1、第四章 动能和势能思 考 题4.1 起重机起重重物。问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。又：在加速上升和匀速上升了距离 h 这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？解 答在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。在加速上升和匀速上升了距离 h 这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功不一样多。加速上升 ；匀速上升 mgF。mgF4.2 弹簧 A 和 B，劲度系数，(1)将弹簧拉长同样的距离；(2)拉长两个弹簧到某一长度时，所用的力相同。在这两种情况
2、下拉伸弹簧的过程中，对那个弹簧做的功更多？解 答(1) 拉长同样距离BAK , .2B1BABA(2) ,AKFx, BBAFAxBKxBAx ,B22B2BA2AKF1K1x BBA4.3 “弹簧拉伸或压缩时，弹簧势能总是正的。 ”这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹簧势能会是负的。解 答与零势能的选取有关。4.4 一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。想不通” 。你能否给他解决这个疑难？解 答设两物体（质点）相距无限远处为零势能。4.5 人从静止开始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人体的动能是哪里来的？分析这
3、个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便？AFKO原BB解 答（1）作用于鞋底的摩擦力没有做功。（2）人体的动能是内力做功的结果。（3）用质点系动能定理分析这个问题较为方便。4.6 一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？解 答不一定。4.7 力的功是否与参考系有关？一对作用力与反作用力所做功的代数和是否和参考系有关？解 答（1）有关。如图：木块相对桌面位移（s-l）木板对木块的滑动摩擦力做功 f(s-l)若以木板为参照系，情况不一样。（2）无关。相对位移与参照系选取有关。 （代数和不一定为零）4.8 取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。再以弹簧拉伸或压缩到某
4、一程度时为势能零点，画出势能曲线。根据F木 板 SF木 块 木 板木 块不同势能零点可画出若干条势能曲线。对重力势能和万有引力势能也可如此作，研究一下。解 答（1）弹簧原长为势能零点2PK1ExA?)E2d0( 0Pp xx设 处势能为零。0xxxdkE0Pp22P1kx（2）重力势能： 处势能为零0y处势能为零0hy0yhPmghgdE0pm)(原o)(Epxo20k1x)(EPxo0mghy)(Epo处势能为零0hy0yh-)P(- mghygdE00 万有引力势能与上雷同。两质点距离无限远处势能为零 rmGE21p习 题4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理
5、想滑轮，下悬重物 50kg。人用力向后登传送带而人的质心相对于地面不动。设传送带上侧以 2m/s 的速率向后运动。问运动员对传送带做功否？功率如何？解 答人作用到传送带上水平方向的力，大小为 50g，方向向左。因为受力点有位移，所以运动员对传送带做功。N=F =mg =50kg9.8N/kg2m/s=980w4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为 ，321kf表示弹簧的伸长量， 为正。 （1）研究当 和 时弹1k0k, 22簧的劲度 有何不同；（2）求出将弹簧由 拉伸至 时弹簧对外做df 12的功。解 答0hy)(Epo（1）根据题意 321kf所以弹簧劲度为 21d当 时，由于 ，所以
6、 ，弹簧的劲度随弹簧的伸 0k20k10df长量的增加而增加。当 时，弹簧的劲度随弹簧2的伸长量的增加而减小。当 时， 弹簧的劲度0k21kdf不变。以上三种情况的弹簧劲度系数如右图所示：（2）将弹簧由 拉伸至 时，弹簧对外界所做的功是：1221 42122112211A=(k)dk()k()4k()()2 当 时， 拉伸，外界做功，弹性力做负功。2A0.当 时， 缩短，弹性力做正功。1 4.2.4 一轻细线系一小球，小球在光滑水平面上沿螺线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力 向下拉绳。证明力 对线做的功等于FFdf 0k20k21k线作用与小球的拉力所做的功。线不可伸长。解 答设 为绳作用在小
7、球上的力。力 对小球所做的功为T TTSAdr将 分解为沿 方向和与 垂直方向的两个分位移 ( 为对drrr 12dr,点的位矢)O如图： T121SSSA=drTrdTr又 绳子不可伸长 （ 是力 的作用点1FdrdF的位移） STrF4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以 的速率向上行使，斜坡15km/h与水平的夹角的正切 ，所受的阻力等于卡车重量的 0.04，tg0.2如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解 答取卡车为隔离体，卡车上下坡时均受到重力 mg、牵引力 F、地面支持力 N 和阻力 f 作用。受力分析如图所示：1dr2rTOfFRmg fFRmg上坡受力分析 下坡受力分析
8、上坡时：卡车作匀速直线运动 Fmgsinf0 =.4g卡车的功率 NF(sin0.m)上 上 2tg.4g1上=（下坡时：卡车作匀速直线运动 F+gsinf0 =.4m卡车的功率 NF(gsin0.4g)下 下 2t.1下=（由题意： N下上 2tg0.41()5(km/h).t下 上4.3.1 质量为 m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环。绳端作用着大小不变的力 T=50N.木块在 A 点时具有向右的速率 。求力06m/sT 将木块自 A 拉至 B 点的速度。解 答做功为零Nmg、由动能定理： 22BAB1Tdr式中 44T 2AB
9、00dcosdd()3xrx 利用积分公式： 2u+a则上式4T20()5d(4)3x2405()31(J)xATBm.9/s注：关于 T 做功还有一种解法: 243-10()ABdrTJ其中 T 为常量，其受力点的位移可利用三角形求。4.3.2 质量为 1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上。不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力 F，F=60N.木块在处有向上的速度 ，求木块被拉至 B02m/sTA BxxTmgNA Bo时的速度。解 答重力做功 5.8()WABdrABJ60(2.5-0)12.43()FBAWF1m总方向向上23.86(m/s)总4.3
10、.3 质量为 m 的物体与轻弹簧相连，最初，m 处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度 向右运动。弹簧的劲度系数为 ，0k物体与支撑面之间的滑动摩擦系数为 。求证物体能达到的最远距离 为 。20kg1m解 答FAB0.5m0.504 FAB0.5m0.504NTmgkl0 mkl0Axo由：2201Am00gkdx1m2所以： 0gk2x解一元二次方程：由 2204kmg1(g)bacx舍去负号：20k1(g)x20mg()k4.3.4 圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑。质量为 m 的活塞将气体密封。气体膨胀后的体积各为 和 ，膨胀前的压强为 。1V2 1P活塞初速度为 。 （1）求气体
11、膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀0时气体压强与体积满足 恒量。 （2）若气体压强与体积的关系为P恒量， 为常量，活塞末速率又如何？（本题用积分）/PV解 答（1）2211vv2 20 1pvmdln210pvln（2）21v2 1-0 2pvd()-1-220pv()m4.3.5 坐标系与 坐标系各对应轴平行。 相对于 沿 x 轴O O以 作匀速直线运动。对于 系，质点动能定理为 ，02211Fxm, 沿 x 轴。根据伽利略变换证明：相对于 系，动能定理也取这12 种形式。解 答 0tx0, = Ftx0F222210101m()m()22102122010211Ft=()x由动能定理得：21
12、tmxyxyzozo0t 021Ft=(m)最后可得：221x说明相对于 系，动能定理的形式不变。O4.3.6 带电量为 e 的粒子在均匀磁场中偏转。A 表示发射带电粒子的离子源，发射的粒子在加速管道 B 中加速，得到一定速率后与 C 处在磁场洛仑兹力作用下偏转，然后进入漂移管道 D。若粒子质量不同或电量不同或速率不同，在一定磁场中偏转的程度也不同。在本题装置中，管道 C 中心轴线偏转的半径一定，磁场感应强度一定，粒子的电荷和速率一定，则只有一定质量的离子能自漂移管道D 中引出。这种装置能将特定的粒子引出，称为“质量分析器” 。各种正离子自离子源 A 引出后，在加速管中受到电压为 V 的电场加
13、速。设偏转磁感应强度为 B，偏转半径为 R.求证在管中得到的离子质量为.2eRmU解 答正离子从离子源引出后，在加速器中受到电压 V 的电场加速。正离子获得的动能为(电势能)2K1EmeV COFn正离子的速度zeVm由于正离子在磁场受到洛仑兹力 的作用而发生偏转F=qB2meBR2eRzVm即：2eBz4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为 500g 的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为 200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力 F=20.0N 作用下移至图中位置，球圆柱体的速度，线长 20cm，不计摩擦。解 答以轻绳，圆柱体和框架组成的质点组
14、所受外力有：圆柱体重力，框架重力 ，轻绳拉力 和作用在框架上的水平力 。其1wmg2wT F中轻绳的拉力 和 不做功。质点组所受内力：框架槽和小球的相T互作用力 、 ，由于光滑，所以 、 做功之和为零。质点组所R R03TR1W2F03O1相 对20x力情况如图：根据质点组动能定理：（1）22 01mg(1cos30)Fsin为圆柱体的绝对速度为框架的绝对速度。2由于 （见下图）12相 对将此式投影到图中所示的沿水平方向的 ox 轴上，得：21cos30带入（1）式中 202 011m(cs)mg(cos30)Fsin3解得： .4/4.4.1 二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧
15、1 和 2 的劲度系数分别各为 和 。它们自由伸长的长度相差 。坐1k2 l标原点置于弹簧 2 自由伸展处。求弹簧组在 和 时弹性势0xl0能的表示式。解 答弹性力 1kfx1()外力为 F=k()x当 时， 无势能，只有 有势能。外界压缩弹簧 做功0x21k2k12Ox1k使 势能增加。设原点处为势能零点，则：2k2P112E()k()dxx x 2P1k时：原点为势能零点0x对于 ：外力做功2k2201Akdxx对于 ：外力做功1221111()kkx x 2222P1112E(k)kxx4.5.1 滑雪运动员自 A 自由下滑，经 B 越过宽为 d 的横沟到达平台 C 时，其速度刚好在水平
16、方向，已知两点的垂直高度为 25m。坡道在 B 点的切线方向与水平面成 300角，不计摩擦。求（1）运动员离开 B 处的速率为 ， （2）B,C 的垂直高度差 h 及沟宽 d， （3）运B动员到达平台时的速率 。C解 答（1）运动员在 A 到 B 的滑动过程中，受到了重力 和地面支持W力 作用。 （忽略摩擦） 。重力为保守力，支持力 不做功，所以机N NA25md=?BhC?30WN械能守恒。以 B 点为重力势能零点，得到运动员离开 B 处的速率：2BB1mgh50.4(/s)（2）运动员从 B 到 C 做抛物线运动，当到达 C 点时，由题意知：沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。所以 B
17、、C 的垂直高C度 22BBsin30h6.5(m)g8（3）因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒： CBmcos3019.7(m/s)（4）d 的高度:水平射程的一半2B(sin)1.65()g4.5.2 装置如图所示：球的质量为 5kg，杆 AB 长 1cm，AC 长0.1m，A 点距 O 点 0.5m，弹簧的劲度系数为 800N/m，杆 AB 在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。球小球到铅垂位置时的速度。不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解 答包含球杆弹簧的质点组受力如图所示：不做功。N重力和弹性力为保守力（不计摩擦）系统机械能守恒设
18、杆水平时势能为零（1）22110mg(AB)+k() （水平位置）220OC0.5.09(m)（2）()6将（2）式代入（1）式 22221mg(AB)+k(0.9)().)k2g(B)(0.9)m4.78/sABC1m0.O.5NWF解 答 （1）取物体 Q 为隔离体在竖直方向上 Q 所受的力的矢量和为零。而在水平方向只受到弹力 和光滑圆弧的水平方向的作用力 作F N用， 为保守力，不做功。所以机械能守恒。F设弹簧势能零点为弹簧原点处：（B 点速度最大）222A11mk()2BA2()O=+RO=0.365(m)1.(/s)（2）在 D 点弹性势能为： 2PEk().76(J)4.5.3 物
19、体 Q 与一劲度系数为24N/m 的橡皮筋连结，并在一水平圆环轨道上运动，物体 Q 在 A 处的速度为 1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m，物体 Q 的质量为 5kg，由橡皮筋固定端至 B 为 0.16m，恰等于橡皮筋的自由长度。求（1）物体 Q 的最大速度；（2）物体 Q 能否达到 D 点，并求出在此点的速度。FNABCDOR因为 22BDP1mE所以 2D0.58(m/s)4.6.1 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当 粒子与氢原子相碰时，可使之迅速运动起来。按正碰撞考虑很容易证明，氢原子速度可达 粒子碰撞前速度的 1.6 倍，即占入射粒子能量的 64%。试证明此结论（碰撞是完全弹
20、性的，且 粒子质量接近氢原子质量的四倍） 。解 答设 粒子的质量为 4 ，氢原子的质量为 ； 粒子的初速度为mm，氢原子的初速度为 ；1020正碰后， 粒子的速度为 ，氢原子的速度为 。1 2由公式: 21200()m将以上数据代入：20102 1038.65入射 粒子的能量：210(4m)氢原子碰后的能量：210(.6)则： 210(.6).44m4.6.2 m 为静止车厢的质量，质量为 M 的机车在水平轨道上自右方以速率 滑行并与 m 碰撞挂钩。挂钩后前进了距离 s 然后静止。求轨道作用于车的阻力。解 答选取机车和车厢为质点组挂钩时为完全非弹性碰撞。因为冲击力大于阻力，可视为动量守恒。MV
21、m撞后：由动能定理210(m)Vfs222()()Mss()fs4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度。静止时，两球恰能接触且悬线平行。碰撞的恢复系数为 e。若球 A 自高度 释1h放，求该球弹回后能达到的高度。又问若两球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。解 答（1）A 球碰前的速度，由机械能守恒：201mghA（1）A 与 B 发生非弹性碰撞ABh（2）A0Bm又知： （3）A00e由（1） （2） （3）式得：（4）A01e2ghA 球上升高度：机械能守恒2A021mgh22 11(e)(e)hh44（2）若两球发生完全弹性碰撞 由（4）式 A0再由（2）式 B即
22、A 球静止，B 球以 A 球碰前的速度开始运动。当 B 球上升后（高度）又落下与 A 球再次发生完全弹性碰撞。 ，A1h 00球以速度 开始向上运动。如此往复。04.6.4 质量为 2g 的子弹以 500m/s 的速度射向质量为 1kg、用1m 长的绳子悬挂着的摆。子弹穿过摆后仍然有 100m/s 的速度。问摆沿铅直方向升起若干。解 答第一阶段，动量守恒 0mMV+()=第二阶段，机械能守恒 21Vgh2202m()M0.519.8.3()4.6.5 一质量为 200g 的框架，用一弹簧悬挂起来使弹簧伸长10cm。今有一质量为 200g 的铅块在高 30cm 处从静止开始落入框架。秋此框架向下
23、移动的最大距离。弹簧质量不计。空气阻力不计。解 答铅块下落到框底速度为（1）102gh接下来，铅块与框架底发生完全非弹性碰撞。由于冲击力大于重力、弹性力，可视为动量守恒。 10m2（2）gh（由于碰撞时间短，下降距离为零）Mhm01V以后以共同速度下降：机械能守恒设弹簧自由伸长处框架底板的位置为重力、弹性势能零点。碰撞前弹簧伸长为 ，碰撞后质点移动的最大距离为 。0 （3）2 2000011mkgk()mg()依题意 0mgk（4）（2） （4）式代入（3）式：0220h.1.0.310.2舍去负号项， 3mc4.6.6 质量为 =0.790kg 和 =0.800kg 的物体以劲度系数为121
24、0N/m 的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张。质量为 0.01kg 的子弹以速率 =100m/s 沿水平方向射于 内，问弹1m簧最多压缩了多少？解 答第一阶段：完全非弹性碰撞（1）010m()第二阶段：弹簧被压缩最甚，动量守恒。（2）10120()(+m)V（ 为共同速度）V再由机械能守恒：（3）22210120max1(m)(m+)Vk()A有（1） （2） （3）式解出：max010120().5()k+A4.6.7 一 10g 的子弹沿水平方向以速率 110m/s 击中并嵌入质量为 100g 小鸟体内。小鸟原来站在离地面 4.9m 高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离
25、。解 答第一阶段是子弹击中小鸟，两者发生完全非弹性碰撞水平方向动量守恒：（ 为子弹、小鸟共同速度）1012m()102第二阶段是子弹和小鸟一起做平抛运动小鸟落地时间：htg水平距离：102m.0124.9t 10(m)8 4.6.8 在一铅直面内有一个光滑轨道，左面是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，二者平滑连接，现有 A、B 两个质点，B在水平轨道上静止，A 在曲线部分高 h 处由静止滑下，与 B 发生完全弹性碰撞。碰后仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度下滑，已知 A、B 两质点的质量分别为 和 。求至少发生两次碰撞的条件。1m2解 答分三个阶段：第一阶段，A 第一次与 B 完全弹性碰
26、撞。设，A 撞前速度为 ，撞后速度10为 ；1B 撞前速度为零，撞后速度为 。21由公式：121020(m)+得：212010()1210102();mm要使质点返回，必须 ，即11第二阶段，A 返回上升到轨道某处，并再度下滑到平面轨道。由机械能守恒：（ 是再度下滑到平面轨道的速2211mgh12度）得 2112,第三阶段，A，B 再次碰撞。要求 ，即 将上面的 ， 代入此式121212101022m即 3这是 A，B 至少发生两次碰撞的条件。4.6.9 一钢球静止地放在铁箱的光滑底面上，如图示。CD 长 。铁箱与地面间无摩擦。铁箱被加速至 时开始做匀速直线运动。后0来，钢球与箱壁发生完全弹性
27、碰撞。问碰后再经过多长时间钢球与BD 壁相碰？解 答选取铁箱和钢球为质点组，以地面为参考系，坐标系 。ox第一阶段，钢球与 AC 发生完全弹性碰撞。设 为铁箱碰撞前后速度，10,为小球碰撞前后速度。2,由完全弹性碰撞：2101,ee1020210,即碰撞前后钢球相对铁箱的速度为 。0第二阶段，是钢球在箱内运动，直至与 BD 相碰。取钢球为研究对象，选取铁箱为参照系，由于铁箱表面光滑，所以小球在箱内作匀速直线运动。可得钢球碰后再与壁相碰的时间间隔为 0tA4.6.10 两车厢质量均为 M。左边车厢与其地板上质量为 M 的货箱共同向右以 运动。另一车厢以 2 从相反方向向左运动并与左0 0车厢碰撞
28、挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为 。求：（1）货箱与地板间的摩擦系数 ；（2）车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。解 答（1）第一步：两车厢完全非弹性碰撞， 002MV1第二步：内力作功，使体系动能改变，由动能定理以地面为参照系;0222000213()434KEffMMg（2）碰撞后系统在水平方向的动能守恒。系统的动量： 系统总动量为零，质心不002()Mm动。(常量) （1）123cxx（2）12cM（3）2()()cxmxMxAA解（2） （3）式得： 24.7.1 质量为 m 的氘核的速率 u 与静止的质量为 2m 的 粒子发生完全弹性碰撞，氘核以与原方向成 角散射。 （1）求
29、粒子的09运动方向， （2）用 u 表示 粒子的末速度， （3）百分之几的能量由氘核传给 粒子？解 答 （1）由动量守恒： :2cos0inxmuy即：2cos(1)in2u由 （完全弹性碰撞）1e在 方向上有关系式：(sin)sin1cocouue（3）cossinuu（1） （2）式代入（3）式得： 22cos1sin,30（2） 由（1）式 cos30u（3） 动能比：2()21mu4.7.2 参考 3.8.7 题图。桑塔娜空车质量为 ，载1m06kg质量为 70kg 一人，向北行驶。另一质量为 的切诺基汽车向52kg东行驶。而车相撞后连成一体，沿东偏北 滑出 d=16m 而停止。03路面摩擦系数为 。该地段规定车速不得超过 80km/。问那辆车0.8违背交通规则？又问因相撞损失多少动能？解 答
