1、训练与科技 第28卷第6期 二元函数极值充分条件判定定理的证明 林 琼，陈 星 (后勤工程学院基础部) 二元函数极值充分条件判定定理的证明是 数学分析中的一个难点，理解它的证明将有助 于学生记忆、使用这一定理。现阶段的证明方 法很多，但多数符号不统一，不便于理解。为了 更好地理解二元函数极值判定定理的充分条 件，使之更有通用性，本文给出了二元函数极值 判定定理充分条件的3种证法。并且，使用其 中的二次型法讨论三元函数的极值，并应用到n 元函数的极值问题中，从而引导学生掌握相关 知识。 一、二元函数极值判定充分条件定理叙述 定理1：设函数 ，Y)在(a，b)的邻域U(a， b)内连续，有一阶、二
2、阶连续偏导数，且厂 (a，b) =厂Py(a，b)=0，设A=厂 (a，b)，B=厂 (a，b)，C =，” (a，b)，则： 1)当B 一AC0，则(a，b)为极小值点。 2)当B 一AC0时，(a，b)不是极值点。 3)当B 一AC=0时，(a，b)可能为极值点也可 能不是，需做进一步讨论。 二、证明方法 以下证明只对1)、2)而言，3)举例说明 即可。 证明：令 = a+h，b+k)-f(a，b)，Af表示 (a，b)邻域内任意一点与 口，b)的差，由泰勒公式 可知： 1 厂= 一(厂 (n+Oh，b+Ok)h +2f” (n+Oh， b+ )JI1j+厂” (a+Oh，b+Ok)k )
3、 因为 ，Y)的一切二阶偏导数在(a，b)连 续，令： 林琼女，四川省都江堰市人，副教授 厂” (a+Oh，b+ )=厂” (a，b)+ l， l (JIl ，j ) 厂” (a+Oh，b+ )=厂tt：ty(a，b)+ 2， 82 (JIl ，j ) f” (a+Oh，b+ )=厂” (n，b)+ 3， 3 (JIl ，j ) 所以 ：(AJIl +2Bhk+Ck )+( h + 2 2JI1j+83k )。 令P= ，则：Af= 1(Ah +2Bhk+ cj )+o(p )。令M=Ah +2Bhk+cj ，可知 的 符号取决于 。 下面用3种方法讨论M=Ah +2Bhk+ 的 符号。 方法
4、1(二次型法)： 把M=Ah +2Bhk+ 视做二次型，则： ) B2-AC0时， 为正定二次型，即M0，所以 0，(口，b)为极小值点。 2)当B-AC0时，l l0，AO， 所以M=Ah +2Bhk+Ck =(A h +2ABhk+ 43 维普资讯 http:/ 训练与科技 第28卷第6期 ACk )A M=(肌+Bk) 一(B 一AC)j (A +Bj) 一(B 一AC)j 0 所以 与A同号。 当A0时，即M0，所以AU0，(a，b)为极 小值点。 2)当B 一AC0时， 若A0，M=(肌+Bk) 一( 一AC)j A，当h0，j=0时， 与A同号， 与A同号；当 肌+Bk=0时， 与
5、A异号， 也与A异号，所以， 在(a，b)的邻域内厂可正可负，可知(a，b)非极 值点。 若c0，则只要把A、c、和h、j位置对调， 同理可知： 可正可负，(a，b)非极值点。 若A=C m-0，B0，则M m-2Bhk，当hk0 时， 与 同号，厂也与 同号；当hk0时，(a，b)非极值点。 方法3(抛物线法)： 若j0，贝0 M=Ah +2Bhk+Ck =j ( +2 +c)，令 = h，A h2+2 +c= A +2BX+C=F( )，可知F( )的图象为抛 物线。 1)B 一AC0时，F( )开口向上，即M0，则 0，(a，b)为极小值点。 2)当B 一AC0时，抛物线与 轴有两个交
6、点，F( )可正可负，则对应的 也可正可负，则 可正可负，可知(a，b)非极值点。 下面举例说明结论3)。 例1 ，y)= +xy 一16x，有一个稳定点 (8，0)，且B 一AC=0，该点是极小值点。 例2 ，y)= 一2x y，在(0，0)处，厂 (0， 0)=厂 (0，0)=0，且B 一AC=0，但该点的邻域 内， 可正可负。所以，该点非极值点。 三、二次型法的推广 设函数 ，y，。)在(a，b，C)的邻域U(0，b，C) 44 内连续，有一阶、二阶连续偏导数，且厂 (n，b，C) =厂 (n，b，c)=厂 (n，b，C)=0，设A=厂” (n，b， c)，B= (n，b，c)，C= (
7、n，b，c)，D= (n，b， C)，E=厂” (n，b，C)，F=厂 (n，b，C)，则： -，若A。，IA BC I0,j 茎善l。时， (a，b，C)为极小值点； 若A。，I 差善Io，(口，b，c)点为极小值点； 若A。，l 差善l。时， 负定，则af0，(口，b，c)为极大值点。 2)若 。，则 不定， 。可正可负， (口，b，c)非极值点。 同理，我们可以用该方法讨论rt元函数的极 设函数 ， ， )在(口。，口 ，口 )的邻 域U(口。，口：，a )内连续，有一阶、二阶连续偏导 数，且， (口1，口2，口 )=O，i=1，2，n，设口 = f” (口l，口2，口 )，则 1)当
8、为正定矩阵，(口。， 口 ， )为极小值点；若它为负定矩阵，则(口。， 口：，n )为极大值点。 2)当 口l1 口12 口21 口22 口1n tt2n 定时，(口1，口2， 口 )点非极值点。 四、各种证明方法的比较 由上面的讨论可知，在各种证明方法中，二次 型方法直观简单，而且我们可以把它应用到rt元 函数的极值问题的讨论中，更具有通用性；而用抛 物线法对二元函数讨论则很容易理解，但无法讨 论rt元函数；初等函数法证明比较烦琐，不便于 阅读。 在教学中，可以主要强调一种方法，简要叙述 其他几种方法，并组织学生进行相关讨论。培养 学生独立思考问题、解决问题的能力，加强他们对 所学知识的综合
9、运用能力，从而熟练掌握多元函 数微分的相关问题。 (上接第36页) 点后，发现现有教材提供的相关参考资料较少，尤 其缺少学员自主设计性实验内容，需要有针对性 地改编或另编。 (5)开放的时间增加，教员的工作量随着增 加，而我院现无明确的工作量计算方法，教员增加 的工作量得不到承认，严重影响了教员教改的积 极性。 上述问题与不足，有的需要我们有针对性地 加以解决，有的需要学院和有关部门给予大力支 持和解决，使得教改进一步深化、完善，达到培养 新时期高素质军事人才的最终目标。 参考文献 1周岚，朱蜀梅，王伟开放式教学初探J】物理实验，2002，22 (1)：2528， 2李丹青当代高等教育应以人为本J高等工程教育研究。 2003，(1)：2932 3唐远林，朱肖平。沈志强浅谈物理实验的开放式教学J训练 与科技，2005，(5)：5O一52 45 不 、 维普资讯 http:/
