1、2.4 非齐次问题,(I),非齐次振动方程定解问题,特征函数法,令,其中, (1), (2),令,为待定函数.,并将 按特征函数系展为级数,其中, (3), (4), (1),将(3),(4) 代入方程得,两端比较,将(3)代入初始条件,Laplace变换,所以,例1. 求解具有热源 ，两端绝热，初始温度为零的杆的热传导问题。,征函数为,设,解：,代入方程得,比较系数得：,由初始条件得：,从而,所以,例 在环形区域 内求解下列定解问题,解 考虑极坐标变换:,定解问题可以转化为:,相应的齐次问题的特征函数系为:,于是可以设原问题的解为:,代入方程，整理得,比较两端 和 的系数可得,由边界条件，得
2、,所以,由边界条件，可知,满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为,下面求 .,方程的通解为,由端点的条件， 得,原问题的解为：,2.5 非齐次边界条件的处理,处理非齐次边界条件问题的基本原则是: 选取一个辅助函数 , 通过函数之间的代换: 使得对新的未知函数 边界条件为齐次的.,例1振动问题,（I）,解：,取,故,代入(I)，得 的定解问题(II),令,如果仍取 的线性函数作为 ，则有,此时除非 ，否则这两式互相矛盾。,当x0和x=l 满足第二类边界条件,应取,例 定解问题,其中A, B为常数.,解:令,代入方程，得,选 满足,它的解为,于是 满足的方程为：,利用分离变量法，求解得,其中,从
3、而，原定解问题的解为,一. 选择适当的坐标系. 原则:边界条件的表达式最简单. 二. 若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件化为齐次的。 三. 对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个, 其 一是方程齐次, 并具有原定解条件的定解问题 (分离变量法)； 其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).,一般的定解问题的解法,例 求下列定解问题的解,其中 为常数。,解 1）边界条件齐次化，令,于是 满足如下定解问题,2）将问题分解为两个定解问题。设,3）求解问题 (I), (II) 。,首先，利用分离变量法求解问题 (I) 。,特征值及相应的特征函数,则,利
4、用初始条件确定系数,计算可得,其次，利用特征函数法求解问题 (II),将 按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开,代入问题（II）的方程及初始条件，得,问题转化为求解下列常微分方程的初值问题,解得,所以，,4）综合上述结果, 得到原问题的解,对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言, 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系, 使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单, 便于求解. 例如, 对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题.,注： 圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出.,
