1、张量分析及其应用第一章 张量代数第二章 张量分析第三章 张量应用1.1 指标记法1.1.1 求和约定、哑指标第一章 张量代数=+=n1kkkn1jjjn1iii2211xaxaxaxaxaxaSnnL显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein 求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑标。于是kkorjjoriixaxaxaS =iiixba是违约的，求和时要保留求和号=n1iiiixban 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3 。例题332211iixaxaxaxa +=
2、332211jjbbbb +=332211mmeeee cccc +=双重求和=31i31jjiijxxaS简写成jiijxxaS =展开式（9项）313321321131322322221221311321121111xxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaS+=kkxxxaxxxaSjiijk31i31j31kjiijk=三重求和（27项）jijixax =1.1.2 自由指标例如指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1, 3, , n，与哑标一样，无特别说明总取n=3 。于是，上式表示3个方程的缩写：3132121111xaxaxax
3、+=3232221212xaxaxax +=3332321313xaxaxax +=jijiee A=3132121111eeee AAA +=i 为自由指标， j 为哑标表示3232221212eeee AAA +=3332321313eeee AAA +=jijiee A=3132121111eeee AAA +=i 为自由指标， j 为哑标表示3232221212eeee AAA +=3332321313eeee AAA +=jkikijBAC =1313121211111k1k11BABABABAC +=i ，j 为自由指标，k 为哑标表示9个方程：2313221221112k1k12
4、BABABABAC +=3313321231113k1k13BABABABAC +=1323122211211k2k21BABABABAC +=3333323231313k3k33BABABABAC +=例外：111ECR =222ECR =333ECR =iiiiiECECR =出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线以示区别，或用文字说明（如i 不求和）。规定：这里 i 相当于一个自由指标，而 i 只是在数值上等于 i，并不与 i 求和。又如，方程333222111232221+=+ 用指标法表示，可写成iiiiiiiiiii= i 不参与求和，只在数值上等于 i1.2 Kronecker
5、 符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：=ji,0ji,1ji=100010001333231232221131211其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 可确定一单位矩阵：ji若jiji=ee321, eee是相互垂直的单位矢量，则3332211ii=+= eeeeeeee，但3332211ii=+= 而，故iiii=ee注意：3ii=ii是一个数值，即ji的作用：1 ）换指标；2 ）选择求和。例1 ：kiAA kkkkiikAAA =思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示例2：jijkTT jijiiijkkiT
6、TT =例3：jnimBAnm =个数，项的和。jmimjninjnimnmBABABA =813,4=求特别地，jijkki =mimjjkki, =1.3 置换符号=,0,1,1kjiei, j, k, 为1，2，3的偶排列i, j, k, 为1，2，3的奇排列i, j, k, 不是1，2，3的排列例如：1312231123= eee1132213321= eee0232121111= Leee可见：ijkjkikijjikikjkjieeeeee =kjie也称为三维空间的排列符号。321, eee若 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量kkjijieee e=则常见的恒等式nkmklknj
7、mjljnimilinmlkji=eeljmimjlikmlkji =eelikjlkji2=ee!36kjikji=ee( i )( ii )( iii )( iv )证明：333231232221131211nmlkjinkmklknjmjljnimiliAAAAAAAAAeeAAAAAAAAA=Qjiji=A令即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换，展开化简，将得其余三式。指标任意排列，经过行列调整总可用右边表示，两个置换符号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零二维置换符号33ji eee =其中,02211=ee12112= ee从三维退化得到e)2,1,( =有下列恒等式
8、 =ee,=ee !22 =ee关键公式：nkmklknjmjljnimilinmlkji=ee10000mjljmili33m3l33jmjlj3imili3ml3ji=ee=ee二维关键公式：=ee=ee2= = 22ee=ee= 4422224 =1.4 指标记法的运算mmiimmiicVbbUa=1.4.1 代入设(1)mmiicVb(2)把（2） 代入（1）=mn or elsennmmcVb =nnmmiicVUa =3个方程，右边为9 项之和1.4 指标记法的运算mmmmbVqaUp=1.4.2 乘积设则nnmmbVaUqp =不符合求和约定mmmmbVaUqp 1.4 指标记法
9、的运算0ijji= nnT 1.4.3 因式分解考虑第一步用injjiinn表示jn=ji,有换指标的作用所以0jjijji= nnT 即0)(jjiji= nT 1.4 指标记法的运算jijikkji2 EET +=1.4.4 缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变关系iikkiiiikkii232 EEEET +=+=iiii)23( ET +=缩并哑标与求和无关，可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压缩牛顿流体的连续性方程：其普通记法0ii=xU03322
10、11=+xUxUxU0zyx=+zUyUxU或1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes 方程：写出其普通记法jjiiijijixx)(+=+ UxpbxUUtU1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：写出其指标记法0xzxyxx=+xbzTyTxT0yzyyyx=+ybzTyTxT0zzzyzx=+zbzTyTxT1.5 张量的定义1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系）旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：321xxxO新坐标系：321 xxxO单位基矢量：,321 eee单位基矢量：,321eeejijijijiji),cos(),cos(|= eeeeeeee
