1、切 蛋 糕 的 学 问学 校 ： 温 州 市 育 英 国 际 实 验 学 校班 级 ： 初 一 （ 11） 班成 员 ： 黄 纪 凯 金 潇 然 王 小 丽指 导 老 师 ： 鲍 剑 锋联系电话：切 蛋 糕 的 学 问一 提 出 问 题今 年 我 过 生 日 的 时 候 ， 爸 爸 出 差 回 来 带 来一 个 大 蛋 糕 ， 馋 得 我 直 流 口 水 。 爸 爸 说 ：“你先别忙吃，考你一道数学题。 ”我信心十足地说：“尽管出吧没有什么问题能难得倒我的！”爸爸说：“ 你 先 别 骄 傲 ， 听 我 的 题 目 ： 一 块蛋 糕 不 能 横 着 切 ， 从 上 面 一 刀切 下 去 最 多
2、可 以 切 两 块 ， 两刀 最 多 可 以 切 四 块 ， 那 么 三 刀 最 多 可 以 切 几 块 ， ？ 四刀 呢 ？ 五 刀 二 十 七 刀 最 多 可 以 切 多 少 块？我想都没想就回答：“ 这 么 简单 ？ 一 刀 最 多 可 以 切 两 块 ， 两 刀 最 多 可 以 切 四 块 ， 三 刀 最 多可以切六块，这样推想下去，二十七刀当然就可以切54块呀！”爸爸说：“ 错 了 ， 其 实 要 使 切 的 数 最 多 ， 每 两刀 必 须 交 叉 ， 且 三 刀 以 上 的 刀 痕 不 能 交 于 一点。想知道答案，你可以找一找切的刀数与块数之间的规律。 ”我陷入了沉思。究竟怎么
3、样切，才能使块数最多呢？” 二. 探究问题 我找了两个朋友一起思考，怎样才能切割出尽可能多的月饼呢？于是我在平面上与朋友一起画了一个圆形进行切割，制作了以下表格：刀数 最多块数 示意图一刀 2块二刀 4块三刀 7块四刀 11块五刀 16块 我们就逐渐发现了一个规律：一刀的最多块数：2=1+1,二刀的最多块数：4=1+1+2,三刀的最多块数：7=1+1+2+3,四刀的最多块数：11=1+1+2+3+4,五刀的最多块数：16=1+1+2+3+4+5我们从中发现快数是由一个等差数列和多余的一组成的，例如：上面可转化为以下这种形式：一刀的最多块数： （块）12)(二刀的最多块数： （块）三刀的最多块数
4、： （块）)3(四刀的最多块数： （块）124五刀的最多块数： （块）)5(那么，我们推出规律，即 n 刀的最多块数为： （块）12)(n那么27刀就有= =379（块）12)7(我和朋友高兴地把答案告诉爸爸，爸爸夸奖了我们，还给我们吃了几块美味的蛋糕，我在吃蛋糕的时候又想：图 形 的 切 割 多 少 可 能 与 图 形 的 什 么 有 关 呢 ？三 拓 展 和 推 广经 过 上一次的探索，我发现切割蛋糕的规律。那么，切割的多少究竟与什么有关呢？经过初步的思考，我猜测切割的多少可能与图形的面积，形状，所处的空间维度有关。（ 1） 我 为 了 验 证 “图 形 的 切 割 与 图 形 的 面 积
5、 有 关 ”， 我 进 行 了 一 个 实 验 ： 设 置一 个 半 径 是 两 厘 米 ， 一 个 半 径 是 四 厘 米 ， 一 个 半 径 是 八 厘 米 的 圆 ， 用 同 样 的 手 法切 割 。 就 得 到 一 个 表 格 ：半 径 （ 厘 米 ）2 4 8刀 数 （ 次 ）1 2 2 22 4 4 43 7 7 7. . . .n +12)(n+12)(n+12)(n我 发 现 无 论 进 行 多 少 次 分 割 ， 它 是 与 图 形 的 面 积 无 关 的 。 并 且 块 数 m 与 刀 数 n 的 关系 为 ： m= +1)(所 以 ， 图 形 的 分 割 与 图 形 的
6、面 积 无 关 （ 前 提 ： 圆 不 能 缩 小 为 一 点 ！ ）（ 2） 现 在 我 们 来 研 究 “图 形 的 分 割 是 否 与 图 形 的 形 状 有 关 ”我 与 我 的 小 伙 伴 做 出了 以 下 实 验 ： 设 置 一 个 圆 形 与 一 个 月 牙 形 ， 找 出 这 个 之 间 的 关 联 。刀 数 (次 ） 圆 形 切 割 的 最 多 块数月 牙 形 切 割 的 最 多 块 数1 2 32 4 63 7 104 11 15. . .n +12)(n+12)3(n所 以 ， 图 形 分 割 与 图 形 形 状 有 关 。 并 且 值 得一 提 的 是 我 发 现 月
7、牙 形 的 规 律 与 三 角 形 数 一样 的 ， 如 图 ：不过，月牙形的切割块数是在第二个三角形数“3”的基础上进行的。 （不含不切的情况） ，因此，再求切 n 刀月牙形的最多块数时，事实上是在求第（n+1）个三角形数。由此在三角形数的计算公式上叠加了（3-1） ，于是原来的便变成了 ，即 。2)1(n2)13(2)3(（3）对于空间维度，我们可以分三类切割：一维空间，二维空间，三维空间。一刀 二刀 三刀 四刀3 6 10 15我 们 首 先 分 割 一 维 事 物 ， 在 一 维 事 物 中 ， 只 有 点 ， 线 ， 所 以 我 们 就 来 研 究 直 线 的 分割 吧 。 经 过
8、我 们 的 研 究 ， 由 于 一 维 空 间 是 不 能 横 切 的 ， 如 果 一 横 切 ， 这 就 会 变 成 二维 空 间 。 由 此 得 出 下 列 结 论 ：第 一 刀 2段第 二 刀 3段第 三 刀 4段第 四 刀 5段1 2 3 4所 以 ， 在 一 维 空 间 里 ， 段 数 =刀 数 +1二 维 空 间 我 们 已 经 研 究 过 了 ， 圆 形 的 切 割 规 律 ： 块 数 = +1（ n 为 刀 数 ）2)(现 在 我 们 来 研 究 三 维 空 间 的 切 割 规 律 ， 我 们 来 研 究 一 个 比 较 典 型 的 三 维 图 形 正方 体 。刀 数 （ 次
9、） 最 多 块 数 (块 ）1 22 43 84 15n +163n总 结 ： 一 ， 二 ， 三 维 空 间 的 关 系 图 为刀 数 （ 次 ） 段 ， 块 ， 体 （ 个 ）直 线 圆 正 方 体1 2 2 22 3 4 43 4 7 84 5 11 15. . . .n n+1 +2)(n+163n得 出 结 论 ： 在 一 般 情 况 下 ， 三 维 切 割 的 个 数 二 维 切 割 的 个 数 一 维 切 割 的 个 数（ 刀 数 3， 且 二 维 图 形 的 平 面 应 该 与 三 维 图 形 的 一 面 相 似 ） 所 以 图 形 的 分 割 与 空间 维 度 有 关 。在
10、数 学 的 海 洋 与 现 实 中 ， 有 没 有 分 割 的 身 影 呢 ？ 答 案 是 肯 定 的 ， 例 如 ：如 果 是 一 个 折 线 ， 那 它 切 一 刀 ， 两 刀 ， 三 刀 最 多 能 切 成 几 条 ？ 一 刀 的 话 想 都 不用 想 ， 肯 定 是 3条 ， 我 想 ： 这 一 条 折 线 要 把 它 当 成 两 条 线 ， 一 次 ， 一 条 两 段 ， 就是 四 条 了 ， 因 为 这 是 折 线 ， 有 两 条 是 连 在 一 起 的 ， 所 以 还 要 减 一 ， 也 就 是 三 条 了 。如 果 是 这 样 我 就 可 以 把 一 二 三 刀 的 最 多 线
11、 条 求 出 来 ：一 刀 ： （ 1+1） *2-1=3（ 条 ）两 刀 ： （ 2+1） *2-1=5（ 条 ）三 刀 ： （ 3+1） *2-1=7（ 条 ）n 刀 ： （ n+1） *2-1=2n+1（ 条 ）我 们 找 到 这 样 的 规 律 ， 欣 喜 若 狂 ， 并 把 它 绘 制 成 了 表 格 ：刀 数 （ 次 ） 条 数 （ 条 ） 示 意 图1 （ 1+1） *2-1=32 （ 2+1） *2-1=53 （ 3+1） *2-1=7 n （ n+1） *2-1=2n+1 所 以 ， 它 的 规 律 是 2n+1（ n 为 刀 数 ）看 到 这 张 图 ， 最 疯 狂 的 一
12、 定 那 些 拥 有 奇 思 妙 想 的 艺 术 家 以 及 有 着 硕 大 无 比 的 数 学 脑袋 的 几 何 数 学 家 们 了 ， 没 错 ！ ， 这 就 是 黄 金 分 割 ！ 黄 金 分 割 又 称 黄 金 律 ， 黄 金 比 例是 指 事 物 各 部 分 间 一 定 的 数 学 比 例 关 系 ， 即 将 整 体 一 分 为 二 ， 较 大 部 分 与 较 小 部分 之 比 等 于 整 体 与 较 大 部 分 之 比 ， 其 比 值 约 为 1 0.618或 1.618 1， 即 长 段 为 全段 的 0.618。 0.618被 公 认 为 最 具 有 审 美 意 义 的 比 例 数 字 。 上 述 比 例 是 最 能 引 起 人的 美 感 的 比 例 ， 因 此 被 称 为 黄 金 分 割 。数学不仅创造了知识，还创造了生活上的美感，数学，真是博大精深啊！四 .自 己 的 感 悟 可 见 做 数 学 题 目 还 真 是 来 不 得 半 点 马 虎 ， 不 懂 的 时 候 ， 除 了 要 认 真 听 别 人 的 讲 解 ，还 要 结 合 自 己 的 动 手 实 践 ， 这 样 才 能 把 问 题 真 正 弄 懂 ！ 今 后 在 学 习 中我们都要动手实践一下。数学就在身边，等待我们的是发现
