1、布莱克舒尔斯定价方法,1). 资产的价格行为 2). 布莱克-舒尔斯 定价公式,1). 资产的价格行为,基本假设 (A) 资产的价格服从对数正态分布，(B) 资产价格遵守几何布朗(Brown)运动。 称资产价格服从对数正态分布，是在时段 内资产的几何收益率 呈正态分布,资产在时刻 的价格,假定资产价格呈对数正态分布要比通常意义下的正态分布更合理, 避免出现负价格.,记该正态分布在时段 的均值为 ，方差为 ,分别为资产年收益对数的均值与标准差,正态分布与标准正态分布之间的转换关系,正态分布的随机变量 标准正态分布的随机变量,反映资产价格变化行为的方程此式可用于模拟资产在未来某个时间的价格以及未来
2、价格的可能分布。 例: 某股票现行的市场价格为40元，已知该股票年收益对数的均值和标准差分别为15% 和30%，要求模拟该股票两个工作日后的可能价格.,通过随机产生足够数量的标准正态分布的随机数以模拟生成大量的资产价格,可以得到其未来价格的分布.简化的模拟式:,1000次模拟结果的分布,(1)模拟的次数越多，所得的股票价格的分布越接近于真实的对数正态分布。 (2) 对数正态分布只取正值(没有小于0.45的股票价格 )，如果采用正态分布的假定进行模拟有可能产生负的价格.,模拟股票价格频率分布直方图,实际的模拟过程把整个时段分成若干个小的时间区间，对每个时间区间递推使用模拟式, 得出资产在整个时段
3、内价格的一个走势，由此得出资产在期末的一个价格。 假设需要模拟某股票一年以后的价格及其分布，按一年有250个工作日算，把一年分成250个时段, 在每一个时段使用模拟式,价格走势,模拟一年后的股票价格,预期股票价格变动的范围 对于标准正态分布而言，z的取值在(-1.96, 1.96)范围内的概率是97.5%，因此在97.5%的置信水平下, 由模拟式可确定股票价格的变动范围:以前述例子为例，在97.5%的置信水平下，股票价格在第2个工作日的波动范围为,上界:,下界:,对于给定的置信水平 ,由标准正态分布表可确定随机变量z的取值范围 ，把所得取值的上下界分别代入模拟式中, 即可得出该置信水平下股票价
4、格的变动范围。,估计资产收益对数的均值及其波动性( , )利用资产价格的历史数据来估计,通过计算对数收益序列 的均值和方差，再除以时间区间的长度 ，就可得资产收益对数的均值和方差。,当 适当小时， 表示投资者对很短一个时期内的期望收益，因而又称资产的瞬时期望收益， 表示资产收益在一个很短时期内的波动性，又称资产收益的瞬时波动性。,对于布莱克舒尔斯期权定价方法来说，资产收益的瞬时波动性起重要作用，因此要求对瞬时期望收益和瞬时波动性的估计应尽可能的精确。这涉及对资产价格历史样本数据合理选取的问题。理论上，在其它情况保持相同的条件下，资产价格数据的样本数m越大，估计得到的瞬时期望收益和瞬时波动性会越
5、好。但是实际上，过分陈旧的资产价格数据，对估计资产的未来价格或价格走势基本上没有什么实质性的贡献。因此，一个通用的选取样本数m的准则为用于估计瞬时期望收益和瞬时波动性的时间跨度大致等于应用这一估计的时间长度。,第2个假设: 资产价格的变化遵守几何布朗运动资产价格满足微分方程 资产年收益对数的均值与标准差,满足标准的布朗运动 ,满足标准正态分布的随机数,取离散形式,资产价格在时段 内的改变量,表明资产价格在时段 的变化率服从以 为均值、 为标准差的正态分布。 由上式可得:,此即为前面得到的资产价格的方程,2). 布莱克-舒尔斯 定价公式,期权的预期价值应该等于其可能取得的任何价值乘以获取该价值的
6、概率后总和的现值. 欧式买入期权在到期日的预期价值为对 期权的预期价值:,对 期权价值为零 .,期权在签约日的价格T 期权设定的期限 r 无风险收益率，一般采用连续复利 需要确定: (1) 的概率 ，(2) 时期权的预期价值,根据资产价格服从对数正态分布的假定，我们有资产的对数收益率， 资产的期初价格 对于对数正态分布的随机变量 ，其值大于某一指定值 的概率可由下式给出 表示随机变量 的均值和标准差，,在标准正态分布中随机变量的取值 小于d出现的概率,资产价格在期限内的期望收益率和标准差 资产的年对数收益率和收益率的标准差 根据无套利原理，期望收益率与无风险收益率之间有关系,代入得,将 与 代
7、入得由正态分布的对称性,有,期权在 时的预期价值,Jarrow和Rudd(1983) Modeling Fixed Income Securities and Interest Rate Options,欧式买入期权定价的布莱克舒尔斯公式 美式买入期权的价格,欧式卖出期权 的定价公式根据关系式 得定价公式,在定价公式中需要的数据:资产的现行价格,期权确定的资产执行价格,期权的期限, 无风险收益率.,另一方法: 资产价格满足随机微分方程,一定满足伊藤(Ito)过程. 一个随机变量如果服从伊藤过程，则它满足随机微分方程,随机变量的漂移率,随机变量的变异率,如果G是满足伊藤过程的随机变量 和时间t的
8、函数，则G服从由随机微分方程,确定的过程，,由于期权的价格 ,设为f，是股票价格 （满足伊藤过程的随机变量)和期限T的函数,因而也服从随机微分方程,上式的离散形式为,再考虑方程组,构造资产与期权的一个组合以消去含有 的项, 这样的一个组合构成为：,买入 股股票，持有一分期权。 这是一个无风险的组合,组合的价值为,对充分小的时段 ，组合的价值变化为,将 和 代入经整理得到,由于这是一个无风险的组合，在时段 内， 该组合的收益应等于同价值的无风险资产在 相同时段内的收益，即有,将 代入后经整理得,这就是期权价格所要满足的微分方程，称为布莱克舒尔斯方程。 对欧式买入期权，其边界条件为,对欧式卖出期权
9、，其变界条件为,C,P,例：考虑以这样一个股票为标的资产、期限为半年的期权。已知该股票现行的市场价格为42元，期权确定的执行价格为40元，经估计得该股票收益对数的波动性 为，无风险资产的年收益率为 。分别计算以该股票为标的资产的欧式买入期权和卖出期权的价格。,由标准正态分布表可查得,欧式买入期权的价格,欧式卖出期权的价格,资产收益对数的波动性估计从资产价格的历史样本数据估计,资产的对数收益率,资产在时间 的价格,收益率的平均值 ,连续两个时间之间的间隔为,方差公式,如果 (年),那么计算所得即是资产年收益率的波动性,不然的话,要把计算所得结果除以 以得资产你收益率的波动性,即有,指数加权移动平
10、均模型(适用于波动率随时间变化的样本数据)对近期数据所加的权重要大于远期数据权重,按时间递增次序排列,当前时间,称为衰减因子,样本数据离现在时间t越远， 权重会越小.由于只有当样本数 时，权重之和才等于1,修正公式为,隐含波动性从公布的期权价格计算资产收益对数的波动性.解关于波动性的非线性方程. 用二分法求隐含波动性 例：考虑这样一个股票，其现行的市场价格为45元，无风险资产的年收益率为8%。以该股票为标的资产、某执行期限为半年的买入期权所确定的执行价格为50元，公布的期权价格为4元，试估计该股票对数收益分布的波动性。,先给出波动性的一个初始估计 计算,得在 时的期权价格,这一价格远低于公布的
11、价格,需要加大波动性,作业三,1. 考虑以下述股票为标的资产的期限为5个月的美式卖出期权，已知该股票现行的市场价格为50元，期权确定的到期日的执行价格，无风险资产的年收益率为10%, 股票收益的年波动性为 . 假定在期权的有效期内不分红，试把期限分成5段，用二叉树方法确定该期权的价格。 2. 考虑以下述股票为标的资产的期限为4个月的期权，股票现在的市价为30元，期权确定的执行价格为29元，已知无风险资产的年收益率为5%, 股票收益的年波动性为 ，假定期限内股票不分红。 (1) 如果这是一个欧式卖出期权，它的价格应是多少？ (2) 如果这是一个欧式买入期权，它的价格应是多少？ (3) 验证它们是否满足买入和卖出期权价格之间的关系？ (4) 如果它是一个美式买入期权，它的价格应是多少？,3. (1) 已知 ，求 .（2）证明其中 是股票在时间t的价格， ， 为某欧式期权确定的执行价格，期权的期限为T, 股票收的年波动性为 ，无风险资产的年收益率为r.,
