0为 f(
2、z)的00 z z 注 意 ： 孤 立 奇 点 是 奇 点 ， 但 奇 点 不 一 定 是 孤 立 奇 点 .如 ： 11 1, , zz eez z0z 是 的 孤 立 奇 点 .如 ： 11sinz z ， 1 1, 2,z nn 是 奇 点 ， 但 不 是 孤 立 奇 点 .今 后 ， 主 要 研 究 孤 立 奇 点 .心 邻 域孤 立 奇 点 . 第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 若 z0是 f(z)的 孤 立 奇 点 ， 则 由 洛 朗 展 开 定 理 知 ， f(z)在 z0的某 个 去 心 邻 域 可 以 展 成
3、 洛 朗 级 数 . 0 01 0n nn nn nf z c z z c z z负 幂 项 反 映 了 f(z)在 z0点 的 奇 异 性 .根 据 Laurent级 数 展 开 式 的 系 数 cn的 不 同 情 况 ,可 以 把 f (z)的 孤 立 奇 点 分 为 三 类 . （ 1） 可 去 奇 点 （ 2） 极 点 （ 3） 本 性 奇 点第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 （ 1） 可 去 奇 点定 义 5.1 如 果 f (z)在 内 的00 z z 中 不 含 有 的 负 幂 项 , 即 当 0z z 1, 2
4、, 3,n 则 称 z0是 f (z)的 可 去 奇 点 . 0,nc Laurent级 数 时 ，0 1 0 0( ) ( ) ( ) .nnf z c c z z c z z 收 敛 半 径 至 少 为 , 和 函 数 F(z)在 z0处 解 析 . 00 0, F z z zf z c z z 无 论 f(z)在 z0是 否 有 定 义 ， 0 0limz z f z c 重 新 定 义 f(z0)=c0这 样 ， f(z)在 z0解 析z0称 为 f(z)的 可 去 奇 点 .第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类0 .z z R 在 内 ，上 式 成
5、立可 去 奇 点 的 判 定（ 1） 用 定 义 去 判 定如 果 f(z)在 z0的 洛 朗 级 数 无 负 幂 项 ， 则 z0为 f(z)的 可 去 奇 点 .（ 2） 判 断 极 限 0limz z f z若 存 在 ， 且 为 有 限 值 .主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类0 1 0 0( ) ( ) ( ) .nnf z c c z z c z z 主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 如 果 补 充 定 义 :2 4sin 1 11 ,3! 5!z z zz 所 以 z=0是 zzsin 的 可 去 奇 点 . 例
6、1 因 为 在 内 的 展 开 式 为sinzz 0 z 无 负 幂 项 0 sinlim 1,z zz 或 者sin , 0;( ) 1, 0,z zf z z z 则 f (z)在 全 平 面 解 析 . 第 二 十 一 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 （ 2） 极 点定 义 5.2 如 果 f (z)在 00 z z 的 Laurent级 数 展 开式 中 只 有 有 限 多 个 z-z0负 幂 项 ， 其 中 关 于 (z-z0)-1最 高 次 2 10 2 0 1 0mmf z c z z c z z c z z 20 1 0 2 0 1, 0m
7、c c z z c z z m c 那 么 称 孤 立 奇 点 z0为 f(z)的 m级 极 点 .幂 为 m,即第 二 十 一 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 2 10 2 0 1 0mmf z c z z c z z c z z 20 1 0 2 0 1, 0mc c z z c z z m c 01 mf z g zz z 20 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ,m m m mf z z z c c z z c z z 令 1 0( ) ( ) ( ) ,n mm m n ng z c c z z c z z 则 g(z)在 0z z
8、内 解 析 ， 且 0( ) 0,mg z c 即0lim ( ) ,z z f z 即 0lim ( ) ,z z f z 如 果 孤 立 奇 点 z0为 f(z)的 m级 极 点 . 第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 极 点 的 判 定（ 1） 用 定 义 去 判 定（ 3） 判 断 极 限 2 10 2 0 1 0mmf z c z z c z z c z z 20 1 0 2 0 1, 0mc c z z c z z m c 0lim ( ) ,z z f z 即 0lim ( ) ,z z f z 在 点 的 某 去
9、 心 邻 域 内 有0z其 中 在 的 邻 域 内 解 析 , 且 )(zg 0z .0)( 0 zg（ 2） 由 等 价 形 式 判 别 0( ) ( ) ( ) ( 1),mf z z z g z m 第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 例 2 求 函 数 2 32( ) ( 1)( 1)zf z z z 解 , 1z i z 是 函 数 的 孤 立 奇 点 . 的 孤 立 奇 点 并 判 定 类 型 . 3 1 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( 2),f z z z i z i z 所 以 ,z i 是 f (z)
10、的 1级 极 点 , 是 f (z)的 3级 极 点 .1z 第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 （ 3） 本 性 奇 点定 义 5.3 如 果 f (z)在 00 z z 内 的 Laurent级 数 展 开 式 中 含 有 无 穷 多 个 系 数 非 零 的 负 幂 项 , 即 0z z 2 10 2 0 1 0+ mmf z c z z c z z c z z 20 1 0 2 0 c c z z c z z 如 果 z0是 本 性 奇 点 ， 则 z0既 不 是 可 去 奇 点 ， 也 不 是 极 点 ，0 0,lim
11、( )z z cf z 有 限 数从 而 有第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类 1 211 0 z ,2! !nz z ze z n 3 511sin 0 .3! 5!z zz zz 例 3 z=0 是 和 的 本 性 奇 点 . 这 是 因 为 1ze 1sinz故 z=0是 它 们 的 本 性 奇 点 .主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类A BC D（ ） 本 性 奇 点 ； （ ） 一 级 极 点（ ） 可 去 奇 点 ； （ ） 二 级 极 点例 4 z=1 是 的 （ ） 1zze
12、 主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 综 上 所 述 :孤 立 奇 点可 去 奇 点m级 极 点本 性 奇 点 Laurent级 数 的 特 点 )(lim0 zfzz 存 在 且 为有 限 值不 存 在且 不 为 无 负 幂 项含 无 穷 多 个 负 幂 项含 有 有 限 个 负 幂 项10)( zz mzz )( 0关 于 的 最 高 幂为 第 三 十 四 讲 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 及 其 分 类主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 1.零 点 定 义 ： 不 恒 等 于 0的 解 析
13、 函 数 f(z)如 果 能 表 示 成 0 mf z z z z (z)在 z0解 析 , 0 0, ,z m Z 那 么 z0称 为 f(z)的 m级 零 点 .z=0是 31f z z z 的 一 级 零 点 .z=1是 31f z z z 的 三 级 零 点 .第 三 十 五 讲 零 点 与 极 点 的 关 系主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 2.零 点 的 判 定 ：如 果 f(z)在 解 析 ， 那 么 为 f(z)的 m级 零 点 的 充 要 条 件 是0z 0z 0 00, 0,1,2, , 1 , 0.n mf z n m f z 证 明 必 要 性 由 题 设 条 件 知 ，
14、 0 ,mf z z z z 0 0 0.z z z 在 解 析 ， 且 10 0 ,m mf z m z z z z z z 10 0mz z m z z z z 10 1mz z h z 1 0 1 0 0.h z z h z 在 解 析 ， 且 1 0 1 ,m mf z z z h z 1 0 1 0 0.m mh z z h z 在 解 析 ， 且第 三 十 五 讲 零 点 与 极 点 的 关 系主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 1 0 1 ,m mf z z z h z 1 0 1 0 0.m mh z z h z 在 解 析 ， 且 0 00, 0,1,2, , 1 , 0.n m
15、f z n m f z 1 0 1m m mf z h z z z h z 从 而 有充 分 性 由 同 学 们 自 己 完 成 .第 三 十 五 讲 零 点 与 极 点 的 关 系主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 例 1 z=0是 的 几 级 零 点 ？1-cosz解 01-cos 0,zz 0 01-cos sin 0,z zz z 0 01-cos cos 1,z zz z 0 1 cosz z 是 二 级 零 点 .第 三 十 五 讲 零 点 与 极 点 的 关 系主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 3.零 点 与 极 点 的 关 系 ：定 理 5.2 如 果 是 f(z)的 m级 极 点
16、， 那 么 就 是 的 m0z 0z级 零 点 .反 过 来 也 成 立 . 1f z证 明 设 是 f(z)的 m级 极 点 ， 则 由 定 义 知 ，0z 0 001 , 0.mf z z z z zz z 其 中 在 解 析 ， 且 01 1 ,mz zf z z 由 上 可 知 ， 0 01 1 0.zz z 在 解 析 ， 且 故 是 的 m级 零 点 .0z 1f z第 三 十 五 讲 零 点 与 极 点 的 关 系主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 例 2 有 什 么 奇 点 ？ 如 果 是 极 点 ， 指 出 它 的 级 .1sinz解 0, 1, 2,z n n 是 的 孤 立
17、奇 点 .1sinz sin cosz nz n ( 1) 0n sin 0,n 0, 1, 2,z n n 是 的 一 级 零 点 ，sinz从 而 是 的 一 级 极 点 .1sinz 第 三 十 五 讲 零 点 与 极 点 的 关 系主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 4.推 论 如 果 是 函 数 P(z)的 m级 极 点 ， 是 函 数 Q(z)0z 0z 是 的 m-n级 极 点 ， P zQ z 第 三 十 五 讲 零 点 与 极 点 的 关 系的 n级 极 点 ， mn， 则 01 mP z g zz z 证 明 0 0 0g z z g z .其 中 在 解 析 ， 且 01 n
18、Q z h zz z 0 0 0h z z h z .其 中 在 解 析 ， 且 01 m nP z g zQ z h zz z 若 mn， 则 0z 是 的 n-m级 零 点 . P zQ z 若 m=n,则 为 可 去 奇 点 .主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 例 3 问 z=0是 的 二 级 极 点 吗 ？3 1zez解 第 三 十 五 讲 零 点 与 极 点 的 关 系2 33 31 1 1 12! 3!ze z z zz z 321 1 1 1 12 3! 4! ! nz zz z n 方 法 一方 法 二主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 例 4 问 z=0是 下 列 函 数 的 什
19、么 奇 点 ， 如 果 是 极 点 ， 请 指 出 级 数 . 第 三 十 五 讲 零 点 与 极 点 的 关 系 2sin1 1zz ze z 122 1 zzz e主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 第 三 十 五 讲 零 点 与 极 点 的 关 系 21 11f z zz z 在 处 有 一 个 二 级 极 点 ， 这 个 函 数 又 有P182 8. 2 5 4 31 1 1 1 , 1 11 1 1 1 zz z z z z 洛 朗 展 开 式 ：1 ( )z f z所 以 又 是 的 本 性 奇 点 .这 个 说 法 对 吗 ？P182 5. 0( ) ( )f z g z z如 果
20、和 是 以 为 零 点 的 两 个 不 恒 等 于 0的 解 析 函 数 ， 则 0 0lim lim 0z z z zf z f zg z g z 主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 第 三 十 八 讲 函 数 在 无 穷 远 点 的 性 态定 义 5.5 若 函 数 f(z)在 无 穷 远 点 的 去 心 邻 域z内 解 析 ， 则 称 点 为 f(z)的 孤 立 奇 点 . 0U z R z 作 变 换 1t z 1f z f tt z 映 射 为 0t R z 映 射 为 10 t R 1t f t 在 10 t R 内 解 析 ， 或 R=0时 ， 在0 t 内 解 析 ， 故 t=0是
21、 的 孤 立 奇 点 . t如 果 函 数 f(z)在 无 穷 远 点 的 去 心 邻 域 内 解 析 ， 则z主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 由 此 可 见 ， 函 数 在 无 穷 远 点 的 特 性 与 其 洛 朗 级 数 展 开 式 之 间 的 关 系同 函 数 在 有 限 孤 立 奇 点 处 类 似 ， 只 是 将 正 幂 项 与 负 幂 项 的 作 用 相 互对 调 而 已 .定 义 如 果 t=0是 的 可 去 奇 点 、 m级 极 点 或 本 性 奇 点 ， 则 称 点z是 f(z)的 可 去 奇 点 、 m级 极 点 或 本 性 奇 点 . 01 1n nn nn nf z c
22、 z c c z 01 1n nn nn nt c t c c t 不 含 负 幂 项 ， t=0是 可 去 奇 点 t f z不 含 正 幂 项 ， 是 可 去 奇 点z含 有 限 个 负 幂 项 ， t=0是 极 点 含 有 限 个 正 幂 项 ， 是 极 点z含 无 穷 多 个 负 幂 项 ， t=0是 本 性 奇 点 含 无 穷 多 个 正 幂 项 ， 是 本 性 奇 点z t 第 三 十 八 讲 函 数 在 无 穷 远 点 的 性 态主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 孤 立 奇 点 类 型 的 判 定z 0lim limt zt f z 孤 立 奇 点可 去 奇 点m级 极 点本 性
23、奇 点 Laurent级 数 的 特 点 lim ( )z f z存 在 且 为有 限 值不 存 在且 不 为 无 正 幂 项含 无 穷 多 个 正 幂 项含 有 有 限 个 正 幂 项0( )z z0( )mz z关 于 的 最 高 幂为第 三 十 八 讲 函 数 在 无 穷 远 点 的 性 态主 讲 教 师 ： 吴 慧 卓 例 1 （ 1） 函 数 在 圆 环 域 内 的 洛 朗 展 开 式 ： 1 zf z z 1 z 21 1 1 11 111 n nf z z z zz 无 穷 多 个 负 幂 项z是 f(z)的 可 去 奇 点 . 12 g z z z 含 有 正 幂 项 ， 最 高 次 数 是 1. 2 13 51 13 sin 13! 5! 2 1 !nn zz z z z n 含 有 无 穷 多 个 正 幂 项 ， z是 f(z)的 本 性 奇 点 .z是 f(z)的 一 级 极 点 .第 三 十 八 讲 函 数 在 无 穷 远 点 的 性 态
