1、对于单自由度弹性体系，通常把惯性力看作一种反映地震对结构体系影响的等效力，可以用它的最大值来对结构进行抗震验算。（把动荷载转化为静荷载解决计算问题。）,3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱,一、单自由度体系的水平地震作用,F(t) =,),(,),(,g,+,-,t,x,t,x,m,&,&,&,&,),(,),(,g,+,-,t,x,t,x,m,&,&,&,&,+,kx,x,c,&,=,对于 来说， 很小，可以略区，得到,),(,t,),(,t,kx,),(,t,x,c,&,),(,t,F(t) =,kx,),(,t,x,2,m,=,),(,t,下式为质点的绝对最大加速度 计
2、算公式，取决于地震 时地面运动加速度 、结构的自振周期T及结构的阻尼 比,p,a,S,利用杜哈梅积分，并忽略阻尼对频率影响，取 得,=,把上式看作最大绝对加速度和质量的乘积，最大绝对加速度以,a,S,表示，则,a,S,F,=,m,对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。,结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为,-集中于质点处的重力荷载代表值；,-重力加速度,-动力系数,-地震系数,-水平地震影响系数,二、地震系数与动力系数,地震时，地面运动引起结构振动，单质点体系质点相对于地面的相对位移 、相对速度 、绝对加速度 均为时间t的函数，从工程观点看，
3、在地震中结构产生的最大位移、最大速度、最大加速度更具有实际意义，此最大值随质点自振周期变化的曲 线称为反应谱。,四、抗震设计反应谱,下图即为在给定的地震作用下质点绝对最大加速度与体系自振周期的关系曲线。,地震系数k,地震系数与地震烈度有关，与结构的性能无关。如果已知地震时 在某处的地震动记录的峰值加速度；如果同时根据该处的地表破坏 现象、建筑的损坏程度等，按地震烈度评定该处的宏观烈度I，就可 提供它们之间的一个对应关系，就可以确定出Ik的对应关系（见下 表），统计分析研究表明，烈度每增加一度，地震系数k的值约增加一 倍。,-地震系数,放大系数与周期的曲线关系T，与建筑场地类别、震级、震中距等因
4、素密切相关，通过大量的分析计算，我国抗震规范中将最大动力放大系数max2.25,水平地震影响系数是地震系数k与动力系数的乘积，当基本烈度确定后，地震系数k为常数。仅随值而变化。所以，水平地震影响系数最大值,抗震规范中是以水平地震影响系数作为抗震设计依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比确定。,放大系数标准反应谱,地震影响系数,特点： 结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响 高频结构主要取决于地面的最大加速度Sa 中频结构主要取决于地面的最大速度Sv 低频结构主要取决于地面的最大位移Sd,最大速度反应,最大位移反应,最大加速度反应,-,-,-,=,-,-,-,
5、=,-,-,-,+,=,max,max,max,g,),(,),(,),(,),(,t,x,S,t,x,S,t,x,t,x,S,v,d,a,&,&,&,&,&,五、标准反应谱把水平地震作用的基本公式变换为下式,),(,),(,),(,),(,),(,0,0,max,0,max,=,=,=,+,=,=,k,G,g,t,x,t,x,S,mg,mS,t,x,t,x,m,t,F,F,a,a,b,&,&,&,&,&,&,&,&,放大了多少倍。,地面最大加速度,质点最大绝对加速度比,即表示由于动力效应，,大加速度之比。,大绝对加速度与地面最,动力系数，是单质点最,:,加速度之比。,动的最大加速度与重力,地
6、震系数，表示地面运,t,x,S,k,g,(t),x,k,a,),(,:,0,0,=,=,&,&,&,&,b,将Sa的表达式代入式上式得：,与T的关系曲线称为谱曲线： （1） 谱曲线的实质也是一条加速度反应谱曲线。 （2） 曲线峰值对应的结构自振周期T=Tg，Tg为场地的特征周期（过去也称作卓越周期）,标准反应谱曲线：根据大量的强震记录算出对应于每一条强震 记录的反应谱曲线，然后统计求出的最有代表性的平均曲线。 下图为谱曲线及加速度谱曲线,六、设计反应谱规范把与T的关系作为设计反应谱。,体系自振周期,按地震影响系数曲线确定,地震影响系数,：,，,T,g,S,a,=,a,a,:,G,F,k,g,S
7、,k,G,g,t,x,t,x,S,mg,mS,F,a,a,a,=,=,=,=,=,=,则水平地震力,因,b,),(,),(,0,0,&,&,&,&,-直线下降段的斜率调整系数；按下式确定,z,z,g,g,a,h,a,g,5,5,.,0,05,.,0,9,.,0,T,T,max,2,g,+,-,+,=,-,-,=,曲线下降段的衰减指数,计算,采用下式进行,范围内，地震影响系数,5T,T,在T,g,g,max,max,max,max,max,2,2,2,2,45,.,0,1,25,2,:,1.7,06,.,0,05,.,0,1,55,.,0,55,.,0,a,a,b,a,z,z,h,h,h,h,=
8、,=,=,=,=,=,+,-,+,=,=,-,-,k,k,.,k,T,g,此时,与地面加速度相等，即,其加速度,0时，结构为一刚体，,T,注意：当结构自振周期,见表,见表，,水平地震系数的最大值,特征周期，见表3.2,阻尼调整系数，,max,：,时，取,-地震影响系数；,-地震影响系数最大值；,-结构周期；,-特征周期；,-曲线下降段的衰减指数；,-直线下降段的斜率调整系数；,-阻尼调整系数，小于0.55时，应取0.55。,解：,（1）求结构体系的自振周期,（2）求水平地震影响系数,查表确定,查表确定,查表确定,（3）计算结构水平地震作用,抗震术语,自由振动：在不受外界作用而阻尼又可忽略的情况
9、下结构体系所进行的振动。 自振周期：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间。（1）自振频率：当外力不复存在时，结构体系每秒振动的次数，又称固有频率。（2）基本周期：结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。又称第一自振周期。 振型：结构按某一自振周期振动时的变形模式。（1）基本振型：多自由度体系和连续体自由振动时，最小自振频率所对应的振动变形模式，又称第一振型。（2）高阶振型：多自由度体系和连续体自由振动时，对应于二阶频率以上（含二阶）的振动变形模式。 共振：当干扰频率与结构自振频率接近时，振幅急剧增大的现象。,3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析振型分解反应谱法,1、计算简图,体系只作单
10、向振动时， n个质点； n个自由度体系；n个独立等效单自由度弹性体系的最大地震反应；n个振型作用效应（M、V、N）；组合n个振型效应，验算截面抗震。,通常第一振型周期最长，影响最大，振型愈高，影响愈小,2、运动方程先考虑两个自由度体系的运动方程。,2,),(,),(,),(,1,0,2,2,2,2,1,1,2,2,2,2,1,1,2,2,2,0,1,2,12,1,11,2,12,1,11,1,1,2,12,1,11,1,2,12,1,11,1,1,0,1,1,-,=,+,+,+,+,-,=,+,+,+,+,+,-,=,+,-,=,+,-,=,x,m,x,k,x,k,x,C,x,C,x,m,x,
11、m,x,k,x,k,x,C,x,C,x,m,x,C,x,C,D,x,k,x,k,S,x,x,m,I,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,的运动方程：,同理，得质点,根据达朗贝尔原理：,阻尼力：,弹性恢复力：,惯性力：,的力有：,作用在质点,1,1,2,1,2,1,2,22,2,21,12,2,1,11,12,11,2,22,2,21,12,2,1,11,=,-,=,=,+,=,-,-,-,-,-,-,=,-,=,=,+,=,c,c,c,c,c,c,c,c,C,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,阻尼系数,处引起的弹性反力；,保持不动时，在质点,产生单
12、位位移而质点,使质点,所需施加的水平力；,处,保持不动时，在质点,产生单位位移而质点,使质点,刚度系数,式中,。,，一般采用振型分解法,上述的运动方程的求解,列的矩阵。,行,别为,个质点，则上述各项分,当有,用矩阵形式表示：,式,n,n,n,0,0,),1,.,3,(,1,2,1,2,1,2,1,22,21,12,11,22,21,12,11,2,1,0,=,=,=,=,=,=,-,-,-,-,=,+,+,x,x,x,x,x,x,x,x,x,k,k,k,k,k,c,c,c,c,c,m,m,m,x,m,x,k,x,c,x,m,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,上,3、自由振
13、动(1)自振频率,),4,.,3,(,0,),(,0,),(,2,.,3,3,.,3,2,1,),3,.,3,(,),sin(,),sin(,:,),2,.,3,(,0,0,2,2,2,22,1,21,2,12,1,2,1,11,2,1,2,2,1,1,2,22,1,21,2,2,2,12,1,11,1,1,-,-,-,=,-,+,=,+,-,-,-,-,+,=,+,=,-,-,-,=,+,+,=,+,+,X,m,k,X,k,X,k,X,m,k,X,X,t,X,x,t,X,x,x,k,x,k,x,m,x,k,x,k,x,m,w,w,j,w,j,w,）式得：,）代入（,将（,的位移幅值。,、,质
14、点,、,上述微分方程的解为,该体系的自振方程：,去阻尼的影响，则可得,对二自由度体系，若略,&,&,&,&,，见下式,个质点的多自由度体系,对,值）,第二自振圆频率（较大,本自振圆频率）,第一自振圆频率（或基,的两个正实根,）可求得,由式（,解得：,行列式必等于零，即：,）有非零解，则其系数,为使式（,n,3.5,),5,.,3,(,2,1,2,1,0,3,.,3,2,1,2,1,21,12,22,11,2,2,22,1,11,2,22,1,11,2,2,2,22,21,12,2,1,11,w,w,w,w,w,w,-,-,-,-,-,+,+,=,=,-,-,m,m,k,k,k,k,m,k,m,
15、k,m,k,m,k,m,k,k,k,m,k,程,二自由度体系的频率方,-频率方程,(2) 主振型,因主振型只取决于质点位移之间的相对值，所以通常将其中某一个质点的位移值定为1。一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就有多少个主振型，他们是体系的固有属性。,形式通常称为主振型。,变，这种振动,的位移比值始终保持不,中的任意时刻，两质点,结构振动过程,无关，为一常数，即在,位移幅值的比值与时间,12,11,2,2,1,1,2,2,2,12,11,2,1,1,11,12,2,1,2,1,3.3,k,k,m,X,X,k,k,m,X,X,-,=,-,=,w,w,w,w,，位移幅值的比值：,对应于第
16、二自振圆频率,，位移幅值的比值：,对应于第一自振圆频率,的位移幅值。,、,），即求得质点,带入式（,，,把求得的,主振型的正交性结构在任一瞬时的位移等于惯性力产生的静位移。因此上述的主振型曲线可看作体系按某一频率振动式时，其上相应的惯性荷载所引起的静力变形曲线。,(,),(,),(,),t,kx,t,x,t,x,m,+,-,&,&,&,&,0,对于二自由度体系，其两个振型的变形曲线及相应的惯性力 如图所示,ji,2,j,i,i,2,1,1,0,1,1,2,1,0,1,0,1,1,),(,),(,1,6,.,3,),(,),(,),(,),(,1,X,m,I,j,i,i,t,x,m,x,x,m,
17、I,t,x,t,x,m,k,x,x,x,x,m,I,w,w,w,=,=,+,-,=,-,=,-,=,+,+,-,=,振型时：,质点,质点，,对,的惯性力可表示为：,则质点,）,（,的惯性力：,如质点,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,&,(,),(,),),8,.,3,(,0,X,:,3.7,),7,.,3,(,0,0,22,12,2,21,11,1,2,1,22,12,2,21,11,1,2,2,2,1,12,22,2,2,2,11,21,2,2,1,22,12,2,1,2,21,11,2,1,1,-,-,-,=,-,-,-,=,+,=,+,-,+,=,+,K,T,j,X,m,X,X,m,X,X,m,X,X,m,X,X,m,X,X,m,X,X,m,X,X,m,X,X,m,用矩阵表示为,称为振型的正交性。,）所表示的关系，通常,式（,则,一般,）,（,整理得：,根据功的互等定理：,，,也都有上述的正交特性,j与k之间,度体系，任意两个振型,对于两个以上的多自由,w,w,w,w,w,w,w,w,解:,例.求图示体系的频率、振型.已知:,
