1、线 性 代 数第一章 矩阵第二章 行列式第三章 线性方程组第四章 n维向量空间第五章 特征值与特征向量第六章 二次型,第一章 矩阵第一节 矩阵的概念第二节 矩阵的运算第三节 逆矩阵第四节 分块矩阵,第一节 矩阵的概念 1.1 矩阵的概念矩阵是从数表抽象出来的概念。例如，考察n个变量的线性方程组其各常数aij(i=1,2,m,j=1,2,n)为方程组的系数。方程组系数组成的数表确定了方程组。因此可由该数表来研究方程组。,1.1 矩阵的概念又如，某班同学某学期成绩表组成了一张二维数表，研究该数表可获得该班同学的有关信息。事实上应用数表可研究的问题很多。所以有必要对数表进行研究。,1.1 矩阵的概念
2、,1.1 矩阵的概念,例1.2 设平面直角坐标系xOy绕原点O旋转角后，得到新的 坐标系x1Oy1，如下图所示。平面上一点A在这两个坐标系中 的坐标(x,y)和(x1,y1)之间有关系,1.1 矩阵的概念 例1.5 甲、乙二人玩掷硬币的游戏。两人同时各掷一枚硬币。若两枚硬币以相同的一面向上，乙付给甲一元，反之甲付给乙一元。则可用如下矩阵表示各种情况下甲的收益，叫做甲的收益矩阵。,1.1 矩阵的概念 矩阵的相等若两个mn矩阵A和B的对应元素都相等，即 aij=bij(1im, 1jn)，称A和B相等，记为A=B。 定义1.2 主对角线，主对角线元,1.1 矩阵的概念 (2) 对角矩阵,1.1 矩
3、阵的概念 (3) 单位矩阵主对角线元全是1的对角矩阵称为单位矩阵，记为En，n为阶数，不必要时可省去。,1.1 矩阵的概念,第二节 矩阵的运算 定义1.4 矩阵的和,1.2 矩阵的运算 定义1.5 矩阵的差,1.2 矩阵的运算 定义1.6 矩阵的数乘,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算由上述举例可知，矩阵乘法与一般数值乘法有以下三点不同： 第一，矩阵乘法不满足交换律。AB有意义，BA可能无意义(例1.9)；即使AB和BA都有意义，其行列数未必相同(例1.8)；即使AB和BA都有意义，且其行列数相同，它们未必相等
4、(例1.10)。故一般情况下，ABBA。 第二，当AB=0时，不能推出A=0或B=0。(如例1.10 AB=0，但AO，BO) 第三，当ABCB且BO时，也不能断定A=C。例如,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算 例1.11 求对角矩阵A=diag(a1,a2,an), B=diag(b1,b2,bn) 的乘积。 解 所以AB仍是对角矩阵，且AB=diag(a1b1,a2b2,an bn)。,例1.12 设A, B是n阶上三角矩阵,试证明AB仍是上三角矩阵。,设A, B是n阶下三角矩阵,试证明AB仍是下三角矩阵。,1.2 矩阵的运
5、算,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算 例1.14 某生态公园现有某种鸟类5000只，其中患病的有20%，设每年健康的鸟有20%患病，而患病的鸟有60%治愈。求两年后健康的鸟和患病的鸟各有多少？ 解：设转移矩阵A为：,1.2 矩阵的运算 定义1.8 矩阵的转置,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算 定义1.9 对称矩阵，反对称矩阵,1.2 矩阵的运算,1.2 矩阵的运算,第三节 逆矩阵许多实际问题需要研究包含n个未知量x1,x2,xn的线性方程组A=(aij)mn称为(*)的系数矩阵，x=(xj)n1称为(*)的未知数向量，b=(bi)m1称为(*
6、)的常数项向量。则上述线性方程组可写成矩阵方程 Ax=b 使用将矩阵乘法看作线性变换的观点，解上述线性方程组就是根据系数矩阵A，从像向量b求出原像向量x。,1.3 逆矩阵解代数方程ax=b时，可在方程两边同乘a-1，解得 x=a-1b。可否用类似想法来解矩阵方程？,1.3 逆矩阵,惟一,1.3 逆矩阵,1.3 逆矩阵,1.3 逆矩阵,1.3 逆矩阵,1.3 逆矩阵,1.3 逆矩阵,第四节 分块矩阵,1.4 分块矩阵,1.4 分块矩阵,1.4 分块矩阵分块矩阵也可以按普通矩阵的运算方法运算。前提是: 所有小矩阵之间的运算有意义。,1.4 分块矩阵,1.4 分块矩阵,1.4 分块矩阵,1.4 分块
7、矩阵,1.4 分块矩阵,1.4 分块矩阵,1.4 分块矩阵,1.4 分块矩阵,1.4 分块矩阵,对分块矩阵运算的说明： (1)分块矩阵的加法和乘法必须有意义。 (2)注意分块矩阵乘法的顺序(因矩阵乘法一般不满足交换律)。 (3)做分块矩阵的转置运算时，不仅各子矩阵本身要转置，它们在分块矩阵中也要转置。 分块矩阵在矩阵的理论和应用中都是重要的：利用分块矩阵可将矩阵中不同部分各自的规律清楚地表示出来，方便运算或推理。适当的分块有助于理解矩阵的概念。,例如，考虑矩阵方程Ax=b ，A，x，b分别是mn, n1, m1矩阵，若将A按列分块， 则Ax=b可写成由此可把矩阵方程Ax=b转化成向量方程从两种
8、不同的角度研究同一问题，可使我们对该问题的理解更为透彻。又如，研究ms矩阵A和sn矩阵B。把A按行分块，B按列分块，则AB可写成,上式表明AB的(i,j)元素是A的第i行向量ai和B的第j行向量bj的“内积”，这一观点在几何上很重要。在计算机理论、电路理论、图论以及经济学等许多实际应用中所研究的矩阵具有分块性，应用分块矩阵研究这些问题更为方便。,本章基本要求 (1)理解一般矩阵及方阵的概念；理解零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、上(下)三角阵、对称(反对称)矩阵等特殊矩阵的定义。 (2)熟练掌握矩阵的线性运算(矩阵的加法与矩阵的数乘)、矩阵的乘法运算、矩阵的转置及其运算规律；理解矩阵运算的实际意义、矩阵运算与数的运算的异同。 (3)理解可逆矩阵的概念，熟练掌握可逆矩阵的运算性质。 (4)掌握分块矩阵及其运算规律。,
