1、9.9 圆锥曲线的综合问题,第九章 平面解析几何,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0). (1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有 0直线与圆锥曲线 ； 0直线与圆锥曲线 ； 0直线与圆锥曲线 .,知识梳理,相交,相切,相离,(2)若a0，b0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， 若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 ； 若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的
2、位置关系是 .,平行,平行或重合,2.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB| . 3.圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参列方程(组)消参求值，或围绕函数思想求范围、最值.或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题.,过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上
3、一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.,【知识拓展】,(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与抛物线y22px只有一个公共点，则l与抛物线相切.( )
4、 (2)设点P(x0，y0)为双曲线 上的任一点，则|x0|a.( ) (3)椭圆 上的点到焦点距离的最大值是ac.( ) (4)直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切.( ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆 y21只有一条切线.( ) (6)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y22px(p0)上，且直线AB过抛物线的焦点，则y1y2p2.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,答案,解析,1,2,3,4,5,6,解析 过(0,1)与抛物线y24x
5、相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.,3.已知与向量v(1,0)平行的直线l与双曲线 y21相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_.,答案,1,2,3,4,5,6,解析 由题意可设直线l的方程为ym，,解析,4,即当m0时，|AB|有最小值4.,题组三 易错自纠 4.过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线 A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有且只有四条,答案,1,2,3,4,5,6,解析,所以符合条件的直线有且只有两条.,解析 设该抛物线的焦点为F，A(xA，
6、yA)，B(xB，yB)，则,5.(2018届江西省南昌市三模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为_.,答案,1,2,3,4,5,6,6.已知双曲线 (a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,yx,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,又b2c2a2， ,双曲线的渐近线方程为yx.,题型分类 深度剖析,第1课时 范围、最值问题,解答,题型一 范围问题,师生
7、共研,(1)求椭圆的方程；,又a2c2b23，所以c21，因此a24.,解答,(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围.,解 设直线l的斜率为k(k0)， 则直线l的方程为yk(x2).,整理得(4k23)x216k2x16k2120.,由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，,在MAO中，由MOAMAO，得|MA|MO|，,解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的简单性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围，求新参数的
8、范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.,(1)求椭圆C的标准方程；,解答,又直线xy20经过椭圆的右顶点，,(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围.,解答,解 由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)， M(x1，y1)，N(x2，y2).,消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m
9、21)0，,于是y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2km(x1x2)m2. 又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，,又由64k2m216(14k2)(m21) 16(4k2m21)0，得0m22， 显然m21(否则x1x20，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾). 设原点O到直线的距离为d，,故由m的取值范围可得OMN面积的取值范围为(0,1).,命题点1 利用三角函数有界性求最值 典例 过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|BF|的最小值是,题型二 最值问题,多维探究,解析,答案,命题点2 数形
10、结合利用几何性质求最值 典例 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点.若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_.,解析,答案,几何画板展示,命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值,解答,(1)求椭圆E的方程；,解答,解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,由题意知0，,由题意可知，圆M的半径r为,处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、简单性质以及平面简单中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个
11、(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.,(1)求实数m的取值范围；,解答,解 由题意知m0，可设直线AB的方程为,解答,(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).,设AOB的面积为S(t)，,课时作业,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设A，B两点
12、的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线l的方程为yxt，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018长春质检)已知F1，F2分别是双曲线 (a0，b0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是 A.(1，) B.(2,3 C.(1,3 D.(1,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9
13、,10,11,12,13,14,15,16,解析 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 得|PF2|2a|PF1|，,所以|PF1|2a，|PF2|4a， 在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，,又e1，所以1e3.故选C.,5.(2018届云南昆明一中摸底)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2017九江模
14、拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x24y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则AOB面积的最小值为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设P(x0，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即AOB的面积的最小值为2，故选B.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7,解得a2，由椭圆
15、定义得|AF2|BF2|AB|4a8， 即|AF2|BF2|8|AB|，,因此|AF2|BF2|的最大值为817.,解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2018届贵州黔东南州联考)定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2017泉州模拟)椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则F1PQ
16、的内切圆面积的最大值是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 令直线l：xmy1，与椭圆方程联立消去x， 得(3m24)y26my90，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由题意得左焦点F(1,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,
17、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知椭圆C：x22y24. (1)求椭圆C的离心率；,所以a24，b22，从而c2a2b22，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.,所以|AB|2(x0t)2(y02)2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
18、15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求C1，C2的方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为弦AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 因为AB不垂直于y轴，且过点F1(1,0)， 故可设直线AB的方程为xmy1.,易知此方程的判别式大于0.
19、 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1，y2是上述方程的两个实根，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即mx2y0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设点A到直线PQ的距离为d， 则点B到直线PQ的距离也为d，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为点A，B在直线mx2y0的异侧， 所以(mx12y1)(mx22y2)0， 于是|mx12y1|mx22y2| |mx12y1mx22y2|，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1
20、4,15,16,而02m22，故当m0时，S取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.,技能提升练,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2017资阳模拟)过抛物线y24x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为 A.16 B.32 C.48 D.64,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1
21、4,15,16,解析 由抛物线的几何性质可知：,据此可得，点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为32.,拓展冲刺练,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,双曲线方程可变形为x2y2a2. 设B(x0，y0)，由对称性可知C(x0，y0)，点B(x0，y0)在双曲线上，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由条件知m2nmn，则n1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,本课结束,
