1、3.1 交集与并集,一,二,一、交集,若AB=,则集合A,B可能的情况为: (1)集合A,B均为空集; (2)集合A,B中有一个是空集; (3)集合A,B均为非空集,但无相同元素.,一,二,【做一做1】 设集合P=-1,0,1,Q=-2,4,则PQ等于( ) A. B.-2,-1,0,1,4 C.4 D.0,1 答案:A,一,二,二、并集,【做一做2】 设集合A=1,2,B=2,3,则AB等于( ) A.1,2,2,3 B.2 C.1,2,3 D. 答案:C,一,二,集合x|xA,或xB与集合x|xA,且xB不一定相等. 在数学中,“或”表示至少有一个成立,而“且”表示都成立.“xA,或xB”
2、表示元素x可能在集合A中,也可能在集合B中,也可能同时在集合A和B中,因此集合x|xA,或xB是集合A和B的并集.而“xA,且xB”仅表示元素x同时在集合A和B中,即是集合A和B的公共元素,因此集合x|xA,且xB表示集合A和B的交集.所以这两个集合不一定相等,并且一定有x|xA,且xBx|xA,或xB.,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若AB=,则A=或B=. ( ) (2)AB=AAB. ( ) (3)AB=AAB. ( ) (4)AB=,则A=B=. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,易错辨析,
3、集合的交集运算 【例1】 求下列各对集合的交集. (1)C=x|x是直角三角形,D=x|x是等腰三角形; (2)E=x|1x3,F=x|x2; (3)M=(x,y)|x+y=2,N=(x,y)|x-y=-2. 分析:(1)可通过分析元素的特征性质得到交集;(2)要借助数轴求解;(3)应通过解方程组得到交集. 解:(1)由已知得CD=x|x是等腰直角三角形. (2)结合数轴分析,可得EF=x|2x3. (3)由已知得MN=(x,y)|x+y=2(x,y)|x-y=-2,探究一,探究二,探究三,易错辨析,求两个集合的交集的注意事项 (1)弄清所给集合的含义,明确集合的元素或对集合进行化简; (2)
4、如果集合是用列举法表示的有限集合,那么可直接由定义观察出结果,也可借助Venn图求得结果;如果集合是用描述法表示的无限数集,那么一般要借助数轴分析写出结果.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1(1)已知集合A=0,2,4,6,B=2,4,8,16,则AB等于( ) A.2 B.4 C.0,2,4,6,8,16 D.2,4 (2)设集合A=x|-1x2,B=x|0x4,则AB等于( ) A.x|0x2 B.x|1x2 C.x|0x4 D.x|1x4 解析:(1)观察集合A,B,可得集合A,B的全部公共元素是2,4,所以AB=2,4. (2)在数轴上表示出集合A与B,如下图.则由交集的定
5、义可得AB=x|0x2. 答案:(1)D (2)A,探究一,探究二,探究三,易错辨析,集合的并集运算 【例2】 求下列各对集合的并集. (1)A=x|-3x5,B=x|2x6; (2)C=x|x是矩形,D=x|x是正方形. 分析:(1)要借助数轴分析;(2)应从集合的特征性质入手分析求得并集. 解:(1)用数轴表示集合A,B,如图所示,可得AB=x|-3x5x|2x6=x|-3x6. (2)由已知得CD=x|x是矩形x|x是正方形=x|x是矩形. 点评(1)求两个集合的并集时,要注意利用集合中元素的互异性这一属性,重复的元素只能算一个. (2)当集合A,B满足AB时,AB=B.,探究一,探究二
6、,探究三,易错辨析,求两个集合的并集要注意: (1)如果集合是有限集合,那么可把集合中的元素一一列举出来,由并集的定义观察即得其并集;(2)如果集合是无限集合,特别是用描述法表示的连续的数集,那么应首先对集合进行化简,然后把集合分别标在数轴上,结合并集的定义求得并集.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2(1)设集合M=4,5,6,8,N=3,5,7,8,则MN等于( ) A.3,4,5,6,7,8 B.5,8 C.3,5,7,8 D.4,5,6,8 (2)若集合A=x|x-1,B=x|-2-2 B.x|x-1 C.x|-2-2.答案:(1)A (2)A,探究一,探究二,探究三,易错辨
7、析,交集、并集性质的应用 【例3】设集合A=x|x2-x-2=0,B=x|x2+x+a=0,若AB=A,求实数a的取值范围. 分析:集合A,B均是关于x的一元二次方程的解集,由AB=A可得BA,通过讨论集合B是否为空集来求得实数a的取值范围. 解:A=x|x2-x-2=0=-1,2,B是关于x的方程x2+x+a=0的解集. AB=A,BA. A=-1,2,B=或B. 当B=时,关于x的方程x2+x+a=0无实数解, 则=1-4a . 当B时,关于x的方程x2+x+a=0有实数解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(1)在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会
8、遇到AB=B,AB=A等这类条件,解答时常借助AB=BAB,AB=AAB进行转化求解. (2)当集合A,B满足AB时,如果集合B是一个确定的集合,而集合A不确定时,那么要考虑A=和A两种情况,切不可漏解. (3)求解与一元二次方程的解集有关的集合问题,要注意充分利用根的判别式、根与系数的关系等进行分析求解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练3设集合A=x|2x2+3px+2=0,B=x|2x2+x+q=0,其中p,q为常数,xR,当AB= 时,求p,q的值和AB.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,忽视集合A为空集的情况而致误 【典例】 设集合A=xR|x2+2x+2-p=0,B=x
9、|x0,且AB=,求实数p满足的条件. 错解:由于AB=,则A=,所以关于x的方程x2+2x+2-p=0没有实数根. 所以=22-4(2-p)0,解得p1. 所以实数p满足的条件为p1.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,正解:由AB=,且B, 得A=或A,且A与B没有公共元素. 当A=时,=22-4(2-p)0,解得p1. 当A,且A与B没有公共元素时, 设关于x的方程x2+2x+2-p=0有非正数解:x1,x2,解得1p2. 综上,实数p满足条件为p2.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,1.错解:中误认为“AB=就对应着方程x2+2x+2-p=0无根,近而得出0的交集为空集.因此本题的核
10、心是解决当A时,如何保证AB=.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练已知集合A=x|-1x2,B=x|2axa+2,且(AB),求实数a的取值范围. 解:(AB), AB=. 当B=时,2aa+2,得a2;,解得a-3或1a2. 综上所述,a的取值范围是a-3或a1.,1,2,3,4,5,1.已知集合M=x|-1x3,N=-2x1,则MN=( ) A.x|-2x1 B.x|-1x1 C.x|1x3 D.x|-2x3 解析:借助数轴可知MN=x|-1x1. 答案:B,6,7,1,2,3,4,5,2.已知集合M=x|-35,则MN等于( ) A.x|x-3 B.x|-55 解析:如图:MN
11、=x|x-3. 答案:A,6,7,1,2,3,4,5,3.若集合A=1,2,B=1,2,4,C=1,4,6,则(AB)C=( ) A.1 B.1,4,6 C.2,4,6 D.1,2,4,6 解析:根据题意,集合A=1,2,B=1,2,4,集合AB=1,2. 又C=1,4,6,则(AB)C=1,2,4,6.故选D. 答案:D,6,7,1,2,3,4,5,4.若集合A=x|x2,B=x|xa满足AB=2,则实数a= . 解析:AB=x|ax2=2,a=2. 答案:2,6,7,1,2,3,4,5,5.已知集合A=x|x1,B=x|xa,且AB=R,则实数a的取值范围是 . 答案:a1,6,7,1,2
12、,3,4,5,6,7,6.用集合分别表示下列各图中的阴影部分:(1) ;(2) . 解析:(1)由图(1)可知,该阴影部分为集合A,C的公共部分与集合B,C的公共部分的并集,故可用(AC)(BC)表示. (2)由图(2)可知,该阴影部分为集合B与集合A,C的公共部分的并集,故可用B(AC)表示. 答案:(AC)(BC) B(AC),1,2,3,4,5,6,7,7.已知集合A=x|x2+4x=0,B=x|ax+1-a=0. (1)用列举法表示集合A; (2)若AB=B,求实数a的值. 解:(1)解方程x2+4x=0,得x1=0,x2=-4.所以A=-4,0. (2)AB=B,BA. 当a=0时,B=,符合题意;,
