1、1,第三章 一元函数积分学,第一节 不定积分 第二节 定积分 第三节 反常积分 第四节 定积分的应用一、微元法 二、平面图形的面积三、旋转体的体积四、定积分在医药学上的应用五、连续函数的平均值六、平面曲线弧长七、变力沿直线所作的功八、旋转体的侧面积,2,一、微元法,将实际问题转换成定积分定义中的“分割、 近似代替、求和、取极限”的方法，称为微元法。,返回,其具体操作为：,(1)在a,b中的任意一个小区间x,x+dx上，,以均匀,变化近似代替非均匀变化，,列出所求量的微元：,dA=f(x)dx,(2)对上式从 a 到 b 积分，即得所求量的定积分表,达式,3,一、微元法（曲边梯形的面积A）,由连
2、续曲线y=f(x)0与直线x=a、x=b、y=0 围成的平面图形，称为曲边梯形,4,一、微元法（曲边梯形的面积A）,由连续曲线y=f(x)0与直线 x=a、x=b、y=0 围成的平面图形，称为曲边梯形,微元法,面积微元,5,以,二、平面图形的面积,由曲线,上减下,围成的平面图形的面积，可用,微元法求得：,和直线,在a,b内任取小区间,，该小区间上,所对应的窄条面积近似等于以,为高、,为底,故所求面积微元为,的窄条矩形面积，,6,二、平面图形的面积,同理可得，由曲线,y,x,右减左,和直线,为,围成的平面图形的面积,7,二、平面图形的面积（例题）,例1.求由曲线 围成图形的面积. 解：(1)求交
3、点作图,(2)求面积,8,二、平面图形的面积（例题）,例2.求椭圆 的面积.,y,x,(2)求面积,解：(1)作图,9,二、平面图形的面积（例题）,例3.求由曲线 围成图形的面积. 解：(1)求交点作图,(2)求面积,10,三、旋转体的体积,由曲线,的体积，也可用微元法求解:,围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体,和直线,及直线,在a,b内任取小区间,，该小区间上所,对应的小旋转体的体积,为半径、,以,为高的小圆柱体的体积，,故所求体积微元为,近似等于以,11,三、旋转体的体积,同理，由曲线 和直线 及直线 围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成 的旋转体的体积为,y,x,12,三、旋转
4、体的体积（例题）,例1.求椭圆 的,(2)求体积,解：(1)作图,13,三、旋转体的体积（例题）,例2.由曲线 和直线 围成的图形 绕 y 轴旋转一周所得体积. (1)求交点作图：,y,x,(2),14,三、旋转体的体积（例题）,例3.由曲线 围成的图形 绕 x 轴旋转一周所得体积. (1)作图：,(2),15,练习题,跳过练习,16,练习题答案,17,练习题,跳过练习,18,练习题答案,19,设有半径为R，长为L的一段刚性血管，两端 的血压分别为p1和p2 在血管的横截面上距血管 中心 r 处的血流速度为 ， 求在单位时间内流过该横截面的血流量Q.,用微元法表示：,四、定积分在医药学上的应用
5、 1. 血管稳定流动时的血流量,R,20,四、定积分在医药学上的应用 2. 染料稀释法确定心输出量Q,心输出量是指每分钟心脏泵出的血液容积， 在生理学实验中常用染料稀释法测定把M0mg 染料注入受试者静脉或心脏右侧，染料将随血液 循环通过心脏到达肺部，然后再返回心脏进入动 脉系统一般在30s内染料就会从动脉中流完自染料注入后便开始对外周动脉血液中的染 料浓度进行30s连续监测，得到动脉血液中的染料 浓度c=c(t),0t30及30s内动脉血液中染料的平均 浓度,21,四、定积分在医药学上的应用 3. 垃圾对水源污染的蓄积作用,垃圾的有毒物质从埋藏点逐渐向水源扩散， 埋藏一个月后有毒物质开始浸入
6、水源当水中有 毒物质的浓度达到10个单位时，该水就不能饮用 若已知有毒物质的浸入速率为,求该水源还能饮用多久？,设该水源还能饮用T个月，,则由,可得,22,五、连续函数的平均值,在实际中经常要计算函数的平均值，积分 中值定理给出了计算连续函数平均值的公式：,例1.,解：,23,五、连续函数的平均值,例2.,解：,24,六、平面曲线弧长,曲线y=f(x) 在区间a, b上的弧长：,y,x,故,因,25,七、变力沿直线所作的功,设物体在变力F(x)的作用下，沿 x 轴从 x=a 移动到 x=b在a,b内任取一点 x，把 x 处的变力 近似看作小区间x,x+dx上的常力，得到所做功的 微元,则所求变力做的功为,其中，变力F(x)是位移 x 的函数,26,七、变力沿直线所作的功,例.已知某弹簧每拉长0.02米要用9.8牛顿的力， 求把该弹簧拉长0.1米所作的功.由实验知道，弹簧拉伸所需的力F(x)与伸长 量 x 成正比，即,27,八、旋转体的侧面积,由曲线 和直线 及 直线 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成 的旋转体的侧面积：,因,故,
