1、1第七章 定积分的应用一、本章提要1. 基本概念微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数 2 基本公式平面曲线弧微元分式 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积，(2) 求平行截面面积已知的立体的体积，(3) 求曲线的弧长，(4) 求变力所作的功，(5) 求液体的侧压力，(6) 求转动惯量，(7) 求连续函数 f(x)在 区间上的平均值，ba,(8) 求平面薄片的质心，也称重心 二、要点解析问题 1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量 必须满足条件：Q（1
2、） 与变量 x 和 x 的变化区间 以及定义在该区间上某一函数 f(x)有关；（2）Qba,在 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方ba,法中概括出来的，具体步骤如下：（1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如 ） ，并确定积分变量的变化区间 ；xba,（2）取近似找微分：在 内任取一代表性区间 ，当 很小时运用“以ba, xd,直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式 （ 为量 在小=()QfQ区间 上所分布的部分量的近似值） ；xd,2（3）对微元进行积分得 =d()bbaaQfx下面举例说明例 1 用定积
3、分求半径为 R 的圆的面积解一 选取如图所示的坐标系，取 为积分变量，其变化区间为 ，分割区间xR,成若干个小区间，其代表性小区间 所对应的面积微元 R,d,，xxRxAd2)(d 222 于是= Rdd22R解二 选取如图所示的坐标系， ORdr取 为积分变量，其变化区间为 分割区间 成若干个小区间，其代表性小区2,02,0间 所对应的面积微元 ，于是 d,d1RA222020 R解三 选取 r 为积分变量， 其变化区间为 ，如图，分割 成若干个小区间，,0Oy xR-R3其代表性小区间 所对应的面积微元 ，于是 rd,rAd22002RrARRrOrrd问题 2 如何理解连续函数 f(x)
4、 在闭区间 上的平均值 是有ba, baxfud)(1限个数的算术平均值的推广 解析 首先，我们知道几个数 的算术平均值为 yn12,，ynkn()/121对于函数 ，我们把区间 n 等分，设分点为 a = 区)(xfba, xxbn0间的长度 ，各分点 所对应的函数值为 ，1,2)ibainix12(),f,()nf其算术平均值 可近似地表达函数 在 上取得一切值的平均值显然，iixf1()(fba,越大，分点越多，这个平均值就越接近函数 在 上取得一切值的平均值 因此，n xf,称极限 limn1fxii()为函数 在闭区间 上的平均值，记为 )(xfba, bay,下面用定积分表示函数
5、在 上的平均值 在定积分定义中，若取 )(xf,， ，则iixni， niiniiiba abxfxfxf 110 )(lm)(ld)(4这里 12max,nbax因此nabxfabxfnniiii 11 )(lm)(l1li()nif，baxfd)(即 bafy,在生产实践和科学研究中，有许多连续量的平均值需要计算，如平均电流强度、平均电压、平均功率等等 例 2 求从 0 到 T 这段时间内自由落体运动的平均速度 解 因为自由落体运动的速度 ，所以gtv200111dTTttg三、例题精解例 3 求纯电阻电路中正弦电流 在一个周期上的平均功率（其中tItimsin)(及 均为常数） mI解
6、设电阻为 （ 为常数） ，则电路中的电压R，tRIiumsin而功率 ，2)i(tip因此 p 在 上的平均功率（功率的平均值）20,2 2220 011cossinddmmRItRtI 5，2 20 1(1cos)d( ()4mmmmIRtIRIUIR这说明纯电阻电路中正弦电流的平均功率等于电流、电压的峰值之积的一半 对一般的周期为 T 的交变电流 ，它在 R 上消耗的功率为 ，)(ti titup)()(2在 上的平均功率为 T,0pT02d通常交流电器上标明的功率就是平均功率 例 4 当交变电流 在其一个周期内在负载电阻 R 上消耗的平均功率等于取固定值)(ti电流 I 的直流电在 R
7、上消耗的功率时，称 I 为 的有效值，即电流 的有效值为 I ，试)(ti )(ti求 的有效值 )(ti解 固定值为 I 的电流在电阻 R 上消耗的功率为 2IR对于交变电流 在其一个周期内在负载电阻 R 上消耗的平均功率为)(ti，TTtitip0202d)(d)(1于是 ，tiRI2得 TtiI02d)(1为交变电流 的有效值 )(ti通常在交流电的电器上所标明的电流即为交变电流的有效值 一般地，把 称为连续函数 在 上的均方根因此，周期batfd)(12 )(xfba,性电流 的有效值就是它的一个周期上的均方根 )(ti例 5 由力学知道，位于平面上点 处的质量为 的几个质点所),(i
8、yx),21(nim构成的质点系的质心（也叫质点系的重心）坐标 计算公式为 ,6，mMxy，y其中 (质点系中全部质点的质量之和 )， （质点系中，各质点关于niim1 niiyxmM1y 轴的静力矩 mixi 之和 ，称其为质点系对 y 轴的静力矩） ， （质点xiin1 niixy1系对 轴的静力矩） 由此可见，质点系 mi（ ）的质心坐标（ ）满足：质量为 ，n2, xy,miin1坐标为（ ）的质点 M 关于 y 轴和 x 轴的静力矩分别与质点系关于 y 轴和 x 轴的静力xy,矩相等 按上述关于质点系之质心的概念，用定积分的微元法讨论均匀薄片的质心 解 设均匀薄片由曲线 ，直线 x=
9、a， x=b 及 x 轴所围成，其面密)(xfy0度 为常数，其质心坐标（ ） x,Oy xaxxdb)(xfy为研究该薄片的质心，首先要将该薄片分成若干个小部分，每一小部分近似看成一个质点，于是该薄片就可近似看成质点系具体做法如下：将 区间分成若干个小区间，代表性小区间 所对应的窄长条薄片的质量ba, xd,微元 ，fxym)(d由于 很小，这小窄条的质量可近似看作均匀分布在窄条的左面一条边上，由于质量是均dx7匀分布的，故该窄条薄片又可看作质量集中在点 处且质量为 的质点，所以)(21,xfdm这窄条薄片关于 x 轴及 y 轴的静力矩微元 与 分别为 xMdy，xffx d)(21)(21
10、，xfydd把它们分别在 上作定积分，便得到静力矩ba,，xfMbaxd)(2，yf又因为均匀薄片的总质量，babaxfmd)(d所以该薄片的质心坐标为，bayxfMxd)(21()dbaxfymx上面关于质心（ ）的计算公式适用于求均匀薄片的质心，有关非均匀薄片质心的x,计算将在二重积分应用中予以介绍 例 6 求密度均匀，半径为 的半圆形薄片的质心 R解 如图所示建立坐标系，O xyRR8上半圆周方程 ，由对称性知，质心在 轴上，即 ，利用例 5 中2xRyy0x的质心计算公式得322011()()d42 ,RRxy故所求质心为 4(0,)3四 练习题 判断正误(1) 由 轴， 轴及 所围平
11、面图形的面积为定积分 ； xy2)1(x xd)1(02（ ）解析 轴、y 轴及 所围成的曲边三角形位于 轴的上方，由定积分的几x2)1(xx何意义可知，其面积正是 d0（2）闭区间 上的连续函数 在该区间上的平均值为 ； ba, )(xf fxba()（ ） 解析 由定积分中值定理可知，闭区间 上的连续函数 在该区间上的平均值,ba)(xf为 1()dbafx（3）由曲边梯形 D： ，0 绕 x 轴旋转一周所产生的旋转体的axby)(f体积 ； （ ）2()dbaVfx解析 如图，对任意的 ，旋转体的截面积 = 由平行截面物体,ba)(xA2fy x 1 2)1(xyO 9的体积得 = =
12、V()dbaAx2()dbafx（4）若变量 y 关于 x 的变化率为 ，则 （ ）23x3xy解析 关于 的变化率为 ，则 ，积分得2d= = y23x3C2填空题(1) 设一平面曲线方程为 ，其中 在 上具有一阶连续导数，则此)(xfy)(xfba,曲线对应于 到 的弧长 L= ；若曲线的参数方程为axb21dba（ ） ， 在 上有连续导数，则此曲线弧长 L= (),tyt)(,tyx,； 22()dxty(2) 设一平面图形由 所围成 ，其中bxagyxf ,)(),( )(xfg， 在 上连续，则该平面图形的面积 S= ；)(xfgba, )daf解 如图，因为 ， 取 为积分变量，
13、于是得 ，故平面图形)(xfgd()dAgxf的面积 = A()bagxfy x 0 A(x) f(x) y x O g(x) f(x) a b x+dx x 10(3) 周期为 的矩形脉冲电流T,0(),(0)atcit aT的有效值为 ； Tca解 一般地，把 称为连续函数 在 上的均方根周期性电21()dbaft)(xf,ba流 的有效值就是它的一个周期上的均方根，)(ti则 = + = ，20()dTit20catdTcta2所以此脉冲电流的有效值 = = = I201()Titc2T(4) 若某产品的总产量的变化率为 ，那么 从 到 这段时间内2)(ttft4081t的总产量为 32
14、7解 设总产量为 ， 则 = ，)(tQ)(tf210t积分得 = = = 824(10)dt8432)5(t73. 解答题（1）抛物线 把图形 分成两部分，求这两部分面积之比；xy282y解 曲线围成的区域如图中阴影部分联立方程 或 得到两条曲线相交的交点为 2,8yx2,xy,2xyy x O 1s211O y x ex（2，2） ， （2， ） 从而 =2 =2( )，2S20(8)dy 22008dy其中 =20dysint40cos(in)tt2408cosdt= = =2+ ，40(1cs2)dt40si2t= = ，20dy2036所以 =2（2+ ）=2 + ，2S43而 +
15、= =8 ，122()于是 = ，S4836所以，两部分面积比为 ： =（9 -2）：（3 +2） 12（2）计算 与直线 之间位于第一象限内的平面图形绕 x 轴旋转一周所得exy0的旋转体的体积； 解 如图，当 时， = ，我们可以把未封闭的区域看作当 时的闭区域，xye0x 则其绕 轴旋转一周的体积= = = = ，V20()dfx20edx20x所以，所得旋转体体积为 12（3）一密度均匀的薄片，其边界由抛物线 与直线 围成，求此薄片的质axy2a心坐标；解 如图，由对称性知，质心在 轴上，即 =0，利用质心计算公式，有xy= = = ，x2()daay352a所以，薄片的质心坐标为(
16、，0) 53（4）半径为 m 的半球形水池灌满了水，要把池内的水全部抽出需作多少功； r解 如图，设水池的上边缘为 轴，原点在半球形水池的圆心位置， 轴竖直向下球面方程为 y x= ，则水深 处所对应的截面半径为 ，截面面积y2xrx2r将 到 这层水抽出需克服的重力为 ()Sd= = = ，GgV()Sx2()dgrx因为 = =W20()dr 201r= = ( )，21()4rgx4gJy x O x+dx -r r x yO xa213y x O x x+dx -3 3 3 所以，把水全部抽出需做功 ( )41grJ（5）一直径为 6m 的半圆形闸门，铅直地浸入水内，其直径恰位于水表面
17、（水的密度为 103 kg/m3 ） ，求闸门一侧受到水的压力；解 如图，设水面为 轴，原点在圆心位置， 轴竖直向下半圆形闸门的方程为 y 92yx，则 到 这层闸门的截面面积 =2 ，所受到的压强 = ，压力xdd()S29dxPg= = ，闸门所受到的压力 F()PS29gx= =F320dx32209d()gx= = ( )，302)9(3g41.8N所以，闸门的一侧受到水的压力为 ( )4.（6）某石油公司经营的一块油田的边际收入和边际成本分别为，)/(31)(,)/()(31 年百 万 元年百 万 元 ttCtqtR求该油田的最佳经营时间，以及在经营终止时获得的总利润（已知固定成本为
18、 4 百万元，为实数） ； 解 由最大利润原理，令 ，则 ，得 = ，)(ttR 3131ttqt6)1(3q总利润 = =L3(1)640()d4qtCt311(1)360)d4qtt= =31(1)3640)qt 34(1)60()qt140 2a = （百万元） ，4256)1(q所以，油田的最佳经营时间为 年，经营终止时获得的总利润为 64)1(3q百万元4256)1(q（7）有一弹簧，用 5N 的力可以把它拉长 0. 01m，求把它拉长 0. 1m，力所作的功； 解 已知 ， ，kxF5)01.(所以 ， 即 ， ,01.5xF0所以 = =250 =2.5( )W.dx1.02J所
19、以，力所做的功为 2.5( )J（8）求心形线 （a 为常数）的全长 cos1(r解一 将极坐标转换为直角坐标，有 cos(1cs)o,ininxray于是 = ，d(sin)co(1cs)(dxaa(2)d= ， ioycosa弧长微元 =s2()dxy= 22ins)(cos)daa= 21(i= = = ，cos)d21cs2cosa所以，心形线的全长 = = = =8 02a08od08in解二 将极坐标转换为直角坐标，有 cs(1cs)o,inixray15则 ddcosind,isxrry弧长微元 = =s2()x2 2(cs)(icosd)rr= = ，2d)r2d心形线的全长= =2 = =8 ，s2202(sin)(1cos)a 0cosd2a08sina所以，心形线的全长为 8
