1、梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 1 - 页 共 18 页 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学 三 试题 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 个选 项 是 符合题目要求 的 ， 请 把所选项前的字母填在 答题纸指定位置上 . （ 1）函数 3() sinxxfx x 的可去间断点的个数为 (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个 . （ 2）当 0x 时， ( ) sinf x x ax 与 2( ) ln(1 )g x x bx是等价无穷小，则 (A) 1a ， 16b . （ B） 1a ， 1
2、6b . (C) 1a ， 16b . （ D） 1a ， 16b . （ 3）使不等式1 sin lnx t dt xt 成立的 x 的范围是 (A)(0,1) . (B)(1, )2 . (C)( , )2 . (D)( , ) . （ 4）设函数 y f x 在区间 1,3 上的图形为 则函数 0xF x f t dt的图形为 (A) (B) ()fxO 2 3 x1 -2 -1 1 ()fxO 2 3 x1 -2 -1 1 1 ()fx-2 O 2 3 x-1 1 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 2 - 页 共 18 页 (C) (D) （ 5）设 ,AB均为 2
3、 阶矩阵， *,AB 分别为 ,AB的伴随矩阵，若 | | 2,| | 3AB，则分块矩阵 OABO的伴随矩阵为 (A) *32OBAO. (B) *23OBAO. (C) *32OABO. (D) *23OABO. （ 6）设 ,AP均为 3 阶矩阵， TP 为 P 的转置矩阵，且 1000 1 00 0 2TP AP， 若 1 2 3 1 2 2 3( , , ) , ( , , )PQ ，则 TQAQ 为 (A) 2 1 01 1 00 0 2. (B) 1 1 01 2 00 0 2. (C) 2 0 00 1 00 0 2. (D) 1000 2 00 0 2. （ 7）设事件 A
4、与事件 B 互不相容，则 (A) ( ) 0P AB . (B) ( ) ( ) ( )P AB P A P B . (C) ( ) 1 ( )P A P B . (D) ( ) 1P A B. （ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 (0,1)N ， Y 的概率分布为1 0 1 2P Y P Y ，记 ()zFZ为随机变量 Z XY 的分布函数，则函数 ()zFZ的间断点个数为 ()fxO 2 3 x1 -2 -1 1 ()fxO 2 3 x1 -1 1 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 3 - 页 共 18 页 (A) 0. (B)1. (
5、C)2 . (D)3. 二、填空题： 914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . （ 9） cos3 20lim 11xxeex . （ 10）设 ()yxz x e ，则(1,0)zx . （ 11）幂级数21 ( 1)nnnne xn 的收敛半径为 . （ 12）设某产品的需求函数为 ()Q QP ,其对应价格 P 的弹性 0.2p ，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元 . （ 13）设 (1,1,1)T , (1,0, )Tk ，若矩阵 T 相似于 3 0 0000000，则 k . (14)设 1X ， 2X , ,
6、nX 为来自二项分布总体 ( , )Bnp 的简单随机样本， X 和 2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量 2T X S，则 ET . 三、解答题： 15 23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 15）（本题满分 9 分） 求二元函数 22( , ) 2 lnf x y x y y y 的极值 . （ 16）（本题满分 10 分） 计算不定积分 1ln(1 )x dxx( 0)x . （ 17）（本题满分 10 分） 计算二重积分 ()D x y dxdy，其中 22 ( , ) ( 1 ) ( 1 ) 2 , D x
7、y x y y x . （ 18）（本题满分 11 分） （）证明拉格朗日中值定理，若函数 ()fx在 ,ab上连续，在 ,ab上可导，则 ,ab ，得证 ( ) ( ) ( )f b f a f b a . （）证明：若函数 ()fx在 0x 处连续，在 0, , ( 0) 内可导，且 0lim ( )x f x A ，则 (0)f 存在，且 (0)fA . （ 19）（本题满分 10 分） 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 4 - 页 共 18 页 设曲线 ()y f x ，其中 ()fx是可导函数，且 ( ) 0fx .已知曲线 ()y f x 与直线 0, 1yx及
8、( 1)x t t所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线的方程 . （ 20）（本题满分 11 分） 设 1 1 1A = 1 1 10 4 2,1112. （）求满足 21A ， 2 31A 的所有向量 2 ， 3 . （）对（）中的任意向量 2 , 3 ，证明 1 , 2 , 3 线性无关 . （ 21）（本题满分 11 分） 设二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 3( , , ) ( 1 ) 2 2f x x x a x a x a x x x x x . （）求二次型 f 的矩阵的所有特征值 . （）若二次型 f 的规
9、范形为 2211yy ，求 a 的值 . （ 22）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 ( , )XY 的概率密度为 0( , )0xe y xf x y 其 他（）求条件概率密度 ()YXf yx； （）求条件概率 11P X Y . （ 23）（本题满分 11 分） 袋中有一个红球，两 个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 X 、 Y 、 Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数 . （）求 10P X Z ； （）求二维随机变量 ( , )XY 的概率分布 . 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学 三 试题 解析 一、选择题： 1 8 小题，每小题
10、4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 个选 项 是 符合题梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 5 - 页 共 18 页 目要求 的 ， 请 把所选项前的字母填在 答题纸指定位置上 . （ 1）函数 3() sinxxfx x 的可去间断点的个数为 (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个 . 【答案】 C. 【解析】 3sinxxfx x 则当 x 取任何整数时， fx均无意义 故 fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 3 0xx的解 1,2,3 0, 1x 3200321132111 3 1l im l imsi n c
11、os1 3 2l im l imsi n c os1 3 2l im l imsi n c osxxxxxxx x xxxx x xxxx x xxx 故可去间断点为 3 个，即 0, 1 （ 2）当 0x 时， ( ) sinf x x ax 与 2( ) ln(1 )g x x bx是等价无穷小，则 (A) 1a ， 16b . （ B） 1a ， 16b . (C) 1a ， 16b . （ D） 1a ， 16b . 【答案】 A. 【解析】 2( ) s i n , ( ) (1 )f x x a x g x x ln b x 为等价无穷小，则 22 2 20 0 0 0 0( )
12、s i n s i n 1 c o s s i nl i m l i m l i m l i m l i m( ) l n ( 1 ) ( ) 3 6x x x x xf x x a x x a x a a x a a xg x x b x x b x b x b x 洛 洛230sinlim 166xa ax abbaxa 3 6ab 故排除 (B)、 (C). 另外20 1 coslim 3x a axbx 存在，蕴含了 1 cos 0a ax 0x 故 1.a 排除 (D). 所以本题选 (A). 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 6 - 页 共 18 页 （ 3）使
13、不等式1 sin lnx t dt xt 成立的 x 的范围是 (A)(0,1) . (B)(1, )2 . (C)( , )2 . (D)( , ) . 【答案】 A. 【解析】原问题可转化为求 1 1 1s i n s i n 1( ) l nx x xttf x d t x d t d tt t t 11 s i n 1 1 s i n 0xxttd t d t 成立时 x 的取值范围，由1 sin 0tt ， 0,1t 时，知当 0,1x 时， ( ) 0fx .故应选 (A). （ 4）设函数 y f x 在区间 1,3 上的图形为 则函数 0xF x f t dt的图形为 (A)
14、(B) (C) (D) 【答案】 D. ()fxO 2 3 x1 -2 -1 1 ()fxO 2 3 x1 -1 1 ()fxO 2 3 x1 -2 -1 1 ()fxO 2 3 x1 -2 -1 1 1 ()fx-2 O 2 3 x-1 1 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 7 - 页 共 18 页 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 ()y f x 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、 0xx 所围的图形的代数面积为所求函数 ()Fx，从而可得出几个方面的特征： 0,1x 时， ( ) 0Fx ，且单调递减 . 1,2x 时， ()Fx单调递增 . 2,3x 时
15、， ()Fx为常函数 . 1,0x 时， ( ) 0Fx 为线性函数，单调递增 . 由于 F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为 (D). （ 5）设 ,AB均为 2 阶矩阵， *,AB 分别为 ,AB的伴随矩阵，若 | | 2,| | 3AB，则分块矩阵 OABO的伴随矩阵为 (A) *32OBAO. (B) *23OBAO. (C) *32OABO. (D) *23OABO. 【答案】 B. 【解析】根据 CC CE ，若 11 1,C C C C CC 分块矩阵 OABO的行列式 221 2 3 6OA ABBO （ ），即分块矩阵可逆 1 11166 1OB BO A O A
16、 O A OBB O B O B O AO AOA 12361 32OB OBAOAO 故答 案为 (B). 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 8 - 页 共 18 页 （ 6）设 ,AP均为 3 阶矩阵， TP 为 P 的转置矩阵，且 1000 1 00 0 2TP AP， 若 1 2 3 1 2 2 3( , , ) , ( , , )PQ ，则 TQAQ 为 (A) 2 1 01 1 00 0 2. (B) 1 1 01 2 00 0 2. (C) 2 0 00 1 00 0 2. (D) 1000 2 00 0 2. 【答案】 A. 【解析】1 2 2 3 1 2
17、3 1 2 3 1 21 0 0( , , ) ( , , ) 1 1 0 ( , , ) ( 1 )0 0 1QE ，即： 1212 12 12 1221 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )100( 1 ) 0 1 0 ( 1 )0 0 21 1 0 1 0 0 1 0 0 2 1 00 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 00 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2T T T TQ PEQ AQ PE A PE E P AP EEE （ 7）设事件 A 与事件 B 互不相容，则 (A) ( ) 0P AB . (B) ( ) ( ) ( )P AB P
18、A P B . (C) ( ) 1 ( )P A P B . (D) ( ) 1P A B. 【答案】 D. 【解析】因为 ,AB互不相容，所以 ( ) 0P AB (A) ( ) ( ) 1 ( )P AB P A B P A B ，因为 ()PA B 不一定等于 1，所以 (A)不正确 . (B)当 ( ), ( )P A P B 不为 0 时， (B)不成立，故排除 . (C)只有当 ,AB互为对立事件的时候才成立，故排除 . (D) ( ) ( ) 1 ( ) 1P A B P A B P A B ，故 (D)正确 . 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 9 - 页
19、共 18 页 （ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 (0,1)N ， Y 的概率分布为1 0 1 2P Y P Y ，记 ()zFZ为随机变量 Z XY 的分布函数，则函数 ()zFZ的间断点个数为 （ ） (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3. 【答案】 B. 【解析】 ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 )ZF z P X Y z P X Y z Y P Y P X Y z Y P Y 1 ( 0 ) ( 1 ) 21 ( 0 0 ) ( 1 ) 2P X Y z Y P X Y z YP X z Y P X z Y ,X
20、Y 独立 1( ) ( 0 ) ( ) 2ZF z P x z P x z （ 1）若 0z ，则 1( ) ( )2ZF z z（ 2）当 0z ，则 1( ) (1 ( )2ZF z z 0z为间断点，故选 (B). 二、填空题： 914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . （ 9） cos3 20lim 11xxeex . 【答案】 32e . 【解析】 c o s c o s 1332200(1 )l i m l i m1 1 1 1xxxxe e e exx 0 2(1 cos )lim 13xexx20 212lim 13xexx 32e . （
21、10）设 ()yxz x e ，则(1,0)zx . 【答案】 2ln2 1 . 【解析】由 xyz x e ，故 , 0 1 xz x x l n ( 1 ) l n ( 1 )1 l n ( 1 ) 1x x x x xd z xx e e xd x x 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 10 - 页 共 18 页 代入 1x 得， l n 21 , 0 1l n 2 2 l n 2 12z ex . （ 11）幂级数21 ( 1)nnnne xn 的收敛半径为 . 【答案】 1e . 【解析】由题意知， 21 0nnn ea n 1111 22122111 ()1 1
22、 1 11nnnnnn nnn ne eea nn ena n e ne e 所以，该幂级数的收敛半径为 1e （ 12）设某产品的需求函数为 ()Q QP ,其对应价格 P 的弹性 0.2p ，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元 . 【答案】 8000. 【解析】所求即为 QP Q P Q 因为 0.2p QPQ ，所以 0.2QP Q 所以 0 .2 0 .8Q P Q Q Q 将 10000Q 代入有 8000QP . （ 13） 设 (1,1,1)T , (1,0, )Tk ，若矩阵 T 相似于 3 0 0000000，则 k . 【答案】 2. 【解
23、析】 T 相似于 3 0 0000000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到 T 的特征值为 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 11 - 页 共 18 页 3， 0， 0.而 T为矩阵 T 的对角元素之和， 1 3 0 0k ， 2k. (14)设 1X ， 2X , , nX 为来自二项分布总体 ( , )Bnp 的简单随机样本， X 和 2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量 2T X S，则 ET . 【答案】 2np 【解析】由 2 2 2( ) ( 1 )E T E X S E X E S n p n p p n p . 三、解答题： 15 23 小题，共 94
24、分 .请将解答写 在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 15）（本题满分 9 分） 求二元函数 22( , ) 2 lnf x y x y y y 的极值 . 【解析】 2( , ) 2 ( 2 ) 0xf x y x y ， 2( , ) 2 ln 1 0yf x y x y y ，故 10,xye . 22 12 ( 2 ) , 2 , 4x x y y x yf y f x f x yy . 则1 2( 0 , ) 12(2 )xx ef e ，1(0, ) 0xy ef ，1(0, )yy efe . 0xxf 而 2( ) 0xy xx yyf f
25、f 二元函数存在极小值 11(0, )f ee . （ 16）（本题满分 10 分） 计算不定积分 1ln(1 )x dxx( 0)x . 【解析】令 1 x tx 得2 2 212,1 ( 1)td tx dxtt 22211l n (1 ) l n (1 )1l n (1 ) 1 11 1 1x d x t dxtt dtt t t 而 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 12 - 页 共 18 页 221 1 1 1 1 2()1 1 4 1 1 ( 1 )1 1 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) 24 4 1d t d tt t t t tt t Ct 所以
26、21 l n ( 1 ) 1 1 1l n ( 1 ) l n1 4 1 2 ( 1 )1 1 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) .22 1x t td x Cx t t txxx x x Cx xx （ 17）（本题满分 10 分） 计算二重积分 ()D x y dxdy，其中 22 ( , ) ( 1 ) ( 1 ) 2 , D x y x y y x . 【解析】由 22( 1) ( 1) 2xy 得 2(sin cos )r ， 32 ( sin c o s )4( ) ( c o s sin )04Dx y d x d y d r r rd r 332 ( sin c o s
27、 )14 ( c o s sin )034rd 2384 ( c o s sin ) ( sin c o s ) ( sin c o s )34d 3384 ( c o s sin ) ( sin c o s )34d 334 4438 8 14 ( sin c o s ) ( sin c o s ) ( sin c o s )3 3 44d 83 . （ 18）（本题满分 11 分） 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 13 - 页 共 18 页 （）证明拉格朗日中值定理，若函数 ()fx在 ,ab上连续，在 ,ab上可导，则 ,ab ，得证 ( ) ( ) ( )f b
28、f a f b a . （）证明：若函数 ()fx在 0x 处连续，在 0, , ( 0) 内可导，且 0lim ( )x f x A ，则 (0)f 存在，且 (0)fA . 【解析】（）作辅助函数 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f ax f x f a x aba ，易验证 ()x 满足： ( ) ( )ab ； ()x 在闭区间 ,ab 上连续，在开区间 ,ab 内可导，且 ( ) ( )( ) ( ) f b f ax f x ba . 根据罗尔定理，可得在 ,ab 内至少有一点 ，使 ( ) 0 ，即 ()f ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) (
29、)f b f a f b f a f b aba （）任取 0 (0, )x ，则函数 ()fx满足：在闭区间 00,x 上连续，开区间 00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在 0 00, 0,x x，使得 0 0 0( ) ( 0 )0x f x ff x * 又由于 0limx f x A ，对上式（ *式）两边取 0 0x 时的极限可得： 000000 0 0 00( ) 00 l i m l i m ( ) l i m ( )0xxxxxf x ff f f Ax 故 (0)f 存在，且 (0)fA . （ 19）（本题满分 10 分） 设曲线 ()y f x ，其中 ()
30、fx是可导函数，且 ( ) 0fx .已知曲线 ()y f x 与直线 0, 1yx及( 1)x t t所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线的方程 . 【解析】旋转体的体积为 22( ) ( )11xxttV f d x f d x曲边梯形的面积为：()1 xts f dx，则由题可知 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 14 - 页 共 18 页 22( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1x x x xt t t tV ts f d x t f d x f d x t f d x 两边对 t 求导可得 22( ) (
31、 ) ( ) ( ) ( ) ( )11t x t t t xttf f d x tf f tf f d x 继续求导可得 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t tf t f t ，化简可得 1( 2 ( ) ) ( ) 2 ( ) 12dtf t t f t f t td y y ，解之得 12 23t c y y 在 式中令 1t ，则 2( 1 ) ( 1 ) 0 , ( ) 0 , ( 1 ) 1f f f t f ，代入 12 23t cy y得1 1 1, ( 2 )33c t yy . 所以该曲线方程为： 12 3 0yxy . （ 20）（本题满分
32、11 分） 设 1 1 1A = 1 1 10 4 2,1112. （）求满足 21A ， 2 31A 的所有向量 2 ， 3 . （）对（） 中的任意向量 2 , 3 ，证明 1 , 2 , 3 线性无关 . 【解析】（）解方程 21A 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 10 4 2 2 0 2 1 1 0 0 0 0A ( ) 2rA 故有一个自由变量， 令 3 2x ，由 0Ax 解得， 211, 1xx 求特解，令 120xx，得 3 1x 故21101021k ，其中 1k 为任意常数 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐
33、 高飞！ 第 - 15 - 页 共 18 页 解方程 2 31A 22 2 02 2 04 4 0A 2 111 1 02 2 0 1 2, 2 2 0 1 0 0 0 04 4 0 2 0 0 0 0A 故有两个自由变量，令 231, 0xx ，由 2 0Ax 得 1 1x 令 230, 1xx ，由 2 0Ax 得 1 0x 求得特解 21200故 3 2 3110 21 0 00 1 0kk ，其中 23,kk为任意常数 （）证明：由于 121 2 1 2 1 2 1 2 2 11112 111 2 ( 2 1 ) ( ) 2 ( ) ( 2 1 )222 2 1 0kkk k k k
34、k k k k k kk 1 02故 1 2 3, 线性无关 . （ 21）（本题满分 11 分） 设二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 3( , , ) ( 1 ) 2 2f x x x a x a x a x x x x x . （）求二次型 f 的矩阵的所有特征值 . （）若二次型 f 的规范形为 2211yy ，求 a 的值 . 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 16 - 页 共 18 页 【解析】（） 01011 1 1aAaa01 10| | 0 1 ( ) 1 1 1 11 1 1a aaE A a a aa 222( ) ( ) ( 1 )
35、 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( ) 2 2 19( ) ( 1 2 ) 24( ) ( 2 ) ( 1 )a a a aa a aa a a aa a aa a a 1 2 3, 2 , 1a a a . （） 若规范形为 2212yy ，说明有两个特征值为正，一个为 0.则 1) 若 1 0a，则 2 20 ， 3 1 ，不符题意 2) 若 2 0 ，即 2a ，则 1 20， 3 30 ，符合 3) 若 3 0 ，即 1a ，则 1 10 ， 2 30 ，不符题意 综上所述，故 2a （ 22）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 ( , )XY 的概率密度为 0(
36、 , )0xe y xf x y 其 他（）求条件概 率密度 ()YXf yx（）求条件概率 11P X Y 【解析】 （）由 0( , )0x yxef x y 其 它得其边缘密度函数 0( ) 0x xxxf x e d y xe x 故 | ( , ) 1( | ) 0()yx xf x yf y x y xf x x 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 17 - 页 共 18 页 即 |1( | )0yxyxf y x x 其 它（） 1 , 1 1 | 1 1 P X YP X Y PY 而 1110 0 011 1 , 1 ( , ) 1 2x xxxyP X Y
37、 f x y d x d y d x e d y x e d x e ( ) | , 0x x yY yf y e d x e e yy 1 1101 1 | 1 10yyP Y e d y e e e 111 2 2 1 | 1 11eeP X Y . （ 23）（本题满分 11 分） 袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 X 、 Y 、 Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数 . 求 10P X Z . 求二维随机变量 ( , )XY 的概率分布 . 【解析】（）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球， 2
38、 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 1211332 4( 1 0 ) 9CP X Z CC . （） X， Y 取值范围为 0， 1， 2，故 1 1 1 13 3 2 31 1 1 16 6 6 61112 2 31 1 1 16 6 6 61122116611221166110 , 0 , 1 , 0461 1 12 , 0 , 0 , 136 311 , 1 , 2 , 1 0910 , 291 , 2 0 , 2 , 2 0C C C CP X Y P X YC C C CCCCP X Y P X YC C C CCCP X Y P X YCCCCP X YCCP X Y P X Y 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生 齐 高飞！ 第 - 18 - 页 共 18 页 X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0
