1、第二章 第二章线性系统的数学模型 线性系统的数学模型 杜鹏英 第二章 第二章线性系统的数学模型 线性系统的数学模型 2.0 2.0 引言 引言 2.1 2.1 线性系统的输入输出时域描述 线性系统的输入输出时域描述 2.2 2.2 拉普拉斯变换( 拉普拉斯变换( Lapalase Lapalase Transform Transform ) ) 2.3 2.3 线性系统的传递函数 线性系统的传递函数Transfer Function P18 Transfer Function P18 2.4 2.4 典型环节的数学模型 典型环节的数学模型P22 P22 2 2 .5 .5 系统的方框图(结构图
2、) 系统的方框图(结构图) Block Diagram P28 Block Diagram P28 2 2 .6 .6 信号流图及梅逊公式 信号流图及梅逊公式 2.7 2.7 非线性数学模型的线性化 非线性数学模型的线性化 P20 P202.4 2.4 典型环节的数学模型 典型环节的数学模型 P22 P22 思考题: 思考题: 如何从该框图求得输出 如何从该框图求得输出与输入 与输入之间的关系? 之间的关系? 2.4 2.4 典型环节的数学模型 典型环节的数学模型 P22 P22 系统是由典型环节组成 系统是由典型环节组成 常见的几种典型环节 常见的几种典型环节 比例、微分、积分、惯性、振荡、
3、滞后 比例、微分、积分、惯性、振荡、滞后 讨论内容 讨论内容 时域特征:微分方程,阶跃响应 时域特征:微分方程,阶跃响应 复域( 复域(s s 域)特征:传递函数,零极点分布 域)特征:传递函数,零极点分布 一、比例环节( 一、比例环节( Proportional Element Proportional Element ) ) P23 P23 二、惯性环节( 二、惯性环节( Inertial Element Inertial Element ) )P23 P23 三、积分环节( 三、积分环节( Integral Element Integral Element ) )P24 P24 四、微分
4、环节( 四、微分环节( Derivative Element Derivative Element ) )P26 P26 五、振荡环节( 五、振荡环节( Oscillating Element Oscillating Element ) )P28 P28 六、纯时间延时环节(又称存滞后环节) 六、纯时间延时环节(又称存滞后环节)P29 P29 2.4 2.4 典型环节的数学模型 典型环节的数学模型 P22 P224. 4. 特点: 特点: 输入输出量成比例,无失真和时间延迟。 输入输出量成比例,无失真和时间延迟。 1. 1. 动态微分方程: 动态微分方程: 2. 2. 传递函数: 传递函数:
5、() () () Cs Gs K Rs c(t c(t)= )=Kr(t Kr(t) ) 3. 3. 阶跃响应 阶跃响应 k k 为放大系数 为放大系数( ( 增益 增益) ) 5. 5. 实例: 实例: 电子放大器,齿轮,电阻(电位器),感应式变送器等。 电子放大器,齿轮,电阻(电位器),感应式变送器等。 一、 一、比例环节 比例环节 ( ( Proportional Proportional Element Element ) )一、 一、比例环节 比例环节二、惯性环节 二、惯性环节 ( ( Inertial Element Inertial Element ) ) P23 P23 1.
6、1. 动态微分方程: 动态微分方程: 2. 2. 传递函数: 传递函数: 3. 3. 阶跃响应 阶跃响应 时间常数 时间常数 K K 比例系数 比例系数 () () () dc t ct Krt dt () () () 1 Cs K Gs Rss () ( 1 ) t ct K e 1 通 通过 过原 原点 点切 切线 线斜 斜率 率为 为 阶跃响应 阶跃响应 求单位阶跃输入的输出响应: () () 1 1 () , Cs K Rss Rs s 1 11 () ( ) (1 ) K Cs K ss ss 1 () () ( 1 ) t ct L Cs K e 二、惯性环节 二、惯性环节 4.
7、4. 特点: 特点: 对突变的输入其输出不能立即复现,有延迟; 对突变的输入其输出不能立即复现,有延迟; 非周期指数函数,无振荡; 非周期指数函数,无振荡; 惯性越大, 惯性越大,越大 越大 当 当时,输出接近稳态值 时,输出接近稳态值 (3 4) t 5. 5. 零极点分布 零极点分布 j j 0 0 S S 平面 平面 1 Re Re 只有一个极点 只有一个极点 1 R2 R2 C C i u o u - + R1 R1 Cs R R Z R Z 2 2 2 1 1 1 , 而 Cs R Z Z s U s U R R i o 2 1 2 1 ) ( ) ( 1 2 R R C C i u
8、 o u 1 1 ) ( ) ( RCs s U s U i o 6. 6. 两个实例: 两个实例:思考?(1)RL 电路 ) (t u i ) (t u o L R (2)直流电机的励磁部分 () f ut () f it L R三、积分环节 三、积分环节 ( ( Integral Element Integral Element ) ) P24 P24 1. 1. 动态微分方程 动态微分方程 0 1 () () t ct K rtdt K 2. 2. 传递函数 传递函数 () 1 () () Cs K Gs Rs s s K 比例系数 时间常数 3. 3. 单位阶跃响应 单位阶跃响应 1
9、() ct t Kt 0 () 1 () rt t () () ct Krt () ct t有一个 有一个0 0 值极点 值极点 S S 平面 平面 j 0 Re 4. 4. 特点 特点 : : 输出量与输入量的积分成正比; 输出量与输入量的积分成正比; 当输入消失,输出具有记忆功能 当输入消失,输出具有记忆功能 三、积分环节 三、积分环节 ( ( Integral Element Integral Element ) ) P24 P24 5. 5. 零极点分布 零极点分布6. 6. 积分环节实 积分环节实例 例 : R C i u o u Cs o i s U R s U 1 ) ( ) (
10、 RCs s U s U i o 1 ) ( ) ( 图中,为转角,为角速度。 i ku t i dt t ku 0 ) ( 可见,为比例环节,为积分环节。 i u i u 电动机(忽略惯性和摩擦) i u 齿轮组 齿轮组 四、微分环节 四、微分环节 (Derivative Element )P26 1. 1. 动态微分方程: 动态微分方程: () () dr t ct dt 2. 2. 传递函数 传递函数 () () () Cs Gs s Rs 时间常数 3. 3. 单位阶跃响应 单位阶跃响应 t t T T C(t C(t) ) r(t r(t) ) t t 1 1 0 0 0 0 纯微分
11、环节的阶跃相应曲线 纯微分环节的阶跃相应曲线 理想微分环节 理想微分环节 : : () () ct t 四、微分环节 四、微分环节 (Derivative Element )P26 实际微分环节:微分环节和惯性环节串联 实际微分环节:微分环节和惯性环节串联 () () () 1 Cs Ks Gs Rs s 1. 1. 传递函数 传递函数 2. 2. 阶跃响应 阶跃响应 3. 3. 实例: 实例: P26 P26 图 图 2 2 - - 4 4 - - 5 5 () t ct Ke 四、微分环节 四、微分环节 (Derivative Element )P26 比例微分环节: 比例微分环节: 理想
12、比例微分: 理想比例微分: 实际比例微分: 实际比例微分: () ( 1 ) Gs s (1 ) () 1 s Gs s 1. 1. 传递函数 传递函数 2. 2. 阶跃响应 阶跃响应 t r(t) K t c(t) K 3. 3. 实例: 实例: P27 P27 图 图 2 2 - - 4 4 - - 7 7 特点 特点: : 输出量正比输入量变化的速度 输出量正比输入量变化的速度; ; 能预示输入信号的变化趋势。 能预示输入信号的变化趋势。 实例: 实例: 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。 为微分环节。P28 P28 图 图
13、2 2- -4 4- -9 9 四、微分环节 四、微分环节 (Derivative Element )P26 实例 实例 Ts Cs R s U s U i o 1 ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( 0 0 1 Ts K R Cs R R s U s U i o R1 R1 i u o u - + R0 R0 C C 理想微分环节 R1 R1 i u o u - + C C 比例微分环节带有惯性的微分环节 R ) (t u i ) (t u o C RCs RCs s U s U i o 1 ) ( ) (Cs R R R Z R Z s Z s Z s X s Y 1
14、1 2 1 , 2 2 1 2 1 , ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2 kTs Ts k Cs R R R R Cs R R s X s Y s G C R T R R R k 1 2 1 2 , 式中: y(t) y(t) x(t) x(t) R1 R1 R2 R2 C 实例五、 五、振荡环节 振荡环节 ( (Oscillating Element Oscillating Element ) )P28 P28 1. 1. 动态微分方程: 动态微分方程: 2 2 2 () () 2( )( ) dct dct ct K
15、rt dt dt 2. 2. 传递函数: 传递函数: 3. 3. 阶跃响应及零极点分布 阶跃响应及零极点分布 22 2 22 () () () 2 1 () () () 2 n nn Cs K Gs Rs s s Cs Gs Rs s s 五、 五、振荡环节 振荡环节 ( (Oscillating Element Oscillating Element ) )P28 P28 分析 分析 : : c(t c(t) ) 的上升过程是振幅按指数曲线衰减的正弦运动。与 的上升过程是振幅按指数曲线衰减的正弦运动。与有关。 有关。 反映系统的阻尼程度, 反映系统的阻尼程度,称为阻尼系数, 称为阻尼系数,称
16、为无阻尼振荡频率。 称为无阻尼振荡频率。 当 当时,曲线单调升,无振荡。 时,曲线单调升,无振荡。 当 当时,曲线衰减振荡。 时,曲线衰减振荡。越小,振荡越厉害。 越小,振荡越厉害。 当 当时,曲线发散。 时,曲线发散。 n 1 1 0 c(t c(t) ) t 1 0 1 m I e R 0 0 n 2 1 n j 2 1 n j 单位阶跃响应曲线 单位阶跃响应曲线 极点分布图 极点分布图 0 0 五、振荡环节 五、振荡环节单位阶跃响应P29 ) 1 0 ( 4. 4. 特点 特点 环节中有两个独立的储能元件,并可进行能量交换; 环节中有两个独立的储能元件,并可进行能量交换; 输出出现振荡
17、输出出现振荡五、 五、振荡环节 振荡环节 ( (Oscillating Element Oscillating Element ) )P28 P28 5. 5. 实例 实例 RLC RLC 电路 电路 ) (t u i R L C ) (t u O 1 1 ) ( ) ( 2 RCs LCs s U s U i o ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 2 0 2 t u t u dt t du RC dt t u d LC i 解: 当时,有一对共轭复数极点。所以: , F kx fx mx k fs ms s F s X s G 2 1 ) ( ) ( ) ( 0 4 2 mk f ,
18、1 ) ( 2 m k s m f s m k k s G , 2 , 2 m f m k n n 解得: mk f m k n 2 , 5. 5. 实例 实例 求质量 求质量- - 弹簧 弹簧- - 阻尼系统的 阻尼系统的和 和。见例 。见例2 2- -1 1- -1 1 , ,p11 p11 ) ) n 五、 五、 振荡环节 振荡环节 ( (Oscillating Element Oscillating Element ) )P28 P28六、纯时间延时环节(存滞后环节) 六、纯时间延时环节(存滞后环节) P29 P29 1. 1. 微分方程: 微分方程: 2. 2. 传递函数: 传递函数
19、: 3. 3. 阶跃响应: 阶跃响应: r(t r(t) ) t t c(t c(t) ) t t六、纯时间延时环节(存滞后环节) 六、纯时间延时环节(存滞后环节)P29 P29 4. 4. 特点: 特点: 输出是经过一个延迟时间后,完全复现输入信号 输出是经过一个延迟时间后,完全复现输入信号 5. 5. 近似处理: 近似处理: 是非线性的超越函数,所以有延迟的系统是很难分析和控制 是非线性的超越函数,所以有延迟的系统是很难分析和控制 s s e e s s 1 1 . 1 1 1 说明: 说明: 延迟过大会使控制效果恶化,甚至不稳定 延迟过大会使控制效果恶化,甚至不稳定 当时间 当时间很小时,可用一个小惯性环节代替 很小时,可用一个小惯性环节代替 其他不稳定环节 其他不稳定环节 1 2 1 , 1 1 2 2 s T s T Ts 它们的极点在 它们的极点在s s 平面的右半平面 平面的右半平面小结 小结 典型环节的时域数学模型 典型环节的时域数学模型 微分方程 微分方程 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数 典型环节的单位阶跃响应 典型环节的单位阶跃响应 典型环节的零极点分布 典型环节的零极点分布 常见实例 常见实例