1、第一单元 圆圆概念总结1圆的定义：平面上的一种曲线图形。2将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等。例：圆是平面上的一种（ 曲线 ）图形，将一张圆形纸片至少对折（ 两 ）次可以得到这个圆的圆心。3半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。例：要画一个周长是 31.4 厘米的圆，圆规两角之间的距离是（ 5 ）厘米。4圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。例：（ 半径 ）决定圆的大小；（ 圆心 ）决定圆的位置。5直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做
2、直径。直径一般用字母 d 表示。例：圆中最长的线段是圆的（ 直径 ） 。6在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。7在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。例：圆有（ 无数 ）条半径， （ 无数 ）条直径， （ 无数 ）条对称轴。8在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为：d2r r d 1用文字表示为：半径=直径2 直径= 半径2例：画一个直径 4 厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应该是（ 2 ）厘米。9圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。10圆的周长总是直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，
3、用字母 表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。例：圆的周长是它的直径的（ 3 ）倍多一些，这个倍数是一个固定的数，我们把它叫（ 圆周率 ） ，常用字母（ ）表示。它是一个（ 无限不循环 ）小数，取两位小数是（ 3.14 ） 。11圆的周长公式：C= d 或 C=2 r 圆周长= 直径 圆周长= 半径2例：一个圆形养鱼池，直径是 4 米，这个鱼池的周长是多少米？解：C=d=4 米=4 米答：这个鱼池的周长是 4 米。12圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。13把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一
4、半，用字母（ r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长宽，所以圆的面积= rr。圆的面积公式： 。例：把一个圆平均分成若干份，可以拼成一个近似于长方形。长方形的长相当于圆（ 周长的一半 ） ，宽相当于圆的（ 半径 ） ，所以圆的面积 S=（ ） 。14圆的面积公式： 或者 S= （d 2） 或者 S= （C 2）例：一个半圆形池塘，它的直径是 4 米，求它的面积。解：S= （d 2）2=2答：面积是 2 平方米15在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。例：边长为 4 厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是（ 4 ） 。2厘 米16在一个长方形里
5、画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。例：在一个长 8 厘米、宽 5 厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆，圆的面积是（ 6.25 ）平方厘米。17一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r，它的面积是 S= R 或 S= （R ） 。 （其中 Rr环的宽度 ）例：在一个直径是 2 米的圆形水池四周修一条宽 1 米的石子路，石子路的面积是多少？解：r=2 米2=1 米 R=1 米1 米=2 米S= R = （2-1）=3答：石子路的面积是 3。18半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。半圆的周长公式： d 2d 或 r2r圆
6、周长的一半= r例：半圆的周长就是用圆的周长除以 2。（ ）19半圆面积圆的面积 2 公式为： 2例：一个半径为 20 米的舞台，面积是多少？解：S= 2=20 202=200答：舞台的面积是 200。20在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。例：在同一个圆里，半径扩大 4 倍，那么直径和周长就都扩大（ 4 ）倍，而面积扩大（ 16 ）倍。21两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。例如：两个圆的半径比是 2：3，那么这两个圆的直径比和周长比都是 2：3，而面积比是 4：9。22圆周长和直径的比是 ：1，比
7、值是 ；圆周长和半径的比是 2 ：1，比值是 2 ；例：已知一个圆形跑到的周长是 1256 米，求该圆的直径和半径。解:d=c=12563.14=400 米r=c2=200 米答：圆的直径和周长分别是 400 米和 200 米。23当一个圆的半径增加厘米时，它的周长就增加 2 厘米；当一个圆的直径增加厘米时，它的周长就增加 厘米。例：一个半径为 3 米的圆，半径增加 1 米，周长增加多少米？解：C 1 =2r=6 米C2 =2r=8 米增加量：C 2- C1=8-6 =2 米答：周长增加了 2 米。24在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长
8、的几分之几。25当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。26扇形弧长公式： 扇形的面积公式： S= （n 为扇形的圆心角度360n数，r 为扇形所在圆的半径）例：一个圆心角是 90的扇形，半径是 4 厘米，面积是多少？解：90360r=4 平方厘米答：面积是 4 平方厘米。27轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 28 有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。有 2 条对称轴的图形是：长方形有 3 条对称轴的图形是：等边三角形有 4 条对称轴的图形是：正方形有无数条
9、对称轴的图形是：圆、圆环。29直径所在的直线是圆的对称轴。例：圆是（ 轴对称）图形，有（无数）条对称轴。半圆有（1）条对称轴。第二单元 百分数应用题（一）百分数的基本概念1百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。2百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。例如：25的意义：表示一个数是另一个数的 25。3百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于 100，小于 100 或等于 100。例：初一八班有 54 人，某次体育测试
10、，54 人达标，那么初一八班体育达标率是多少？解：5454100%=100%答：体育达标率为 100%。4小数与百分数互化的规则：把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。5百分数与分数互化的规则：把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数） ，再把小数化成百分数；把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。=（ 0.4 ）=( 40 )%52（二）百分数应用题百分数应用题（一）求增加百分之几？减少百分之几？公式：增加百分之几=增加的部分单位 1减少百分之几=减少的部分单
11、位 1 例：1、45 立方厘米的水结成冰后，冰的体积为 50 立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分单位 1；先确定单位 1 是水，已经知道是 45；增加的部分不知道，可以利用 50 减 45 求得5；最后用增加的部分 5单位 1 水的 45 就等于增加百分之几。计算步骤：第一步：单位 1：水：45 立方厘米第二步：增加的部分：5045=5 立方厘米第三步：增加百分之几：545=11.1%4、 “减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。 5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几” “提高百分之几”“增长百分之几“等。与减少百分之几相同的
12、还有“少百分之几” “降低百分之几” “节约百分之几”等。百分数应用题（二）比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。例 1、某小学去年有 80 名学生，今年的学生人数比去年增加了 25%，今年有多少名学生？解题思路：单位 1 去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）算式：80（1+25%）2、某小学去年有 80 名学生，今年的学生人数比去年减少了 25%，今年有多少名学生？解题思路：单位 1 去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）算式：80（1-25% ）3、某小学今年有 100 名学生，比去年增加了 25%，去年有多少名学生？解题思路：单位 1 去年不知道用除法，增加用（1+2
13、5%）算式：100（1+25%）4、某小学今年有 100 名学生，比去年减少了 25%，去年有多少名学生？解题思路：单位 1 去年不知道用除法，增加用（1-25%）算式：100（1-25% ）百分数应用题（三）列方程解百分数应用题1、小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的 20%，第一天比第二天多看 20 页，这本书一共有多少页？解题思路：单位 1 一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。根据“第一天比第二天多看 20 页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的 20 页。等量关系式：（第一天）（第二天）=20 页方法 1：解：设这本书一共有 X 页。
14、由“第一天看了全书的 25%”可以知道第一天等于全书乘以 25%，用 X 可以表示为 25%X，由 “第二天看了全书的 20%”可以知道第二天等于全书乘以 20%，用 X 可以表示为 20%X.依据等量关系式“第一天第二天 =20 页”可以列方程为：25%X20%X=20方法 2：“第一天比第二天多看 20 页”可以知道 20 页是第一天和第二天的差。要求单位 1 只要用 20 页除以 20 页的对于分率。列算式为：20(25% 20%)2、小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的 20%，两天共看了 20页，这本书一共有多少页？等量关系式：由“两天共看了 20 页”可以知道（
15、第一天）+（等二天）=20 页。方程法：解：设这本书共有 X 页，则第一天为 25%X，第二天为 20%X。方程列为：25%X+20%X=20算术法：由“两天共看了 20 页”可以知道 20 页是第一天和第二天的和，要求单位 1 只要用 20 页除以 20 页的对于分率。列算式为：20(25%+20%)3、小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的 20%，还剩 20 页，这本书一共有多少页？等量关系式：（一本书）（第一天）（第二天）=20 页方程法：解设这本书一共有 X 页，则第一天为 25%X，第二天为 20%X。列方程为：X25%X20%X=20算术法：20（1- 25%-
16、 20%）4、小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天比第一天多看 10 页，还剩 20 页，这本书一共有多少页？方程法：解：设这本书一共有 X 页，则第一天为 25%X，第二天为（25%X+10）页。列方程为：X25%X（25%X+10）=20百分数应用题（四）利息的计算1.本金：存入银行的钱叫做本金。2利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。利息=本金 利率时间32008 年 10 月 9 日以前国家规定，存款的利息要按 20的税率纳税。国债的利息不纳税。2008 年 10 月 9 日以后免收利息税。所以如无特殊说明，就不在计算利息税。4利率：利息与本金的比值叫做利率。5银行存款税后利息
17、的计算公式：税后利息利息（20）6国债利息的计算公式：利息本金利率时间7本息：本金与利息的总和叫做本息。8应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。9税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。10应纳税额的计算：应纳税额各种收入税率例如：李老师把 2000 元钱存入银行，整存整取五年，年利率按 4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的 2000 元加上利息的。解题步骤：第一步：根据“利息本金利率时间”算利息利息：20004.14%5=414 元第二步：本金+利息：2000+414=2414 元。例如：李老师把 2000 元钱存入银行，整存整取
18、五年，年利率按 4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？（如果利息按 20%来上税）解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的 2000 元加上利息的。解题步骤：第一步：根据“利息本金利率时间”算利息利息：20004.14%5=414 元第二步：算税后利息：414（120%）=331.2 元本金+利息：2000+331.2=2331.2 元。第三章 图形的变换1、图形变换的三种方法：第一种平移：要说明向什么方向（上、下、左、右）平移几个单位。第二种旋转：要说明绕哪个点，顺时针还是逆时针，旋转多少度（90 度、180 度、270 度）第三种作对称图形：要说明是关于哪条直线作
19、哪个图形的对称图形。2、比赛场次、握手次数的计算第一步：首先要算出有多少个人（或多少支队伍）进行比赛。有多少个人进行握手。第二步：计算比赛场次、握手次数。例如：如果是 5 人，从 1 加到 4，如果是 6 人，从 1 加到 5，如果是 8 人，从 1 加到 7，如果是 100 人，从 1 加到 99.3、计算起跑线。例如：第一道的弯道半径是 36 米，每个道的跑道宽度是 1.2 米那么：第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2。第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1
20、.2+1.2+1.2第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2+1.2不同的两个道的起跑点相差多少米的算法：第一步：先算出要跑几圈。第二步：计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长。第三步：有两个道的圆周长相减，就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米。第四步：用这个相差数要跑的圈数。第四章 比的认识（一）比的基本概念1两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。2比值通常用分数、小数和整数表示。3比的后项不能为 0。4同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；5根据分数与除法的关系，比的前项相
21、当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。6比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0 除外） ，比值不变。（二）求比值求比值：用比的前项除以比的后项例如：36 分：1 小时=0.6 8 立方分米：2 立方分米=4（三）化简比化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。例如：12 : 16=3:4 （四）比的应用1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？例如：六年级有 60 人，男女生的人数比是 5：7，男女生各有多少人？题目解析：60 人就是男女生人数的和。解题思路：第一步求每份：60（5+
22、7）=5 人第二步求男女生：男生：55=25 人 女生：57=35 人。2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？例如：六年级有男生 25 人，男女生的比是 5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？题目解析：“男生 25 人”就是其中的一个数量。解题思路：第一步求每份：255=5 人第二步求女生： 女生：57=35 人。 全班：25+35=60 人3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？例如：六年级的男生比女生多 20 人（或女生比男生少 20 人） ，男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？题目解
23、析：“男生比女生多 20 人”就是两个量的差。解题思路：第一步求每份：20（7-5）=10 人第二步求男生、女生、全班总人数：女生：105=50 人，男生：107=70 人，全班：5070=120 人4、要求量=已知量 已 知 量 份 数要 求 量 份 数5、比在几何里的运用：（1）已知长方形的周长，长和宽的比是：。求长和宽、面积。长=周长 2 宽= 周长2 面积长宽baba（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是：。求长、宽、高、体积长=周长 宽= 周长 cbacba高=周长 体积长宽高（3）已知三角形三个角的比是：，求三个内角的度数。三个角分别为：180 180 180cbacbac
24、ba（4）已知三角形的周长，三条边的长度比是：，求三条边的长度。三条边分别为：周长 周长 周长cbacbacba第五章 圆柱和圆锥一、 面的旋转1.“点、线、面、体”之间的关系是：点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。2.圆柱的特征：（1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。（2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。（3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。3.圆锥的特征：（1）圆锥的底面是一个圆。（2）圆锥的侧面是一个曲面。（3）圆锥只有一条高。二、 圆柱的表面积1.沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）。（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）2.圆柱的侧面积底面周长
25、高，用字母表示为：S 侧 ch。3.圆柱的侧面积公式的应用：（1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S 侧 ch；（2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S 侧 dh；（3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S 侧 2 rh4.圆柱表面积的计算方法：如果用 S 侧 表示一个圆柱的侧面积，S 底 表示底面积，d 表示底面直径，r 表示底面半径，h 表示高，那么这个圆柱的表面积为：S 表 =S 侧 +2S 底或 S 表 =dh+d/2或 S 表 =2rh+2r25.圆柱表面积的计算方法的特殊应用：（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。（2）圆柱的
26、表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。三、 圆柱的体积1. 圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。2. 圆柱的体积底面积高。如果用 V 表示圆柱的体积， S 表示底面积，h 表示高，那么 VSh。3. 圆柱体积公式的应用：（1） 计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：VSh 。（2） 已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V r2h；（3） 已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：V (d/2)2h；（4） 已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：V (C/2)2h；圆柱形容器的容积底面积高，用字母表示是 VSh 。5.圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计
27、算方法相同。四、 圆锥的体积1. 圆锥只有一条高。2. 圆锥的体积1/3底面积高。如果用 V 表示圆锥的体积， S 表示底面积，h 表示高，则字母公式为：V=1/3Sh3. 圆锥体积公式的应用：（1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用“v= 1/3 Sh”这一公式。（2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用 1/3rh（3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用 1/3（d/2 ）h（4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，可以运用 1/3（c/2 ）h第六章 正比例和反比例一、 变化的量生活中存在着大量互相依存
28、的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。二、 正比例1. 正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用字母 k 表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：y/x=k（一定）。2. 应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，例如：被减数与差，正方形的面积与边长等。三、 画一画正比例的图像是一条直线。四、 反比例1. 反比例的意义：两种相关联
29、的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：xy=k （一定）。2. 判断两个量是不是成反比例：要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；最后作出结论。例：A、B 、C 三种量的关系是: AB C（1）如果 A 一定，那么 B 和 C 成（正）比例；（2）如果 B 一定，那么 A 和 C 成（正）比例；（3）如果 C 一定，那么 A 和 B 成（正）比例五、观察与探究当两个变量
30、成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线。六、图形的放缩一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。七、比例尺1. 比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺=图上距离 实际距离图上距离=实际距离 比例尺 实际距离= 图上距离 比例尺例：在一幅地图上量得甲乙两地距离 6 厘米，乙丙两地距离 8 厘米；已知甲乙两地间的实际距离是 120 千米，乙丙两地间的实际距离是（ 160 ）千米；这幅地图的比例尺是（ 1:2000000 ） 。2. 比例尺的分类：比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比例尺和放大比例尺。根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。例：一种微型零件的长 5 毫米，画在图纸上长 20 厘米，这幅图的比例尺是（40：1） 。3. 比例尺的应用：（1）、已知比例尺和图上距离，求实际距离比例尺=图上距离实际距离图上距离=实际距离比例尺实际距离=图上距离比例尺例如：在比例尺是 1:4000000 的地图上，图上距离 1 厘米表示实际距离（40）千米。也就是图上距离是实际距离的，实际距离是图上距离的（ 4000000）倍。
