1、刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 1 页 共 13 页解直角三角形的应用：1、 解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系： ；22cba角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰（12天津） 如图，甲楼 AB 的高度为 123m，自甲楼楼顶 A 处，测得乙楼顶端 C 处的仰角为 45，测得乙楼底部 D 处的俯角为 30，求乙楼 CD 的高度（结果精确到 0.1m， 取31.73
2、） 例 2：如图，从山顶 A 处看到地面 C 点的俯角为 60，看到地面 D 点的俯角为 45，测得 CD=米，求山高 AB。 （精确到 0.1 米， 1.732）31503刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 2 页 共 13 页(2)坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫做坡度(坡比)。用字母 表示，即 。坡度hl ihil一般写成 的形式，如 等。1:m1:5i把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么 。tanhil:ihll例 1：.某水库大坝横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 CD3 米，斜坡 AD16 米，坝高 8 米，斜坡 BC 的坡度 13，求斜坡 AB 的坡
3、角和坝底宽 AB。i例 4图 FED CBA例 2：.如图某人在 D 处测得山顶 C 的仰角为 30o，向前走 200 米来到山脚 A 处，测得山坡 AC 的坡度为 i=10.5，求山的高度（不计测角仪的高度， 31.7 ，结果保留整数） 练习：如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶宽 BC 为 6m，坝高为 3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高 2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡 CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的 i1：2 变成 i1：2.5，（有关数据在图上已注明） 求加高后的坝底 HD 的长为多少？刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 3 页
4、 共 13 页中考真题、 （2013广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长 400 米，高 8 米，背水坡的坡角为 45的防洪大堤（横截面为梯形 ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后，背水坡 EF 的坡比 i=1：2（1）求加固后坝底增加的宽度 AF 的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图4,OA
5、、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向） ， 南偏东 45（东南方向） ，南偏西 60（西南方向） ， 北偏西 60（西北方向） 。例 2、某轮船自西向东航行，在 A 处测得某岛 C 在其北偏东 60方向上，前进 8 千米到达 B，测得该岛在轮船的北偏东 30方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 4 页 共 13 页练： (2013遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船
6、A、B，B 船在 A 船的正东方向，且两船保持 20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东 15方向有一我国渔政执法船 C，求此时船 C 与船 B 的距离是多少 （结果保留根号）例 2、(2009 中山)如图所示，A、B 两城市相距 100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段 AB） ，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30和 B 城市的北偏西 45的方向上. 已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（ ， ）732141.练：（2009眉山中考）
7、海船以 5 海里/小时的速度向正东方向行驶，在 A 处看见灯塔 B 在海船的北偏东 60方向， 2 小时后船行驶到 C 处，发现此时灯塔 B 在海船的北偏西 45 方向，求此时灯塔 B 到C 处的距离。30A BFEP45刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 5 页 共 13 页例 3、 （2013 自贡）在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1km 的码头 MN（如图） ，在码头西端 M 的正西19.5km 处有一观察站 A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西 30，且与 A 相距40km 的 B 处；经过 1 小时 20 分钟，又测得该轮船位于 A 的北偏
8、东 60，且与 A 相距 km 的 C处（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果） ；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理由基 本 测 量 问 题 ：1、 直 接 测 试 法 ：（10郴州）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪 AB 的高度为 1.5米，测得仰角 为 30，点 B 到电灯杆底端 N 的距离 BN 为 10 米，求路灯的高度 MN 是多少米？（取 2=1.414， =1.732，结果保留两位小数）练、 （2014 长春）如图，为测量某建筑物的高度 AB，在离该建筑物底部 24 米的点 C 处，目测建筑物顶端 A
9、 处，视线与水平线夹角 ADE 为 39，且高 CD 为 1.5 米，求建筑物的高度 AB （结果精确到 0.1米） （参考数据：sin39=0.63，cos39=0.78，tan39=0.81）刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 6 页 共 13 页2、 “和”型测量问题：1、 （2014 山东日照）如图某天上午 9 时,向阳号轮船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于轮船的北偏西 67.5，轮船以 21 海里/时的速度向正北方向行驶，下午 2 时该船到达 B 处，这时观测到城市 P 位于该船的南偏西 36.9方向，求此时轮船所处位置 B 与城市 P 的距离？（参考
10、数据：sin36.9 ，tan36.9 ，sin67.5 ，tan67.5 ）354123152、 (2014 年湖北荆门)钓鱼岛自古以来就是中国的领土如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的 A 处和正东方向的 B 处，这时两船同时接到立即赶往 C 处海域巡查的任务，并测得 C 处位于 A 处北偏东 59方向、位于 B 处北偏西 44方向若甲、乙两船分别沿 AC，BC 方向航行，其平均速度分别是 20 海里/ 小时，18 海里/小时，试估算哪艘船先赶到 C 处（参考数据：cos590.52，sin460.72）3、 （2013 兰州）如
11、图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是 1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端 M 在同一条直线上，测得旗杆顶端 M 仰角为 45；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端 M 的仰角为 30两人相距 28 米且位于旗杆两侧（点 B、N、D 在同一条直线上） 求出旗杆 MN 的高度 （参考数据： ， ，结果保留整数 ）（第 22 题图）APCB36.967.5刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 7 页 共 13 页4、 （2013 益阳）如图，益阳
12、市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道 AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥 PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0 米，PAB=38.5，PBA=26.5请帮助小张求出小桥 PD 的长并确定小桥在小道上的位置 （以 A，B 为参照点，结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin38.5=0.62，cos38.5=0.78，tan38.5=0.80，sin26.5=0.45，cos26.5=0.89，tan26.5=0.50）3、 “差”型问题汇总1、（10天津）永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之 一某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度如图，他们在 C 处测得摩天轮的最高
13、点 A 的仰角为 ，再往摩天轮的方向前进 50 m 至 D45处，测得最高点 A 的仰角为 60求该兴趣小组测得的摩天轮的高度 AB （ ，结果保留整数） 31.722、 （2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由 45 降为30，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、B 、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 (参考数据： )21.4,3.72,.49AB CD 4560第（23）题刘老师数学工作室
14、：89945880，欢迎大家相互交流学习第 8 页 共 13 页3、 、 （2013 泰州）如图，为了测量山顶铁塔 AE 的高，小明在 27m 高的楼 CD 底部 D 测得塔顶 A 的仰角为 45，在楼顶 C 测得塔顶 A 的仰角 3652已知山高 BE 为 56m，楼的底部 D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高 AE （参考数据： sin36520.60，tan36520.75）4.（12陕西）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭 处测得湖心岛上的迎宾槐 处位于北偏东 方向，然后，他从凉亭 处沿湖岸向正AC65A东方向走了 100 米到 处
15、，测得湖心岛上的迎宾槐 处位B 于北偏东 方向（点 在同一水平面上） 请你利45、 、 用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐 处与湖岸上 的凉亭 处之间的距离（结果精确到 1 米） （参考数据： sin250.46cos250.963tan250.463sin50.963， ， ，）cos650.42tan652.4，4、相似在解三角形中的应用：例题：如图，墙壁 D 处有一盏灯，小明站在 A 处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，小明向墙壁走 1m 到 B 处发现影子刚好落在 A 点，则灯泡与地面的距离CD=_m刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 9 页 共 13
16、 页中考真题（13陕西）20、 （本题满分 8 分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度.如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立时升高 AM 与其影子长 AE 正好相等；接着李明沿 AC 方向继续向前走，走到点 B 处时，当 AB=1.25m 时，李明直立时的升高 1.75m，求路灯的高 CD 的长。 （结果精确到 0.1m）中考真题（2011陕西）20 （本题满分 8 分）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：、先测
17、出沙坑坑沿的圆周长 34.54 米；、甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于 B 时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点 A 看到坑底 S（甲同学的视线起点 C 与点 A,点 S 三点共线） ，经测量：AB=1.2 米， BC=1.6 米根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高） ， （ 取 3.14，结果精确到 0.1 米）20EBNMDCA刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 10 页 共 13 页5、非直接处理问题型：1、 （2013 钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D的仰
18、角为 60沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，已知山坡 AB 的坡度 i=1：，AB=10 米， AE=15 米 （i=1： 是指坡面的铅直高度 BH 与水平宽度 AH 的比）（1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH；（2）求广告牌 CD 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米参考数据： 1.414， 1.732）2、 （2013 内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C处，测得树顶端 D 的仰角为 6
19、0已知 A 点的高度 AB 为 3 米，台阶 AC 的坡度为 1： （即刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 11 页 共 13 页AB：BC=1： ） ，且 B、C、E 三点在同一条直线上请根据以上条件求出树 DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计） 六：影子问题怎么处理（1）影子完全在地面上例 1： （2007 广西南宁课改，10 分）如图所示，点 表示广场上的一盏照明灯P（1）请你在图中画出小敏在照明灯 照射下的影子（用线段表示） ；（2）若小丽到灯柱 的距离为 4.5 米，照明灯 到灯柱的距离为 1.5 米，小丽目测照明灯 的仰角MO P为 ，她的目高 为 1.6 米
20、，试求照明灯 到地面的距离（结果精确到 0.1 米） 5QB（参考数据： ， ， ）tan51.428sin50.819cos50.74（2）影子不全在地面上第一类(90 o):小明想利用太阳光测量楼高他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，小敏 小丽4.5米AM P5灯柱刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 12 页 共 13 页针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙E上的影子重叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度CD1.2m，CE0.8m，CA
21、30m（点 在同一直线上） AC、 、已知小明的身高 是 1.7m，请你帮小明求出楼高 （结果精确到 0.1m） EFB2、数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高课外活动时他们在阳光下测得一根长为 1 米的竹竿的影子是 0.9 米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端 C处同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为 1.1 米，台阶总的高度为 1.0 米，台阶水平总宽度为 1.6 米（每级台阶的宽度相同） 请你和他们一起算一下，树高为多少？（假设两次测量时太阳光线是平行的）第二类(非 90o)：小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成 30角，且此时测得 1 米杆的影长为 2 米，则电线杆的高度为多少？ABCDFE（第 20 题图）刘老师数学工作室：89945880，欢迎大家相互交流学习第 13 页 共 13 页西安数学老师交流群 3179-660-81，欢迎大家的加入
