1、1,永真公式,公式的解释 公式的真值表 公式的分类 代入规则（定理1.3.1） 公式间的等价关系 等价关系的5个基本性质 基本逻辑恒等式 对偶原理 永真蕴含关系 证明方法 基本永真蕴涵式 永真蕴涵关系的性质,2,1.3 永真式 1.公式的解释,定义1.3.1: 设 A(P1,Pn) 是合式公式，对 P1,Pn 的一组真值赋值，称为对 A 的一个解释。,例: 设A(P1, P2), 其解释有:00,01,10,11若B(Q1, Q2, Q3), 则其解释有:000,001,111 解释的个数与变元的关系：含n个变元的公式有2n种不同的解释。 公式的真值表： 例: 构造(PQ)R的真值表。,3,1
2、.3 永真式 2.公式的分类,定义:设A是合式公式,则 （1）如果A在任何解释下均为真，则称A为永真式或重言式； （2）如果A在任何解释下均为假，则称A为永假式或矛盾式； （3）如果至少有一个解释使A为真，则称A为可满足式； 例1：分析 (PQ)R和PP。 代入规则（定理1.3.1):永真式的代入实例是永真式。 例： 分析PP,4,定理1.3.1：永真式的代入实例是永真式。,证明：设 A(P1,Pn) 是永真式，A是用 Bi 取代 Pi (1in) 所得到的代入实例，对A的任一解释I, A 是永真式， A在解释I下的真值为真，由I的任意性得：A也是永真式。,这个假使是否具有一般性？,5,1.3
3、 永真式 3.公式间的等价关系(1),定义：设A、B是合式公式,若AB是永真式，则称A等价于B,记作AB（称为逻辑恒等式）。 基本逻辑恒等式 等价关系的性质： 自反性(reflexivity)：对任意公式A, 均有AA 对称性(symmetry)：若AB, 则BA 传递性(transitivity)：若AB且BC,则AC 若AB，则AB,6,例题 验证吸收律 P（PQ） PP（PQ） P 证明 列出真值表,由表可知吸收律成立。,7,从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如PQ与PQ的对应真值相同，如下表所示。,我们说PQ和PQ是等价的，这在以后
4、的推理中特别有用。,8,证明: C与D的不同仅在于C中A的一处或几处出现换成B, 并且AB 对C,D中变元的任一组真值赋值，C与D的真值相同， CD为永真式，即CD 例：证明 P(PQ)(PQ) 证明: P,基本恒等式,定理1.3.2:设A是C的子公式且AB，若用B替换C中 A的一处或几处出现得到公式D, 则 CD.,同一律, PT,补余律, P(QQ),分配律(PQ)(PQ) P(PQ)(PQ),9,1.3 永真式 3.公式间的等价关系(2),例：证明（AB)(BA)是永真式。 证明: (AB)(BA) 蕴涵等值式(AB)(BA),基本恒等式,德摩根律、双重否定律 (AB)(BA),分配律(
5、ABA)(BBA),交换律、结合律、补余律 T （AB)(BA)是永真式,10,1.3 永真式 4.对偶原理（1）,对偶式：设A是仅含、的合式公式，在A中将和互换、T和F互换,所得到的公式A*称为A的对偶式。 例：A: T(PQ)A*:F(PQ) 对偶式的性质： 定理1.3.3: 设 A(P1,Pn)是仅含、的合式公式，则A(P1,Pn)A*(P1, Pn),11,定理: 设A(P1,Pn)是仅含,的公式， 则 A(P1,Pn) A*(P1, Pn),证明: 若 A 为 P、T 或 F, 则 A* 为 P,F 或 T,此时有:PP,TF 和 FT, 结论成立. 设对A1,A2 结论成立,当 A
6、 为 A1,时， A*为 A*1 A(A1 )( A*1 (P1, Pn) A*(P1, Pn)若A为A1A2 ，则A*为 A*1A*2 A(A1A2)A1A2 A*1(P1, Pn)A*2(P1, Pn) A*1A*2(P1, Pn)A*(P1, Pn)同理可证当A为A1A2 时，结论也成立,12,定理1.3.4(对偶定理)：设 A为是仅含 ,的合式公式,若 AB，则 A*B* ( 说明基本逻辑恒等式会成对出现) 证明：设AB, 则 AB,1.3 永真式 4.对偶原理（2）, A B 是永真式。, A B A*(P1, Pn)B*(P1, Pn)(定理1.3.3) A*(P1, Pn)B*(
7、P1, Pn)- 也是永真式。 用 Pi取代Pi (1in) , 得到 的一个代入实例：A*(P1, Pn)B*(P1, Pn) 由代入规则（定理1.3.1)知：A* B*是永真式。 A* B*,13,1.3 永真式 5.永真蕴涵关系(1),定义：若 AB 是永真式，则称 A永真蕴涵 B，记作 A B 证明方法: 真值表、等价推导、前真导后真、后假导前假 例1： 证明 P(PQ) Q 证明：若 P(PQ)为 T,则P为T且(PQ)为T。, Q 也为 T。,因此，P(PQ)Q 是永真式，,故 P(PQ)Q。,例2：证明(PQ)(QR) PR 证明：若 PR 为F,则 P为T，R为F,若Q为T，则
8、 QR为F, (PQ)(QR)为F,若Q为F，则 PQ为F, (PQ)(QR)为F, (PQ)(QR)PR 永真， 因此，(PQ)(QR)PR,14,基本永真蕴涵式 永真蕴涵关系的性质： 自反性：对任意公式 A, 有 AA 传递性：若 AB, BC, 则 AC AB 当且仅当 AB 且 BA 若 AB, 则 BA证明：若 B为T,1.3 永真式 5.永真蕴涵关系(2),则 B为F, AB, A为F, A为T，,因此，BA,定理1.3.5: 设 A,B 为仅含 , 的公式，若 AB，则 B*A*,15,定理:设 A,B 为仅含 , 的公式， 若 AB， 则 B*A*,证明：设 P1, Pn 为出
9、现在A和B的所有变元，AB，则有 BA, BA是永真式, BAB*(P1, Pn)A*(P1, Pn) B*(P1, Pn)A*(P1, Pn)永真。 现用 Pi取代Pi (1in), 得到上式的一个代入实例:B*(P1, , Pn )A*(P1, , Pn ) 即 B*A* 仍为永真式 B*A*,16,例: 构造(PQ)R的真值表,P Q R,0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,PQ,0 0 0 0 0 0 1 1,(PQ)R,1 1 1 1 1 1 0 1,公式真值表 公式分类,17,例:构造PP的真值表,P,0 1,P,1 0,
10、PP,1 1,公式分类,用 PQ 取代P: (PQ)(PQ),P Q,0 0 0 1 1 0 1 1,PQ,1 1 0 1,(PQ),0 0 1 0,(PQ)(PQ),1 1 1 1,基本逻辑恒等式(P9),双重否定律：P P 补余律：PPT PPF 等幂律：PPP PPP 交换律：PQQP PQQP 结合律:(PQ)RP(QR) (PQ)RP(QR) 分配律: P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR) 德摩根律: (PQ)PQ (PQ)PQ 蕴涵等值式: PQPQ 等价等值式: PQ(PQ)(QP) 零律： PTT PF F 同一律： PFP PT P,等价关系 推导例1 推导例2 对偶定理,19,基本永真蕴涵式：,附加式： P PQ 化简式： PQ P 假言推论： P(PQ) Q 假言三段论:(PQ)(QR) PR 析取三段论: P(PQ) Q 拒取式： Q(PQ) P,蕴涵关系,
