1、椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四 边形问题1向量的数量积问题记点 是 轴上的一点， 是直线 ： （ 不经过椭圆,0Ptx12,AxyB、 lykxml的顶点）和椭圆 的两个交点，则 计算过程可分为以下三步：210yabPAI写出向量的坐标（末 初） ，并将 表示成 的形式P12,fx121,PABxtytxtkmtk2 2kkmII联立直线 和椭圆，得出 ， ；l 12,xf12,xfk联立 ，得 ，220ykxbab2 220akbmaxb则 ， ，212kmx221xakbIII将 ， 代入 式中，得到 ，将 转化为含 的式子121 ,
2、PABgkmPAB,km PAB2222abakkttb22221mkmttakba其中 I、II 两步可以互换顺序同理，若点 ，则 0,Pt22221bkmtbAPBtaa特殊情况：当 为原点 时，O222mkb基础练习：请按照以下条件作答1已知斜率为 的直线 经过点 与椭圆 交于 两点，kl1,021xyAB、（1）若点 为原点，请写出 关于斜率 的关系式；OOABk（2）已知点 ，请写出 关于斜率 的关系式；2,0PP2若斜率为 的直线 经过点 与椭圆 交于 两点（注意 ） ，kl0,2213xyAB、 0（1）若点 为原点，请写出 关于斜率 的关系式；OOABk（2）若点 ，请写出 关
3、于斜率 的关系式；1,0PP（3）若点 ，请写出 关于斜率 的关系式；2,k1.1 求向量数量积的问题（给出点 的坐标）P例 1：已知椭圆 ： ，直线 经过 的右焦点 与椭圆交于 两点，点C2143xylCFAB、3,0P（1）写出 关于直线 的斜率 的关系式；（ ）ABlk271543kPAB（2）若 ，求直线 的方程；（ ）271yx（3）若 ，求 的值；（ ， ） OPAB2k29（4）求 的取值范围；（ ）PAB 7,54（5）若 ，求 的取值范围；（ ， ）247 21k 52,47PAB（6）记 分别为椭圆 的左右顶点，DE、 C若 ，求直线 的方程；（ ）90ABlyx求 的取值
4、范围 （ ） 21,6ADEB练习 1.11已知椭圆 的离心率 ，若直线 ： 与椭圆恒有两个不同的交214xy32el2ykx点 且 ，求 的取值范围AB、 Ok2已知椭圆 的左焦点为 ，设 分别为椭圆的左右顶点，过点 且斜率为213xyFAB、 F的直线与椭圆交于 两点.，若 ，求 的值kCD、 8CDk1.2 动点分析问题（直线 过椭圆顶点的问题）l以 经过椭圆 的左顶点 为例l 210xyab,0Aa设 ： 且 过点 与椭圆交于点 ，yklA2,Bxy联立 ，得 ，220xabb2420akbkab ，得 ， ，4212ka23x22ky即点 322,bbBk动点分析问题的过程如下：I分
5、析问题中涉及的动点；II按难易程度，通过联立的方法用直线斜率 表示出问题中所涉及的动点坐标；kIII按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率 表示出来；kIV将向量的数量积运用含 的式子表示出来k例 2：如图，椭圆 ： ，记 为椭圆的左右顶点，点 为椭圆的上顶点，直E214xyAB、 C线 经过点 与椭圆交于另一点 ，并与 轴交于点 ，直线 与 相交于lCDxPABD点 当点 异于点 时QP（1）记 为直线 的斜率，用 表示点 的坐标；klkP、（ ）221814,0,D、（2）用 表示出 的斜率；（ ）kBl 2BDk（3）用 表示出点 的坐标；（ ）Q4,1（4）用 表示出 、 的坐
6、标，并求 （ ， ， kOPOPQ1,0k4,21OQk）4练习 1.2：1已知椭圆 : ，若 为椭圆 的右焦点，经过椭圆的上顶点 的直线 与椭圆C21xyFCBl另一个交点为 ，且满足A=2B（1）用直线 的斜率 表示点 的坐标；lk（2）用含 的式子表示 的坐标，同时表示出 的坐标；BF（3）用含 的式子表示 ，构建方程 ；F2fk（4）解出 的值，写出直线 的方程. kl2已知椭圆 若 分别是椭圆长轴的左右端点，动点 满足 ，连21xyCD、 MDC接 交椭圆于点 ，证明： 为定值CMPOMP（1）记直线 的斜率为 ，用含 的式子表示出点 的坐标；lk（2）用含 的式子表示出点 的坐标；
7、k（3）用含 的式子分别表示出 、 的坐标；OP（4）证明 为定值OMP3已知椭圆 ，点 ，设直线 过点 与椭圆交于另一点 ，点 在214xy2,0AlAB0(,)Qy线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值AB4QB0y（1）设直线 的斜率为 ，用含 的式子表示点 的坐标；lk（2）用含 的式子表示出 的中点坐标，并写出 的中垂线方程；kAA（3）用含 的式子表示出点 的坐标；（4）用含 的式子分别表示出 ， ；kQB（5）运用 ，求直线 的方程，并求出点 的坐标4QABfklQ2数量积问题的延伸垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题记点 是 轴上的一点，
8、 是直线 ： 和椭圆,0Ptx12,AxyB、 lykxm的两个交点，由之前的讨论可知，21xyab，22221mabkmtaPABt b若 ，则 0PAB例 3：如图，记 为椭圆 的上顶点，210xyab为椭圆的两焦点， 分别为 的中点，12F、 12B、 12OF、是面积为 的直角三角形AB 4（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）过点 作直线 与椭圆相交于 两点，若 ，求直线 的方程1lPQ、 2PBQl练习 2.11已知椭圆 ： ， 分别为椭圆的左、右焦点，若过点 的直线 与椭圆C21xy2F、 2Fl相交于 两点，且 ，求直线 的方程 PQ、 1PQl2已知椭圆 ： ，短轴上、下顶点
9、分别为 ，若 是椭圆 上关于G21xyAB、 CD、 G轴对称的两个不同点，直线 与 轴交于点 ，判断以线段 为直径的圆是否过yBCxM点 ，并说明理由A3如图，已知椭圆 ，设点 分别是椭圆和圆214xyPQ、上位于 轴两侧的动点，若直线 与 轴平行，直线Oyx与 轴的交点记为 ，试证明 为直角.APB、 MN、 N2.2 角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系若 ，则 ，即90APBcos0APBcos0PBAPB点 在以 为直径的圆外若 ，则 ，即90APBcos0APBcos0PBAPB点 在以 为直径的圆上若 ，则 ，即cscs点 在以 为直径的圆内PAB2.2.1
10、 角度判断例 4：记 分别是椭圆 的左、右焦点，设过定点 的直线 与椭圆交12F、214xy0,2Ml于同的两点 ，且 为锐角，求直线 的斜率 的取值范围AB、 Olk练习 2.2.11已知点 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点，设过点 ，斜率为 的直线 交F2143xyOFkl椭圆于 两点，若 ，求 的取值范围AB、 22ABk2设 分别为椭圆 的左、右顶点，设 为直线 上不同于点 的任AB、214xyP4x4,0意一点，若直线 与椭圆相交于异于 的点 ，证明： 为钝角三角形PAMB2.2.2 点与圆的位置关系问题例 5：已知椭圆 ： ，设直线 交椭圆 于 两点，判断点E214xy+=()1,x
11、myR-EAB、与以线段 为直径的圆的位置关系，并说明理由9(,0)G-AB练习 2.2.21已知椭圆 ，直线 经过椭圆右焦点 与椭圆相交于 两点，试判断点213xylFAB、与以 为直径的圆的位置关系(,0)MAB2已知椭圆 ： ， 为 的左右顶点，直线 经过点C214xyAB、 Cl且 轴，点 是 上异于 的任意一点，直线 交BlP、 AP直线 于点 Q（1）记 分别为直线 的斜率，证明 为定值；12k、 OB、 12k（2）当点 运动时，判断点 与以 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论PP3向量线性运算问题向量的共线问题有很多种出题的模式，在这里我们只讲解最简单的一种模型椭圆内的平行四
12、边形问题记点 是直线 ： 与椭圆 的两交点，12,AxyB、 lykxm210xyab点 在椭圆上，且四边形 为平行四边形，如下图3,POAPBy xQOPBA联立 ，得 ，221ykxmba22221akbxkmab ， ，122kb 2122yk再由平行四边形的性质可得 ，OPAB ， ，则点 ,312x312y22,kmab将点 代入椭圆中可得 ，P24422211kabak即 ，得 2mk22b在椭圆方程已知的情况下（1）当直线 过定点，或直线斜率确定，我们可以求出直线的方程；l（2）若直线 不过定点，也未知直线斜率，我们可以得到 的关系，结合 ，我们,km0可以求出 、 、点 到直线
13、 的距离 ， 或平行四边形 的面积等OPABldAOB APB几何量的取值范围（3）若点 在以 为邻边的平行四边形的对角线上，则 ，可以得出POAB、 OPAB， ，进而得到 ，这也是一个很有用的结312xx312yy224makb论例 6：已知椭圆 C： ，直线 经过点 交椭圆于 两点，以 为213xyl0,1PAB、 OBA、邻边做平行四边形 ，其中顶点 在椭圆上， 为坐标原点OAPBO（1）验证当直线 斜率 不存在时，是否存在这样的点 ；lk（2）记直线 的斜率为 ，用含 的式子表示 ， ；12x12y（3）由 ，将点 的坐标用含 的式子表示；ABPk（4）将点 代入椭圆方程，得到方程
14、；1f（5）解方程，求出直线方程练习 3：1已知椭圆 ： ，点 为椭圆的右焦点，则椭圆上是否存在点 ，使得当 绕C213xyFPl点 转动到某一位置时，四边形 为平行四边形？若存在，求出点 的坐标和直FOAPB线方程；反之，请说明理由2已知椭圆 ： ，直线 过点 与椭圆相交于 两点， 为椭圆上一C21xyl2,0MAB、 P点，且满足 ，当 时，求实数 的取值范围OABtP53ABt3如图，已知椭圆 ： ，斜率为 的直线 经过椭圆的左焦点 与椭圆交于E214xyklF两点，直线 ： 与椭圆 交于 两点，点 是线段 的中点AB、 l0kECD、 MAB（1）证明：点 在直线 上；（运用点差法即可证明）M（2）已知 ；3BDACS（i）证明： ；（ii）证明四边形 是平行四边形；O（iii ）求直线 的方程l
