1、专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1第一章 函数与极限1 函数一、是非判断题1、 )(xf 在 X 上有界， )(xg 在 X 上无界，则 )()( xgxf + 在 X 上无界 . 2、函数xexf ln)( = 与函数xexgln)( = 是表示同一函数 . 答：不是同一函数，因为 )(xf 的定义域是 )( +， 而 )(xg 的定义域)0( +，3、函数212)cos1()( xxf = 与函数 xxg sin)( = 是表示同一函数。 答：不是表示同一函数 ,因为两函数的对应规律不同 .4、 )1ln()1()( xxexfxx+=+函数 ，则 既是奇函数又是偶函数)(xf . 答
2、：是 ,0)(,01000)(,0)1ln(00=+= axaxaxf （ A ）的值奇偶性决定于非奇非偶函数；偶函数； 奇函数； aDCBA)()()()(三、填空题1、 则时且当设 zxzyyxfyxz , , 0 , )(2=+= .解：2, 0 xzy = 时因 2)( xxfx =+ 故有 xxxf =2)()()()(2yxyxyxf = )()(2yxyxyxz +=2)(2 yxy +=2、 的定义域为，则设 )()65lg(56)(22xfxxxxxf +=解： 由 解得 ，65 0 1 62+ xx x由 解得 或xx x x2560 2 3+ ) ( 故函数的定义域是 ，
3、 ， 12 36 .3、 则， ；，设 )(0202)( xffxxxxfxyxyx ylog 存在正整数 N，使得当 nN 时总有无穷多个nx 满足 |nx 数列nx 中只有有限项不满足 |nx 。 二单项选择题1、 无界是数列发散的数列na （ B ）件既非充分又非必要条 充分必要条件充分条件 必要条件DCBA;2、=为偶数当为奇数当nnnxn,10,17则 D 。（ A） ;0lim =nnx （ B） ;10lim7=nnx专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1（ C） ;,10,0lim7=为偶数为奇数nnxnn(D) 不存在nnxlim3、数列有界是数列收敛的 B 。（ A）充分条
4、件； （ B）必要条件；（ C）充分必要条件； （ D）既非充分又非必要条件。4、下列数列nx 中，收敛的是 B 。（ A）nnxnn1)1(= （ B）1+=nnxn（ C）2sinnxn= （ D）nnnx )1(=三根据数列极限的定义证明。（ 1）321312lim =+nnn分析 要使 n .证明 因为 0, 41=N , 当 nN 时 , 有 n .证明 因为 0, 1lg1+=N , 当 nN 时 , 有 |0.99 91|0, NN, 当 nN 时 , 有MynN 时 , 有=0, NN, 当 nN 时 , 有 存在 ,0 使得当 0xf 且 .0,)(lim0=AAxfxx那末
5、 5、 如果 Axfx=)(lim 且 ,0A 那么必有 ,0X 使 x在 XX, 以外时 .0)( xf 二单项选择题1、从 1)(lim0=xfxx不能推出 C 。（ A） 1)(lim00=+xfxx（ B） 1)0(0=xf （ C） 1)(0=xf （ D） 01)(lim0=xfxx2、 )(xf 在0xx = 处有定义是 )(lim0xfxx存在的 D 。（ A） 充分条件但非必要条件； （ B）必要条件但非充分条件（ C） 充分必要条件； （ D）既不是充分条件也不是必要条件3、若 ,11)(,1)1()(22+=xxxgxxxf 则 C 。（ A） )()( xgxf = （
6、 B） )()(lim1xgxfx=（ C） )(lim)(lim11xgxfxx = （ D）以上等式都不成立4、 )(lim)(lim0000xfxfxxxx += 是 )(lim0xfxx存在的 C 。专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1（ A）充分条件但非必要条件； （ B）必要条件但非充分条件（ C）充分必要条件； （ D）既不是充分条件也不是必要条件三、根据函数极限的定义证明（ 1） 21241lim321=+ xxx分析 |)21(|2|221|212413=+xxxx, 要使 0, 21= , 当 x .证明 因为 0, 321=X , 当 |x|X 时 , 有 () ()g
7、x fx使得在该邻域内 (0101lim ( )200xxBAfx Axx=+，即2取 ， ，则当 时有 =0, 在 (, +)内总能找到这样的 x, 使得 |y(x)|M. 例如y(2k)=2k cos2k=2k (k=0, 1, 2, ),当 k 充分大时 , 就有 | y(2k)|M. 所以，函数 y=xcos x 在 (, +)内无界 .因为 M0, 找不到这样一个时刻 N, 使对一切大于 N 的 x, 都有 |y(x)|M. 例如0)22cos()22()22( =+=+ kkky (k=0, 1, 2, ),对任何大的 N, 当 k 充分大时 , 总有 Nkx +=22 , 但 |
8、y(x)|=0N 时有 .lim, axzxynxnnn=那么 2、如果数列nx 满足：（ 1） 为常数anaxn.,2,1( =xn+1(n=1,2).则 xn必有极限 3、 1sinlim =xxx 专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 14、1)11(lim =+nnn 105lim(1 )xxx+=、 二单项选择题1、下列极限中，极限值不为 0 的是 。（ A）arctanlim;xxx（ B）xxxxcos3sin2lim+（ C）xxx1sinlim02（ D）2420limxxx x+2、若 且),()( xxf lim ( ) ,lim ( ) ,xa xafx A x B= =
9、 则必有 B 。（ A） AB (B)A B (C)|A|B (D)|A|B|3、1000)11(lim+nxn的值是 A 。(A)e (B)e1000(C)e e1000(D)其它值4、tanlimsinxxx= B 。(A)1 (B) 1 (C)0 (D)5、 =)sin11sin(lim0xxxxxA 。(A) 1 (B)1 (C)0 (D)不存在0tan0() lim ()30xkxxfx fx k Cxxx，6、设 ，且 存在，则 的值为 ，=+12 3 4AB CD ； ； ； 0sinlim 3(2)33662xkxkDxxAB CD7、已知 ，则 的值为 ； ； ； =+ si
10、nlim 10 1xxCxAB C D8、极限 ； ； ； = 专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 12112221lim211xxxDxABeCe De9、极限 的值是 ； ； ； +22 2222 1221lim(1 ) lim(1 )11lim(1 ) lim(1 )xxxxAeBeCeDex x10、下列等式成立的是B ； ； + += +=+= +=10lim(1 )111 22xxkx e k CAB C D11、已知 ，则 的值为 ； ； ； +=三计算下列极限（ 1）xxxx sin2cos1lim0;解法一 ( ) 2sinlim2sin2lim2cos1limsin2cos
11、1lim20220200= xxxxxxxxxxxxx.解法二 2sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0200= xxxxxxxxxxx.（ 2）xxx3tanlim0;解 33cos133sinlim33tanlim00= xxxxxxx（ 3）xxx10)1(lim ;解 11)(10)1()(1010)(1lim)(1lim)1(lim=+=+= exxxxxxxxx.(4)xx xx2)1(lim+;解 222)11(lim)1(lim exxxxxxx=+=+专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1四、利用夹逼准则证明： ( ) 11211lim222=+ nnnn
12、nn;证明 因为( ) +0, 所以 xn+1xn0, 即数列 xn单调增 .因为数列 xn单调增加有上界 , 所以此数列是有极限的 .11 1 1(12)2lim lim lim limnnnnnnnn nnnn nabab a abb nab abnull五、设 ， 是两个正数，令 ， ， ， ，证明： 存在， 存在，且+ +=aababbaababbnnnnnn2111121122=+=+， null专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1故对一切 有 na baabaababbbbnnnnnnnnnn nnn=+=+12122 即 单调增， 单调减abnn于是有 ab a a a b b
13、 babnnn112312112= nullnull 即 有上界 ， 有下界abbann22从而 与 都存在。设，则由 得从而lim limlim limlim limnnnnnnnnnnnnnabaA bBbabBABAB +=+=+=122 7 无穷小的比较一、是非题1、 , 是同一极限过程中的无穷小，且 , 则必有 。 2、 0x 时330tan sinsin , lim lim 0sinxxxx xxxx = 3、已知 11coslim0=xxx，由此可断言，当 )1(cos,0 xxx 与时 为等价无穷小。 4当 0x 时， x3sin 与 1xe 是同阶无穷小 。 5当 1x 时，
14、31 x 是 1x 的高阶无穷小。 二、单项选择题1、 x 0 时， 1 cosx 是 x2的 B 。(A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小2、当 x 0 时，（ 1 cosx）2是 sin2x 的 A 。(A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小3、如果应满足则高阶的无穷小是比时 cbaxcbxaxx ,111,2+C 。专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1(A) 1,1,0 = cba (B) 0, 1,abc=为任意常数(C) 为任意常数cba ,0 (D) 都可以是任意常数cba ,4、 1x 时与无穷小
15、 x1 等价的是 C 。(A) ()3121x (B) ()x121(C) ( )2121x (D) x15下列极限中，值为 1 的是 C 。(A)xxxsin2lim(B)xxxsin2lim0(C)xxxsin2lim2(D)xxxsin2lim30tan sinlim11062xxxxAB C D6、极限 的值为C ； 01cos3limsin 31230632xxxxAB C D7、极限 的值为D ； ； ； 三、设当 0x 时， )1ln()cos1(2xx + 是比nxxsin 高阶无穷小；而nxxsin 又是比)1(2xe 高阶的无穷小，求 n。解：当 0x 时，4221)1ln
16、()cos1( xxx +1sin+nnxxx212xex由 214 + n 可知 31=+n ，故 2=n01() () () ()xx x x x x四、若 时， 与 是等价无穷小， 与 是同阶无穷小， 1() () () ()xx xx但不是等价无穷小，证明： 与 也是等价无穷小。 () ()xx证：因 与 是同阶无穷小，而不是等价无穷小故，lim()()xxxxAA=01专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1则 lim() ()() ()xxxxxx01 =lim()()()()()()()xxxxxxxxA0111 =111AA 8 函数的连续性与间断点一是非题1、 )(xf 在其定
17、义域（ a,b）内一点 x0处连续的充分必要条件是 )(xf 在 x0既左连续又右连续。 2、 )(xf 在 x0有定义，且0limxx)(xf 存在，则 )(xf 在 x0连续。 3、 )(xf 在0xx= 无定义，则 )(xf 在 x0处不连续。 )()()()()(4 也是连续函数，为连续函数，试证明，、设 xgxfMaxxMxgxf = 因，Mx Maxfx gx() () ()=+1212f x gx f x gx() () () ()已知 ， 为连续函数，故 ，均为连续函数，从而 是连续函数fx gx fx gx fx gxfx gx() () () () () ()() ()+所
18、以有：是连续函数Mx fx gx fx gx() () () () ()=+1212 )(0)()(lim50处连续。在，则、若已知极限 axxfxafxafx=+ 不能例如： ，fxxa()=102专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1虽有lim ( ) ( ) lim( )xxfxfxxx+ = =002200110但 在 处不连续fxxx()=102)()()()()(6000处也连续。在处也连续，则在处连续，在、若 xxgxxgxfxxxf = 例： 在 处连续，当，当，当，当在 处连续fx x xgxxxxxfxgxxxxxxfxgxx() sin()() () ()sin() ()
19、()=220101000100但 在 处不连续gx x() = 0二单项选择题1、 )(xf 在点0x 处有定义是 )(xf 在点0xx= 连续的 A 。(A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 无关条件2、连续的在是00)()()(lim0xxxfxfxfxx=C 。（ A）必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 无关条件3、xxxfx1sinsin)(0 = 是 的 A 。(A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)振荡间断点 (D)无穷间断点4、的是则 )(1,1,2,1,11)(2xfxxxxxxxf
20、=KDkCkBkACkxxxxxxfk ） 的最大的取值范围是（点连续，则 ，在， ，、若函数cos210 () 01 ()(1)0101xfx x fx CxxAx xBx xCx xDx x、设 ，且 ， 为 的二个间断点，则间断点的类型为（ ） ， 都是第一类间断点； 为第一类间断点， 为第二类间断点； 为第二类间断点， 为第一类间断点； ， 都是第二类间断点=三、判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的 定义使其连续。专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1（ 1）23122+=xxxy x=1,x=2解)1)(2()1)(1(23122+=+=xxxx
21、xxxy . 因为函数在 x=2 和 x=1 处无定义 , 所以 x=2 和 x=1 是函数的间断点 .因为 =+=231limlim2222xxxyxx, 所以 x=2 是函数的第二类间断点 ;因为 2)2()1(limlim11=+=xxyxx, 所以 x=1 是函数的第一类间断点 , 并且是可去间断点 . 在x=1 处 , 令 y=2, 则函数在 x=1 处成为连续的 .(2)xxytan= x=k )2,1,0(2null=+= kkx解 函数在点 x=k(kZ)和2+=kx (kZ)处无定义 , 因而这些点都是函数的间断点 .因 =xxkxtanlim(k0), 故 x=k(k0)是
22、第二类间断点 ;因为 1tanlim0=xxx, 0tanlim2=+xxkx(kZ), 所以 x=0 和2+=kx (kZ) 是第一类间断点且是可去间断点 .令 y|x=0=1, 则函数在 x=0 处成为连续的 ;令2+=kx 时 , y=0, 则函数在2+=kx 处成为连续的 .四、 讨论函数 xxxxfnnn2211lim)(+=的连续性 , 若有间断点 , 判别其类型 .解=+=1| 1| 01| 11lim)(22xxxxxxxxxfnnn.在分段点 x=1 处 , 因为 1)(lim)(lim11=xxfxx, 1lim)(lim11=+xxfxx, 所以 x=1 为函数的第一类不
23、可去间断点 .在分段点 x=1 处 , 因为 1lim)(lim11=xxfxx, 1)(lim)(lim11=+xxfxx, 所以 x=1 为函数的第一类不可去间断点 .专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1处连续，在，且满足，对一切五、设 0)()()()( )( =+=+xxfyfexfeyxfyxxfxy处连续在任意点证明： xxf )(证： 取 代入题设等式得：xy=0fff f() () () ()000 00=+ = 即又由 在 处连续，知fx x() = 0lim ( ) ( )xfx f=000 lim ( ) lim ( ) ( )( ) lim lim ( )xxxxxx
24、xxfx x e fx e f xfx e e f x+= +=+0000=+=fx e e f fxx() () ()00故 在任意点 处连续fx x()9 连续函数的运算与初等函数的连续性一是非题1、 f(x),g(x)在0xx= 连续，则 )(3)().(2)(2xgxgxfxf + 在0xx= 也连续。 2、 )(xf 在0xx= 连续， )(xg 在0xx= 不连续， 则 )()( xgxf + 在 x0一定不连续。 3、 )(xf 在 x0连续， )(xg 在 x0不连续， 则 )()( xgxf 在 x0一定不连续。 4、xexxxfsin)( = 在 ),( + 上连续。 5、
25、 不连续函数平方后仍为不连续函数。 二单项选择题22224 11()(2) 0 (0)()0()()()xf xxx f AABeCeDe=+ =、要使 在 处连续，应补充定义 的值为 专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1任意， 处处连续，则有，当，当、baDbaCbaBbaAAxebaxxxbxaexfxx0)(1)(2)()(0)(0)sincos()(22=+=61413121)1ln(cos1lim30 的值为、极限DCBACxxxx+eDeCBADxxx101)(coslim410 的值是、极限+三、如果函数1sin 0() 01sin 0xxxfx p xxqxx，在 0x= 处
26、连续，求常数 p 和 q.解 ()001lim lim sin 1, (0)xxf xxfpx=由 ()f x 在 0x= 处连续性可知 1p =又 ()001lim lim sin , (0) 1xxfx x q qfx+ =由 ()f x 在 0x= 处连续性可知 1q = .四、求下列极限（ 1）145lim1xxxx专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1解：)45)(1(44lim)45)(1()45)(45(lim145lim111xxxxxxxxxxxxxxxxx+=+=214154454lim1=+=+=xxx.（ 2）21)63(lim+xxxx解：21633621)631()
27、63(+=+xxxxxxx. 因为exxx=+36)631(lim ,232163lim =+xxx,所以2321)63(lim=+exxxx.（ 3）30sintanlimxxxx;解：xxxxxxxxxxxxxcos)cos1(sinlim)1cos1(sinlimsintanlim303030=21)2(2limcos2sin2sinlim320320=xxxxxxxxx(提示 : 用等价无穷小换 ) .(4)xxxxxcba10)3(lim+(a0, b0, c0);xcbacbaxxxxxxxxxxxxxxxcbacba3333010)331(lim)3(lim+=+, 因为ecba
28、 xxxcbaxxxx=+330)331(lim ,)111(lim3133lim00xcxbxaxcbaxxxxxxxx+=+)1ln(1limln)1ln(1limln)1ln(1limln31000vcubtavut+=3ln)lnln(ln31abccba =+= ,所以3ln103)3(lim abcecbaabcxxxxx=+.专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 110 闭区间上连续函数的性质一是非题1、 )(xf 在（ a,b）内连续，则 )(xf 在（ a,b）内一定有最大值和最小值。 2、设 )(xf 在 a,b上连续且无零点，则 )(xf 在上 a,b恒为正或恒为负。 3、
29、 )(xf 在 a,b上连续且单调， f(a) f(b) =f由于 ()1f 与 ( )2f 异号，故在 ( )2,1 中至少有一点0x ，使()00=xf就是说，五次代数方程 0155= xx 在区间 ( )2,1 内至少有一个根。四、设 ()xf 在 ba, 上连续，且 ( ) aaf ，证明： () xxf = 在 ( )ba, 内至少有一个根。证： 令 () ( ) xxfxg = ，可知 ()xg 在 ba, 上连续。() ( ) 0= bbfbg由介值定理的推论，可知 ( )xg 在 ()ba, 内至少有一个零点，即 ( ) xxf = 在 ()ba, 内至少有一个根。五、若 f(
30、x)在 a, b上连续 , a =01 0 00 1 001 01 000即 fx fx c() ( )00=+111() ( ) ( )abc fx ab bcxa xbxc七、设 ，则 =0在 ， 及 ， 内= 000故在 ， 及 ， 内方程 至少各有一实根()() ()ab bc Fx= 0又 为二次方程，它至多有两个不同的实根Fx()= 0故 进而原方程 在 ， ， 内各有一个实根Fx abbc() ( ) ( )( )= 0第二章 导数与微分 1 导数的概念一、是非判断题：1、 )()(00xfxf = 。 2、若 )(xf 在 x0处不连续，则 )(0xf 必不存在。 3、若 )(
31、xf 在 x0处不可导，则在 x0处必不连续。 4、若曲线 y= )(xf 在 x0处存在切线，则 )(0xf 必存在。 （提示： 处在 1122=+ xyx ）5、函数在一点处的导数就是该曲线在该点处切线的斜率。 二单项选择题1、当自变量 x 由 x0改变到 x0+ = yxfyx 的改变量时 )(, C 。(A) )(0xxf + (B) )(0xxf + (C) )()(00xfxxf + (D) xxf )(02、设 )(xf 在 00=x 处可导，则 = )(0xf D 。(A)xxfxxfx)()(lim000(B)hhxfhxfh)()(lim000+专业 班级 姓名 学号 成绩
32、 时间 1(C)xxxfxfx2)2()(lim000+(D)xfxfx)0()(lim03、函数 )(xf 在0xx= 处连续是 )(xf 在0xx= 处可导的 A 。(A) 必要但非充分条件； (B) 充分但非必要条件；(C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件。4、若 )(xf 在0xx= 处可导，则)(xf在0xx= 处 C 。(A)可导； (B)不可导； (C)连续但未必可导； (D)不连续5、曲线 y=lnx 在点 A 处的切线平行于直线 y=2x-3（ A）)2ln,21( （ B）)ln,21(21（ C）)2ln,2(（ D）)2ln,2( 6、设函数在)( xfx
33、=0 处可导，则=hhfhfh)3()2(lim0C 。（ A） )0(f （ B） )0(f （ C） )0(5 f （ D） 2 )0(f 三、下列各题中均假定 )(0xf 存在，按照导数的定义观察， A 表示什么？（ 1）xxfxxfx)()(lim000=A ，则A= )(0xf （ 2）Axxfx=)(lim0，其中 (0) 0f = 且 )0(f 存在， 则 A= )0(f （ 3）Annxfnxfn=+)()(lim000，则A= )(20xf 四、讨论=0;00;1sin2xxxxy 在 x=0 处的连续性与可导性。解因为01sinlim)(lim200=xxxyxx, 又 y
34、(0)=0, 所以函数在在 x=0 处连续 . 又因为01sinlim01sinlim0)0()(lim0200=xxxxxxyxyxxx, 所以函数在点 x=0 处可导 , 且 y(0)=0.五、设函数+=1 1 )(2xbaxxxxf 为了使函数 f(x)在 x=1 处连续且可导 , a, b 应取什么值？解因为1lim)(lim20101=xxfxx, babaxxfxx+=+=+)(lim)(lim0101, f(1)=a+b, 专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 1所以要使函数在 x=1 处连续 , 必须 a+b=1 .又因为当 a+b=1 时211lim)1(201=xxfx, a
35、xxaxbaxaxbaxfxxx=+=+=+1)1(lim11)1(lim11lim)1(010101, 所以要使函数在 x=1 处可导 , 必须 a=2, 此时 b=1.六、设() ( )( )f xxagx= ，其中()gx在点 a处连续，求( )f a 。解 没有假设( )gx可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义()( ) ( ) ()( ) 0lim limxa xafx fa xagxfaxa xa =() ( )=limxagx ga=七、设 )(xf 在 1=x 处可导且 2)1( =f ，求极限xxfxfx)1()1(lim0+。解：00(1)(1) (1)(1)lim limxxf xf f xfxx +=原式 = =ff() ()1142 函数的求导法则一是非题1、若221, 1, ( 1) 2 , 1,() (),1, () ,1.xxxxx x xxfx f xex e ex+0，则 )(xf 0 7、若 )( xf ()g x ，则 )()( xgxf （提示： )1,0(,1)(,2)( += xxxgxxf 则 ）二单项选择题
