1、第四章 无穷级数,数学物理方法,讨论无穷级数的目的解析函数的表达形式,复数级数完全等价于实数级数,一个复数级数 = 两个实数级数的有序组合, 若 有限 ,则称级数收敛于F ,且 F 是级数的和,否则称级数发散。,4.1 复数级数,定义, 复数 ,的无穷级数 称为复数级数。, 级数的收敛性部分和序列的收敛性,级数收敛的柯西充要条件,使对任意正整数 P ,有,当 P 1,,级数收敛的必要条件,定义,若级数 收敛,则称 绝对收敛。,绝对收敛的级数一定收敛。,级数绝对收敛的判别法, 比较判别法, 比值判别法,若,,而 收敛,则 收敛,即 绝对收敛。,若,,而 发散,则 发散。,若存在与 n 无关的常数
2、r ,则,当 时,级数 绝对收敛; 当 时,级数 发散。,若 ,则级数 收敛,即 绝对收敛; 若 ,则级数 发散。,若 ,则 收敛,即 绝对收敛; 若 ,则 发散。, 达朗贝尔判别法, 柯西判别法,绝 对 收 敛 级 数 的 性 质, 改变次序不改变绝对收敛性和级数的和F 把绝对收敛级数拆成若干子级数,每个子级数仍绝对收敛。 两个绝对收敛级数之积仍然绝对收敛。, 设 在区域 G 内有定义,对 ,级数 收敛,则称级数 在 点收敛;反之,若 发散,称 在 点发散。,4.2 函数级数,定义, 各项均为复变函数 ,的无穷级数 称为复变函数项级数。,若级数 在 G 内每一点都收敛,则称级数 在G内逐点收
3、敛,其和函数 F(z) 是G内的单值函数。,若e 0 , 与 z 无关的 N(e) ,使当 nN(e) 时, 成立,则称级数 在 G 内一致收敛。,魏尔斯特拉斯的M判别法,若在区域 G 内 , Mk 与z 无关,而 收敛,则 在 G 内绝对且一致收敛。,判别级数是否一致收敛,一致 收 敛 级 数 的 性 质, 连续性 若 fk(z) 在 G 内连续,级数 在 G 内一致收敛,则其和函数 也在 G 内连续。, 逐项可导性 设 fk(z), (k=1,2,3) 在 G 上单值解析, 在G上一致连续,则此级数的和函数 F(z) 是 G 内的解析函数,且求导后在G内一致收敛。, 逐项可积性 若 fk(
4、z) 在分段光滑曲线CG上连续,则对于C上一致收敛级数 可逐项求积分。, 幂级数幂级数是通项为幂函数的函数项级数。,4.4 幂级数,幂级数是解析函数最重要的表达形式之一,除了代数函数,许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的。,定义,Ci, a为复常数。 它是一种特殊形式的函数级数,也是最基本最常用的一种函数项级数。,若级数 在某点 z0 收敛,则在以 a 点为圆心, 为半径的圆内绝对收敛,而在 上一致收敛。,阿贝尔第一定理(阿贝尔定理), 在 z0 收敛, (级数收敛的必要条件),e 0, d(e), 使当 z00e 时,, q 0,使 成立,当 ,即 时,收敛,,故,在圆 内绝对收敛,而当
5、 时,,(与 z 无关),常数项级数 收敛,故,在圆 上一致收敛,推论,若级数 在某点 z1 处发散,则在 内处处发散。,反证法,假设 在 内某一点 z2 处收敛,由阿贝尔定理可知,级数 在圆内收敛,与假设矛盾,故级数 在 内处处发散。,幂级数的收敛点所构成的圆内区域称为幂级数的收敛圆。收敛圆的半径称为收敛半径 R 。,定义,级数 在 内绝对收敛,在 上一致收敛,在 上,敛散性不定。,特殊情况:收敛半径为0收敛圆退化为一个点,除该点外幂级数在全平面处处发散。收敛半径为收敛圆是全平面,在点发散(除非只有常数项)。,求幂级数收敛半径的常用方法,1、根据柯西判别法,当 ,即 时,级数绝对收敛, 当
6、,即 时,级数发散。,因此,幂级数 的收敛半径为,2、根据达朗贝尔判别法,当 ,即 时,级数绝对收敛, 当 ,即 时,级数发散。,因此,幂级数 的收敛半径为,若 存在,则,求级数 的收敛半径。,收敛圆为,求级数 的收敛半径。,收敛圆为,已知 和 的收敛半径分别为R1 和R2 , 求级数 的收敛半径。,收敛圆为,求级数 的收敛半径。,收敛圆为,将奇偶项分开,求级数 的收敛半径。,收敛圆为,求级数 的收敛半径。,求级数 的收敛半径。,收敛圆为,级数 发散。,在收敛圆内,幂级数 可以逐项积分或求导任意次,而收敛半径不变。,由一致收敛性质可知,设 积分后的幂级数 (1) 的收敛半径为Ri,求导后的幂级
7、数 (2) 的收敛半径为Rd。 则 , 对 (1) 式两边求导,必然存在 ,即 所以 同理可证,一般地,逐项积分后收敛性加强,逐项求导后收敛性减弱。,若幂级数 在收敛圆内收敛到 f(z),且在收敛圆周上某点 z0 也收敛,和为 S(z0) ,则当 z 由收敛圆内趋向于z0 时,只要保持以 z0 为顶点,张角为 2f p , f(z) 就一定趋向于S(z0) 。,阿贝尔第二定理,4.5 含参量的反常积分的解析性,定理,设 f(t, z)是 t 和 z 的连续函数,t a, 在 上单值解析 在 上一致收敛,即 ,当T2T1T(e) 时,则 在 内解析, 且,又知 在 上一致收敛,无界序列an,a0=aa1a2a3anan+1,令,由含参量定积分解析性可知,un(z) 在 G 内单值解析,由魏尔斯特拉斯定理知,在 G 内解析,且,