1、第2节 平面向量基本定理及坐标表示,最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.,知 识 梳 理,1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a， _一对实数1，2，使a _.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个_的向量，叫作把向量正交分解.,不共线,存在唯一,1e12e2,互相垂直,3.平面向量的坐标运算,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1
2、y2),(x1，y1),(x2x1，y2y1),4.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.,x1y2x2y10,微点提醒 1.若a(x1，y1)，b(x2，y2)且ab，则x1x2且y1y2. 2.若a与b不共线，ab0，则0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( ) (3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，
3、2，2满足1a1b2a2b，则12，12.( ),解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同.,答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修4P87A2引申改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( ),解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B,3.(必修4P92B2改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为( )A.(2，2) B.(3，1)C.(2，2)或(3，1) D.(2，2)或(3，1),设P(x，y)，则(x1，y3)(1，1)， x2，y2，
4、则点P(2，2). 答案 A,A.(7，4) B.(7，4) C.(1，4) D.(1，4),答案 A,5.(2017山东卷)已知向量a(2，6)，b(1，)，若ab，则_.解析 ab，260，解得3.答案 3,6.(2019宝鸡质检)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_.,答案 (1，5),考点一 平面向量基本定理及其应用,因为E，M，F三点共线，所以2()(3)1，,规律方法 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将
5、条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.,考点二 平面向量的坐标运算,A.1 B.2 C.3 D.4,(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，,则A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，,cab，(1，3)(1，1)(6，2)，,答案 (1)C (2)D,规律方法 1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用. 2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.,设点B为(x，y)，则(
6、2x，3y)2(1，2).,(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).,不妨设AB1，则CDAD2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，,答案 (1)(4，7) (2)B,考点三 平面向量共线的坐标表示 多维探究 角度1 利用向量共线求向量或点的坐标,【例31】 (一题多解)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_.,所以(x4)6y(2)0，解得xy3， 所以点P的坐标为(3，3). 答案 (3，3),角度2 利用向量共线求参数 【例32】 (1)(2018全国卷)已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，).若c(2
7、ab)，则_.,又a3b(2，3)3(1，2)(5，3)0. 那么当manb与a3b共线时，,规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(b0)，则ab. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.,所以(2m1)21(2n1)，得：2m12n1.,答案 (1)(3，6) (2)A,思维升华 1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础. 2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组. 3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式. 易错防范 1.注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2x2y10. 2.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.,
