1、1高等数学作业P371 习题 6-1 7. 已知 ， ， ，求 .0,1a3,2b1,0ccba32解 ,06,4,32c,4,6,10. 试证明以三点 、 、 为顶点的三角形是等腰直角三)9,1(A)6,10(B)3,2(C角形.证 ， ，而3,26B,3，7)(22 7)6(3)2(2AAC又 ，07)()(6)cos( B，2AB以三点 、 、 为顶点的三角形是等腰直角三角形.)9,14()6,10()3,42(CP388 习题 6-22. 设 求（1） ；（2） ；（3） 与,23kjia,kjibba )(baa夹角的余弦.b解 ；3)()1(；1863)2( ba.143)(2)(
2、3cos 2222 4设 ，问 与 有怎样的关系，能使得 与 轴垂,253a1,4bbaz直？解 2,45,23,2,而使得 与 轴垂直的充要条件是：baz2021,02,45,23)( kba所以当 时能使得 与 轴垂直.2baz7. 已知 ， ，求证以 、 为邻边的平行四边21 21a12a形的面积和以 、 为邻边的平行四边形的面积相等的充要条件是b.121证 因为以 、 为邻边的平行四边形的面积为： （ ） ，a2 21a210而以 、 为邻边的平行四边形的面积为：1b222122111212121 )()( aaaaaa （ ）20所以以 、 为邻边的平行四边形的面积和以 、 为邻边的
3、平行四边形的1a2 1b2面积相等的充要条件是：= （ ）2121a2121a0即 .2P403 习题 6-34.求下列球面的球心和半径（1） 0128622 zyxzyx解 原方程可化为：222 4)()4()3(所以该球面的球心为 ，半径为 4.1,5.求下列旋转曲面的方程（1） 面上的抛物线 绕其对称轴旋转.xozxz52解 面上的抛物线 的对称轴显然是 轴，它绕着 轴旋转所得的旋xx转曲面的方程为：xyz526.说明下列旋转曲面是怎样形成的3（1） 19422zyx解 原方程即 ，所以该旋转曲面可看成是 上的椭圆1)(22zy xoy绕着 轴旋转一周所得到的旋转曲面，也可以看成是 面上
4、的椭1942yxx z圆绕着 轴旋转一周所得到的旋转曲面.2zxx8. 指出下列方程表示怎样的曲面（1） ， （4）zy62 022czbya解 （1） 表示一张双曲抛物面.x2（4） 表示一张椭圆锥面.022czbyaP409 习题 6-42.指出下列方程组在平面解析几何与在空间解析几何中分别表示什么图形（2） 31942yx解 该方程组可化为： ，在平面解析几何中它表示的是一个点：（0，3） ，yx在空间解析几何中它表示的是一条经过点（0，3，0）并且和 轴平行的直线.z6.求下列曲线在 面上的投影曲线方程xo（1） 0321546zy解 从方程组中消去 ，得曲线在 面上的投影柱面方程为：
5、xoy162xyx所以所求曲线在 面上的投影曲线方程为：o.052z49. 求椭球面 与圆锥面 所围成区域在)0(1622zyx )0(22zyx三个坐标面上的投影.解 在 面上的投影可看成是由椭球面 与圆锥面o )(1622的交线 在 面上投影曲线所围成)0(22zyx)0(1622zyxxoy的区域.因为上面方程组消去 后得到的它所表示的交线在 面上投影柱面为：z1623yx所以此交线在 面上投影曲线方程为：xoy02z因此所求在 面上的投影为：xy.1623zyx在 面上的投影可看成是由椭球面 与圆锥面zox )0(1622z在 面上的投影区域的公共部分. 因为椭球面)0(22zyox在
6、 面上的投影区域是：16xz，即0)(2yx0)22(160yxxz而圆锥面 在 面上的投影区域是：)(22zox，即0y0yz因此所求在 面上的投影为：zox)22(16yxxz在 面上的投影可看成是由椭球面 与圆锥面yoz )0(1622z在 面上的投影区域的公共部分. 因为椭球面)0(22xyoz在 面上的投影区域是：16zy5即0)(162xzy0)4(162xyz而圆锥面 在 面上的投影区域是：)(22zxo，即0xy0xyz因此所求在 面上的投影为：oz)4(162xyyP418 习题 6-55. 分别按下列条件求平面方程（3）平行于 轴且过点 和 . x)2,04()7,15(解
7、 因为平行于 轴，所以可设该平面的方程为：DCzBy又因为经过点 和)2,04()7,15(所以有： 7B把 看成是自由未知量解此方程组得：D29C故所求平面方程为：0Dzy即 .29z7. 求两平面 和 的夹角.（这道习题其实就是 P416 例 5）1yx83x解 设两平面的夹角为 ，由于两平面的法向量分别为 ，0,1n0,32n，于是23cos21n6因此所求夹角 .4P428 习题 6-64.求过点 且与两平面 和 平行的直线方程.),20( 12zx23zy解 因为直线与两平面 和 平行，所以该直线与这两个平面的交线平行，因此它的方向向量可取：1,3223103,2,011 kjikj
8、inS又该直线经过点 ，所以所求直线方程为：)4,(.132zyx5. 判断下列各组直线间的位置关系（2） 和07zyx02836zyx解 直线 的方向向量为：25,13311 kjikjiS直线 的方向向量为：02863zyx15,39153912 kjikjiS由于 ，所以这两条直线平行.5397. 求直线 与平面 的交点和夹角.21zyx 03zyx解 先求交点 .所给直线的参数方程为： tzyt217将其代入平面方程，得：，即03)21(2tt 3t所以 ，从而所求交点为（1，0，-1）.t再求夹角. 设所求夹角为 ，则2163)(121)(sin 22 S从而所求夹角 .6P485
9、习题 7-11. 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形.（3） ；（6）)4)(1ln(22yxz 2arcosyxzu解 （3）要使函数有意义，必须使 ，即0)4)(1(22yx或 （此式是矛盾不等式，舍去）04162yx0462也就是 ，故所求定义域为： .2 16),(2yx注：因为没有作图软件，所以图略，以下同.（6）要使函数有意义，必须使 ，且 ，112yxz 022yx即 且 ，所以所求定义域为：022zyx02yx.),(且2. 求下列极限（2） ；（4） ；（5）xyyx2lim)0,(, 2)(lim2)0,( yxyx.2)(cos1li2)0,( yxyxe解（2） .
10、412lim)42(lim4lim)0,(,)0,(,)0,(, xyxyxy yxyxyx8（4） 当 ， 有 ，而1xy 222)()( yxyxyx3020222 21lim)ln(i)ln(00)0,(, im)(lilimtttttyxyx tt ee 14li0ett2),(,yxyx)li2)0,(, yx（5） 当 时，,yx )(21)cos(122yxyx.21lim)(lim)(cos1lim222 )0,(,2)0,(2)0,( yxyxyxyxyx eeyeP498 习题 7-21. 求函数 的偏导数.0),(2yxyf 02解 当 时，2x 232222 )()()
11、, yxyxyxyfxx 232222 )()(), yxyxyxyfxx 当 时02 0)(lim)0,(),(lim),( 200 xxfff xxx )(li),(),(li),( 2200 yyfff yyy92. 求下列函数的偏导数（5） ；（8） .)(cos)sin(2xyzzyxu解 (5) )2sin()co()sin(xyyx )s(yz(8) , , .1zyxuxuzyln xzuyln24. 设 ，证明：)1(yxez y22证 ， ，)1(2yx)1(2xezzeyxyzx yxyxy 2)1()1(2)1(22 6. 求下列函数指定的高阶偏导数（3） ， .xyz
12、euu3解 xyzxyzxyzxyzxyz eeeyxu )()(2 xyzxyzxyzz )()21()( 223.xyzexy1(27.求下列函数的全微分（6） xzyu解 )ln(ln1 zxyzyzyxzz lln1xy zyxzz)ln(l1yzxyzuyxzyxz 10 dzyxzdyxzyxdzyxdzuydxuz )ln()ln()ln( l(l)ln(zxy9.计算下列各式的近似值（1） 33)97.1()02.(解 设 ，并令 ， ， ， ，,yxf10x02.y03.则由近似公式 得：yxfxfyff y ),(),(),(),(0003.210.213)97.1)2.(
13、 333 5.06.10.用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长 5 米，宽 4 米，高 3 米，厚 20厘米，求所需材料的近似值与精确值.解 设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，其体积为 ，则 ，再令xyzVxyz米， 米， 米， 厘米=0.4 米， 厘米=0.450x40y30z2020米，则 厘米=0.2 米，则所需材料的精确值为：2)()()(0000 zyxzyxV2.34534=13.632（ ）米其近似值为：zyxzxydV0002.45.34. （ ）.81米习题 7-35P1. 求下列函数的导数.（1） ， ， ，求 ，vuzln2yxyv23xzy（5） 具有二阶连续偏
14、导数，求 ， .),(2f2xz11解 （1） 31ln22vuyxvzuxz)()3ln(22y3)l(2 yxyx)2(ln22vuvzuxz)(3()3ln(22yxyxy1l2（5）令 ， ，则 可看成是由xyu2yv),(2yxfz和 ， 复合而成的复合函数，又因为),(vfz具有二阶连续偏导数，所以若记 ， ，2yx uzf1vzf2， ， ， ，则 uf)(1 vf)(12 uf)(21vf)(21fxyyxzxz )(2)()2()( 2112112 xvfufxfvfxuffz 212121 fyffxfyf .24 )(2)()2()( 2112112 yvfufxyvfu
15、fyfxyzxy 21121 fxfff .2)()4(yxy3.设 ， 具有连续的偏导数，证明：,zf,vuf12yzx证 uvuvux 0vzxzxyy yvuzvuz 0zxyxx )(5. 求由下列各方程确定的隐函数的导数或偏导数.（3） ，求 .xyarctnln2d（5） ，求 ， ， .zxlyz2解 （3）令 ，xyxFarctnln),(2则 2222 )(11yyx 2222 yxyxyxFy 于是 .yxyFdxyyx2（5）令 ，则yzxzln),(， ， .zFx1zy1)(2 221zxyzxF所以 xzxzx213)(122xzyxFyzzy 22 )()()(
16、xzyyxzyxyz .323222 )()()()( zxzxzxz 8. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数.（2） ，求 ， ， ， .yxvu232xuyxvy解 方程组两边都对 求偏导得：143xvu于是当 时，082uJuvux81423uvuxv81342方程组两边都对 求偏导得：y2412yvu于是当 时，081uvJ14uvvvuy81)2(412.uvvuuyv814412习题 7-4530P2.求由曲线 上的点，使该点的切线平行于平面 .32,tzytx 42zyx解 设曲线 上的点 能使其切线平行于平面32,tz),(0zyx，再设点 所对应的 ，因为曲线 在42
17、zyx),(0yx0t32,tzytx点 处的切向量为： ，而平面 的法向量为：),(0 23,1tT42z，所以有 ，解此方程得： 或 ，1n40n 310t0t所以所求的点为：（ ）和（ .27,93),3. 求曲线 在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.4522zyxx解 把 看成是 的函数，两个方程两边都对 求导得：zy, x即05323dxzy2532dxzy将 代入上面方程组得：1,zyx2531211xxdzy解此方程组得： ，691x 16x所以点（1，1，1）的切向量为 ,9T15所求切线方程为：即 .1691zyx 19zyx所求法平面方程为：0)()()( zyx即 .
18、24916zy4.求下列曲面在给定点的切平面和法线方程.（3） ，8xyz )1,(0P解令 ，则2),(xyzF)21(ln)(lnl2xyzxxyzx xyxyl12l.zxzxF2ln)(ln2所以在 的法向量为：)1,2(0P2ln8,l3n于是切平面方程为：0)1(l)(l)(2l zyx即 083zy法线方程为：2ln81l2nzx即 .13y6. 求函数 在点 处沿方向角 的方向的xyzu32),1( 3,4,3方向导数.解 因为 ， ，zx2xzyu2xyzu216所以所求方向导数为：cos)3(cos)2(cos)( 22 xyzxzyyzlu 将 和 代入上式得：,1x,4
19、,33cos)123(4cos)21(cos)2(21 zyxlu58. 求函数 在点 处的梯度及其模.zyxu23 )1,(0P解 因为 ， ，26yzxu6323yu所以 ， ，1212xyu 14)(132xy3212xy所以所求梯度为：2,4gradu其模.为 .2)1(1习题 7-5546P5.求下列函数的极值（1） yxyxz6322解 由 得驻点 .0y )3,(再由 ， ， 可知在 处.2xz1xy2yz,0， ，ABC所以 ，322 故函数在 处取得极小值 .)3,0( 90yxz8.纵截面为半圆形的圆柱形开口容器，开口面为矩形，其表面积为 S，当其尺寸怎样时，此容器有最大的容积.17解 设此容器的容积为 V，容器纵截面的半圆形的的半径为 R,容器的长为 h,则,于是我们考虑的问题是：在约束条件 之下容器的尺寸hRV21 2RhS怎样能使 取得最大值.2为此令 ，并解方程组：)(1),( 22RhSRL20hShR得 32h根据实际问题可知在约束条件 之下 的最大值一定存在，2RhShV21故当容器纵截面的半圆形的的半径为 容器的长为 时可使容器3S3S有最大的容积，此时容器的容积为 .3227)(1V
