1、第八章 离散信号与系统Z域分析,8-1 离散信号Z变换,一、Z变换,Z变换,对于任意序列f(k)，有,式中,考虑当复指数信号 f(k)= zk 作用于单位序列响应为h(k)的系统时的零状态响应。,是h(k)的z变换,z变换定义,F(z)是关于z-1 的幂级数（洛朗级数）， z-k 的系数是f(k)， z的幂-k表明f(k)所在位置k。,- k 0 正幂系数构成左边序列f(k)U(-k)0 k 负幂系数构成右边序列f(k)U(k)- k 正、负幂系数构成双边序列f1(k)U(-k)+f2(k)U(k),1) 双边Z变换：,2) 单边Z变换：,f(k):原序列 F(z):象函数,对于因果序列，单边
2、z变换等于双边z变换。,二、收敛域,不同f(k)的z变换，可能对应于相同的z变换表达式，但收敛域不同故在确定z变换时，必须指明收敛域。,例1：右序列,例2：左序列,例3：,(ab),例4,讨论：,1） 收敛域取决于f(k)和z平面取值范围；2） 收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）；4）有限长序列收敛域至少为： 0 R1的圆外；6) 左边序列收敛域为| z |R2的圆内；7) 双边序列收敛域为R1 | z |R2的圆环。,三、常用信号的Z变换,1、 (k) 2、 U(k) 3、 ak U(k) 4、-ak U(-k-1) 5、ejkT U(k),1,四、拉氏变换与Z变换关系.,其中,因此S平
3、面与z平面有相应的映射关系。,1、线性特性：表现为叠加性和齐次性,则,其中：C1,C2为任意常数,8-2 Z变换基本性质,若,例：,2、z域尺度变换性：,若f(k) F(z)，,例:,则,证：,3、 移序性,（1）双边Z变换：,序列不变，移序只影响时间轴上位置。,若f(k) F(z)，则,证：,（2）单边Z变换,双边z变换移位后没有丢失原序列的信息。单边Z变换在 0的k域进行，如果移序后作单边z变换，会失去k0部分， 移序后的序列为f(k-m)U(k)（右、增）、f(k+m)U(k) （左、减），比序列f(k)U(k)长度有所增减。,若f(k)为双边序列，并且 f(k) U(k) F(z)，,
4、右移一位,右移两位,右移三位,右移m位,同理：,若f(k)为右边序列,例: 求下列序列的Z变换。,解：,4、 Z域微分性,若f(k) F(z)，则,证：,收敛于不变,5、 Z域积分性,若f(k) F(z)，则,K+m0，收敛于不变。,例: 求下列序列的Z变换。,6、 时域部分和,若f(k) F(z)， |z|，则,证：,两边取z变换：,例：,7、时域卷积定理：,例：,解：,8、Z域卷积定理 （了解）,9、初值定理,f(k)为右序列，且f(k)F(z) 即,10、终值定理,f(k)为右序列，且f(k)F(z) 则,11、折叠性,若f(k) F(z)， |z|，则,终值存在条件： F(z)收敛半径
5、小于1；F(z)含单位圆上一阶极点。（系统稳定）,证：,例1：,解：,例2：,求f(0)，f(1)，f()。,解：,例3：,解：,折叠性,移位性,8-3 逆Z变换,Z变换,方法：1.幂级数展开法2.部分分式展开法 3.围线积分法留数法,逆Z变换,拉氏变换,拉氏逆变换,方法：1、解析法2、部分分式法3、围线积分法留数法,一. 幂级数展开法,Z变换式一般是z的有理函数，可直接用长除法进行反变换 。,是一个z的幂级数，级数的系数就是序列 f(k)。,例1：,例2.,右序列：将F(z)以z的降幂排列, 然后进行长除运算。,练习：,左序列：将F(z)以z的升幂排列, 然后进行长除运算。,二、 部分分式展
6、开法,Z变换的基本形式：,部分方式求逆Z变换步骤： 1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2） F(z)/z进行部分分式展开； 3） 求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换， 求得f(k)。,例1：,解：,例2：,解：,例3：,解：,练习1：,解：,练习2：,解：,右序列,左序列,三、 围线积分法 (留数法)（了解）,1、对于右序列，在F(z)z k-1的收敛域内，选择一条包围坐标原点的逆时针方向的围线C，F(z) z k-1的全部极点都在积分路线的内部, 围线积分等于围线C内所有极点的留数之和 。,单阶极点：,r重极点：,2、对于左序列，在
7、F(z)z k-1收敛域内选围线C，极点都在C外，由留数定理：,例1：,解：,（右序列）,k=0: F(z) z k-1极点有4个：p1=0， p2=-1， p3=2， p4=3 。 各极点的留数为,3、双边序列,（右序列）,k0: F(z) z k-1极点有3个：p1=-1， p2=2， p3=3 。 各极点的留数为,例2:,解：,(1) k=0: F(z) z k-1极点有三个：p1=0， p1= p2=1。各极点的留数为,（2） k0: F(z) z k-1的极点有2个： p1= p2=1。其留数为,例3（例8-18）:,解：,F(z) z k-1 在c外极点有两个：,p1=j2， p1
8、=-j2。,各极点的留数为,8-4 离散系统Z域分析(因果系统）,一、应用Z变换求解差分方程,3）求反变换，得差分方程时域解。,1、零输入响应Z域求解：,1）对差分方程进行Z变换(用移序性质) ；（求单边变换）,2）由Z域方程求出响应；,例： 已知某线性时不变系统数学模型如下： y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=0 初始状态y(-1)=4，y(-2)=1，求零输入响应y(k)。,解：,2、零状态响应Z域求解：,对差分方程进行Z变换(用移序性质) ；,例1： 某线性时不变系统数学模型如下： y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=f(k) ， 且K0，y(k）=0，f(k)=4kU(k
9、)。求y(k)。,解：,例2：,解：,Y(z)-5z-1 Y(z)+6 z-2 Y(z)=F(z),例：,解：,已知系统框图，列出系统的差分方程； 求输入f(k)=(-2)kU(k)， y(0)=y(1)=0时，系统全响应y(k)。,3、全响应Z域求解：,由系统框图，列出系统的差分方程：,1）零状态：输入f(k)=(-2)kU(k):,初始值,2）零输入：由原方程,3）全响应：,差分方程Z变换法求全响应：,8-5 Z域系统函数H(z),一、定义：, 零状态响应象函数,即：激励为zk 时， H(z) 为系统零状态响应的加权函数。,意义：,3）系统z域数学模型，取决于系统自身结构和参数., 激励信
10、号象函数,系统单位序列响应的Z变换,二、H(z) 求法,1、h(k) H(z) 2、H(z) =H(E)|E=z,3、零状态下差分方程 H(z) 4、模拟框图、信号流图 H(z),例1 求系统函数H(z) 。已知某系统模型为： y(k)+4y(k-1)+y(k-2)-y(k-3)=5f(k)+10f(k-1)+9f(k-2),例2,解：,练习：已知系统模拟框图如右图示，写出系统函数。,三、 系统函数H(z)的应用,yx(k),3）求系统零输入响应yx(k):,(系统自然频率),2）求系统零 状态响应yf(k):,1）求系统单位冲激响应 h(k):,4）求系统差分方程:,5）求系统频率特性H(j
11、):,差分方程,条件: 系统稳定，H(z)收敛域含单位圆，即：| z|=1,6）求系统正弦稳态响应:,8）判断系统稳定性,9）系统模拟仿真,7）系统零极点分析,例1： y(k)=0.25y(k-2) +f(k-1) 求：1）模拟图；2）H(z)； 3) h(k)；4）f(k)=(0.5)kU(k)，求y(k)。,解：,例2：系统框图如下，求H(z)和h(k)。,例3: 系统框图如下。（1）求H(z)和系统差分方程 。（2）求激励f(k)=10cos(628Tk+ 30o),T=10-3 s时系统正弦稳态响应。,解：,若激励f(k)=10cos(628Tk+30o),T=10-3 s时，,628
12、T=0.628rad=36o,所以系统正弦稳态响应为,y(k)=17.25cos(628Tk + 7o),8-6 离散系统模拟,一、直接型：由H(z)直接根据梅森公式的意义模拟系统。,二、级联型：H(z)分解为多个简单因式的乘积后模拟系统。,三、并联型：H(z)分解为多个简单因式的之和后模拟系统。,四、混合型：有直接型、并联型、级联型组成。,例：,说明：1）线性系统的模拟不是唯一的；2） 实际模拟需适当调整系统的参数或部分结构。,求系统直接、级联、并联三种模拟框图。,练习：已知某系统函数为,8-7 系统函数的零、极点分析,例1：,极点：,零点：,极点决定系统的固有频率或自然频率。零、极点决定于
13、系统时域特性。,一、系统函数的零点与极点,零极点图：,例：,（2）,研究系统零极点意义：1.可预测系统的时域特性；2. 确定系统函数H(z);3.描述系统的频率特性； 4. 说明系统正弦稳态特性；5.研究系统的稳定性。,练习：H(z)的零极点分布如图示，且H(0)=4，求H(z)。,在z平面上，画出H(z)的零极点图： 极点用表示，零点用。表示。,二、零点、极点分布与系统的时域特性,单极点：,重极点：,po为r重极点，其余为单极点，则有,极点对h(k)的影响,退出,（2）,结论：,1) h(k)随时间变化的规律取决于H(z)的极点分布位于单位圆内极点对应： 暂 态 分 量位于单位圆外极点对应：
14、 不稳定分量位于单位圆的单极点对应： 有界稳态分量位于单位圆的重极点对应： 不稳定分量 2) h(k)幅值大小、相位等取决于H(z)的零点、极点 3) 稳定工作系统应满足：,所以，系统稳定的条件： H(z)极点全部位于z平面单位圆内。,三、零点与极点分布与系统的频域特性,（条件：H(z)收敛域应含单位圆）,例：,解：,y(k)=cos(/2)k-8.1,例：系统单位响应h(k)=0.5kU(k)+U(k-1)。求H(z)、差分方程、模拟框图以及f(k)=cos(/2)k+45时的正弦稳态响应。,解：,8-8 系统的稳定性分析,一、定义,若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的
15、。即：,二、稳定性准则（充要条件）,可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是系统自身性质之一。系统是否稳定与激励信号无关。,其中：Mf ， My为有限正数,其中：M为有限正数,即：系统的单位序列响应绝对可和，则系统稳定。,三、稳定性判断,1、极点判断：,（1） H(z)极点全部位于z平面单位圆内： 系统稳定 （2）含有单位圆单极点，其余位于单位圆内：系统临界稳定 （3）含有单位圆外或单位圆上重极点： 系统不稳定,由系统极点判断,例1：,例2:,A为实数，A满足什么条件，系统稳定？,稳定条件：-3/4 A 3/4,(系统稳定),2、朱里（Jury）判断法：,(1) H(z)为有理分式，找出
16、D(z)；(2) 判断D(1)0, (-1)nD(-1)0；(3) 排列Jury阵列 (排2n-3行)；(4) 由Jury准则判断D(z)=0根分布；(5) 判断系统的稳定性。,Jury准则：Jury阵列奇数行 首列元素大于该行末项元素绝对值时，D(z)=0的根全位于单位圆内。对于一阶系统，若D(1)0, (-1)nD(-1)0，则D(z)=0的根全位于单位圆内。二阶以上系统必须由（1）、（2）、（3）判定稳定性。,4 -4 0 2 -1-1 2 0 -4 415 -14 0 44 0 -14 15-210 56,解：,由Jury准则，可判断D(z)=0根，即系统函数的极点分布在z平面单位圆内
17、，故所给系统为稳定系统。,例1：已知H(z)如下，判断该系统稳定与否？,练习：,判断其根是否在z平面单位圆内？,例2：,3/4 A,A - 3/4,稳定条件： A 1,稳定条件：-3/4 A 3/4,本 章 要 点,1、Z变换：定义、存在条件、收敛域、单边Z变换基本性质、常用信号Z变换； 2、Z反变换：部分分式展开法、留数法； 3、离散系统z域分析与离散系统系统函数H(z)：定义、物理意义、分类、零极点图、H(z)求法； 4、H(z) 与离散系统时域特性、频域特性的关系、正弦稳态响应求解； 5、系统函数H(z)与系统稳定性的关系：稳定性定义、稳定的充要条件、稳定性的判断方法； 6、系统模拟框图、信号流图与H(z)关系：利用梅森公式求H(z)、由H(z)进行系统模拟。,
