VAR模型与向量VECM模型.pdf

1、 向量自回归模型（ VAR）与向量误差修正模型（ VEC） 向量自回归模型（ VAR(p)） 传统的经济计量学联立方程模型建摸方法 , 是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。 一是 在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易； 二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变 量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由

2、于它们与扰动项相关， 从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性； 三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。 为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（ Vector Autoregression Model）。 VAR模型最早是 1980年，由 C.A.Sims引入到计量经济学中，它实质上是多元 AR模型在经济计量学中的 应用， VAR模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质 为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数

3、来构造模型的。它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元 MA模型、 ARMA模型，也可化为 VAR模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。 VAR模型的一般形式 1、非限制性 VAR模型（高斯 VAR模型） ,或简化式 非限制性 VAR模型 设 12( . )t t t kty y y y 为一 k 维随机时间序列， p 为滞后阶数， 12( . )t t t ktu u u u 为一 k 维随机扰动的时间序列， 且有结构关系 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1

4、1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2. . . .t t t k k t t t k k tp p pt p t p k k t p tt t t k k t t ty a y a y a y a y a y a ya y a y a y uy a y a y a y a y a y ( 2 ) 22( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 2( 1 ) ( 1

5、)1 1 1.k k tp p pt p t p k k t p tk t k t kaya y a y a y uy a y a ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )1 1 2 2. . .t k k k t k t t k k tp p pk t p k t p k k k t p k ty a y a y a y a ya y a y a y u 1,2,.,tT （ 15 1 1） 若 引入矩阵符号，记 ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1( ) ( ) ( )2 1 2 2 2( ) ( ) ( )

6、12. , 1 , 2 , .,.i i iki i ikii i ik k k ka a aa a aA i pa a a可写成 1 1 2 2 .t t t p t p ty A y A y A y u ， 1,2,.,tT （ 15 1 2） 进一步，若引入滞后算子 L ，则又可表示成 ( ) , 1, 2 , .,ttA L y u t T （ 15. 1. 3） 其中 : 212( ) . . . pkpA L I A L A L A L ,为滞后算子多项式 . 如果模型 满足的条件 : 参数阵 0, 0;pAp 特征方程 212d e t ( ) . . . 0pkpA L I A

7、 L A L A L 的根全在单位园外； (0, )tu iidN ， 1,2,.,tT ， 即 tu 相互独立 ， 同服从以 ( ) 0tEu 为期望向量、o v ( ) ( )t t tC u E u u 为方差协方差阵的 k 维 正态分布。这时， tu 是 k 维 白噪声向量序列，由于 tu 没有结构性经济含义，也被称为冲击向量 ； ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , . . .t t j t t jC o v u x E u x j ，即 t 与 t 及各滞后期不相关 。则称上述模型为非限制性 VAR模型（高斯 VAR模型） ,或 简化式 非限制性 VAR模型 。 2、受限制性 V

8、AR模型 ，或 简化式 受限制性 VAR模型 如果将 12( . )t t t kty y y y 做为一 k 维内生的随机时间序列，受 d 维外生的时间序列 12( )t t t dtx x x x 影响（限制），则 VAR模型为 1 1 2 2 .t t t p t p t ty A y A y A y D x u ， 1,2,.,tT （ 15 1 4） 或利用滞后算子表示成 ( ) , 1 , 2 , . . . ,t t tA L y D x u t T （ 15. 1. 5） 其中： 11 12 121 22 212.ddk k kdd d dd d dDd d d此时称该模型为受

9、限制性 VAR模型 ， 简化式 受限制性 VAR模型 。 对于受限制性 VAR模型，可通过 12( . )t t t kty y y y 对 12( )t t t dtx x x x 作 OLS回归，得到残差估计 t t ty y y，从而将 ty 变换成（ 15.1.2）或（ 15.1.3）形式的非限制性 VAR模型 ，即 1 1 2 2 .t t t p t p ty A y A y A y u ， 1,2,.,tT （ 15 1 6） ( ) , 1, 2 , .,ttA L y u t T （ 15. 1. 7） 这说明受限制性 VAR模型可化为非限制性 VAR模型。 简化式非限制、受

10、限制 VAR模型，皆简记为 ()VARp 。 3、结构式非限制性 VAR模型 如果 12( . )t t t kty y y y 中的每一分量受其它分量当期影响 , 无 d 维外生的时间序列 12( )t t t dtx x x x 影响（限制） ,则 模型 化为 0 1 1 2 2 .t t t p t p tA y A y A y A y u ， 1,2,.,tT （ 15 1 8） 或利用滞后算子表示成 ( ) , 1, 2 , .,ttA L y u t T （ 15. 1. 9） 其中： ( 0 ) ( 0 )12 1( 0 ) ( 0 )21 20( 0 ) ( 0 )121 .1

11、 . 1kkkkaaaaAaa,这时的 20 1 2( ) . . . ppA L A A L A L A L 此时称该模型为 结构式 非限制性 VAR模型。 如果 0A 可逆，既逆阵 10A 存在，则结构式非限制性 VAR模型可化为简化式非限制性 VAR模型 1 1 1 10 1 1 0 2 2 0 0.t t t p t p ty A A y A A y A A y A u ， 1,2,.,tT （ 15 1 10） 或利用滞后算子表示成 1 0( ) , 1 , 2 , .,ttA L y A u t T （ 15. 1. 11） 这时 ，其中 的 1 1 2 10 1 0 2 0( )

12、 . . . ppA L I A A L A A L A A L 4、结构式受限制性 VAR模型 如果将 12( . )t t t kty y y y 做为一 k 维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响 ,且还受 d 维外生 的时间序列 12( )t t t dtx x x x 影响（限制），则 VAR模型为 0 1 1 2 2 .t t t p t p t tA y A y A y A y D x u ， 1,2,.,tT （ 15 1 12） 或利用滞后算子表示成 ( ) , 1 , 2 , . . . ,t t tA L y D x u t T （ 15. 1. 13） 此

13、时称该模型为结构式受限制性 VAR模型。 如果 0A 可逆，既逆阵 10A 存在，则结构式受限制性 VAR模型可化为简化式受限制性 VAR模型 1 1 1 1 10 1 1 0 2 2 0 0 0.t t t p t p t ty A A y A A y A A y A D x A u ， 1,2,.,tT （ 15 1 14） 或利用滞后算子表示成 1100( ) , 1 , 2 , . . . ,t t tA L y A D x A u t T （ 15. 1. 15） 这时 ，其中 的 1 1 2 10 1 0 2 0( ) . . . ppA L I A A L A A L A A L

14、 结构式非限制、受限制 VAR模型，皆简记为 ()SVARp 。 简化式 VAR模型的参数估计 VAR模型参数估计 , 简化式 VAR模型比较简单可采用 Yule-Walker估计、 OLS估计、极大似然估计法等进行估计 ,且可获得具有良好统计性质的估计量。结构式 VAR模型参数估计比较复杂，可有两种途径：一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计 ，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。另一种途径是直接对结构式模型参数进行估计，但这也存在一个问题，上 述方法不可应用，原因是每一方程含有众多内

15、生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？这也与结构式模型的识别性有关。 对于简化式 VAR模型 （ 15.1.1） （ 15.1.3） ，在冲击向量 满足假设 (0, )tu iidN ， 1,2,.,tT ，即 tu 相互独立，同服从以 ( ) 0tEu 为期望向量、 o v ( ) ( )t t tC u E u u 为方差协方差阵的 k 维正态分布。这时， tu 是 k 维白噪声向量序列的条件下， 模型参数阵 12, ,., pA A A 及 也可采用 Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计。 设 12( . )t t t kty y y y , 1,2,.,tT 为长度为

16、T 的样本向量 Yule-Walker估计 在 T 充分大时 , 首先估计自协方差阵 1 /Th t t hth y y T (15.1.16) 令 0 1 11 0 21 2 0 . . . . . .pppp ,112 2 , pPAAAA 则可得模型参数阵的 Yule-Walker估计 (矩估计 )为 112 PAAAA 10 1 11 0 21 2 0 . . . . . .pppp 12 ,p（ 15.1.17） OLS 估计 模型参数阵 12, ,., pA A A 的 OLS估计，即求使 12 1 1 11 ( , , . , ) ( ) ( )m inppTp t j t j

17、t j t jj p j jQ A A A y A y y A yT 下的 12 , ,., pA A A 作为 12, ,., pA A A 估计 。 记 1 /Th t t htp y y T (15.1.18) 由此可推得 112 PAAAA 10 1 11 0 21 2 0 . . . . . .pppp 12 ,p（ 15.1.19） 由此可见 , 模型参数阵 12, ,., pA A A 的 OLS估计 (15.1.15)与 Yule-Walker估计 (15.1.13)形式相同 , 但式中的 h 的计算不同 . 但是 , 当 T 充分大时 ,(15.1.16)与 (15.1.18

18、)相差很小 , 这时 (15.1.17)与 (15.1.19)相差也很小 ,这时二者的估计及估计量的性质等价。因此，在 T 充分大时 , 可 直接采用 Yule-Walker估计 比较简单方便。 而 的估计为 0 11 TtttA A u uT （ 15.1.20） 其中： 1 1 2 2 .t t t t p t pu y A y A y A y 极大似然估计 可证明 , 模型参数阵 12, ,., pA A A 的极大似然估计与 OLS估计完全等价。 除此之外，还有递推估计法（参见：马树才，经济时序分析，辽宁大学出版社， 1997.1.pp199） , 这里不在赘述。 简化式 VAR模型的

19、 预测 在已知 12, ,.ttyy 时，对 ty 的一步线性预测 1 (1)ty 1 1 2 2 .t t p t pA Y A y A y （ 15.1.21） 其一步预测误差为 1 (1)t t t ty y y e 一步预测误差的方差阵为 t t t tEy y Ee e S的估计为 10 1 (1 ) ( )piiikpSAT （ 15.1.22） 在已知 12, ,.ttyy 时，如果利用模型参数的估计量 12 , ,., pA A A ，对 ty 进行一步线性预测，则 ty 的实际一步线性预测为 1 (1)ty 1 1 2 2 .t t p t pA Y A y A y （ 15

20、.1.23） 其一步预测误差为 1 (1)t t ty y y 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) . . . ( )t t p p t p tA A Y A A y A A y e 一步预测误差的方差阵为 t t t tEy y Ee e D的估计为 10 1 (1 ) (1 ) ( )piiik p k pDATT （ 15.1.24） VAR模型 阶数 p的确定 VAR模型的定阶 是一个矛盾 过程，阶数 p的确定， 既不能太大，又不能太小，必须兼顾。因为，一方 面，希望滞后阶数 p要大一些，以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，否则，阶数 p太大，会造成需要估计

21、的模型参数 过多，而使模型自由度减少。因此，在定阶时需要综合考虑，以既要有足够大的滞后项，又能 有足够大的自由度为原则确定阶数。 VAR模型的定阶方法有多种： 1、 FPE准则 (最小最终预测误差准则 ) FPE准则 (最小最终预测误差准则 )，即利用一步预测误差方差进行定阶。因为，如果模型阶数合适，则模型对实际数据拟合优度必然会高，其一步预测误差方差也必然会小；反之，则相反。 设给定时间序列向量长度为 T 的样本向量为 12( . )t t t kty y y y , 1,2,.,tT ，则其一步预测误差方差阵的估计量为（ 15.1.24）式 ,它是一个 kk 阶阵 ,因此可定义其最终预测误

22、差为 0 1 ( ) d e t ( 1 ) ( 1 ) d e t( )pkkk i iik p k pF P E p D ATT （ 15.1.25） 显然 , ()kFPE p 是 p 的函数。 所谓最小最终预测误差准则，就是分别取 p =1， 2, ， M, 来计算 ()kFPE p , 使 ( ) minkFPE p 值所对应的 p , 为模型合适阶数。相应的模型参数估计 12 , ,., pA A A 为最佳模型参数估计。其中， M为预先选定的阶数上界 ,一般取 / 10 / 5M T k T k 之间。 在实际计算过程中，可如下判断：如果 ()kFPE p 的值，随着 p 从 1

23、开始逐渐增大就一 直上升，则可判定 p =1；如果如果 ()kFPE p 的值，随着 p 从 1开始逐渐增大就一直下降，则可判定该随机时间序列不能用 AR（ p）模型来描述；如果 ()kFPE p 的值，在某一 p 值下降很快，而后又缓慢下降，则可判定该 p值为所确定的阶数 ；如果 ()kFPE p 的值，随着 p 从 1开始逐渐增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值，这可能由于样本数据长度 T太小造成的，应增大样本长度，重新进行定阶、估计模型参数，建立模型。 利用 FPE信息准则还可以用来检验模型的建立是否可由部分分量，比如前 ()rr k 个分量 12.t t rty y y ，1,2,.,t

24、T 来进行。 记（ 15.1.21）式中的 kk 阶矩阵0 1 ()piii A 的左上角 r 阶子方阵为0 1 ()pi i r ri A , 则前 r 个分量 12.t t rty y y ， 1,2,.,tT 的最终预测误差为 0 1 ( ) d e t ( 1 ) ( 1 ) d e t( )prrr r i i r rik p k pF P E p D ATT （ 15.1.26） 当 rk 时，（ 15.1.26）为 (15.1.25)式。 如果， m i n ( ) m i n ( )rkF P E p F P E p，则可认为仅用前 r 个分量 12.t t rty y y ，

25、 1,2,.,tT 建立模型即可，没有必要 采用 k 维随机时间序列 12( . )t t t kty y y y 建立模型，因为从最小最终预测误差准则角度，用 k 维随机时间序列 12( . )t t t kty y y y 建立模型比仅采前 r 个分量 12.t t rty y y ， 1,2,.,tT 建立模型，带来拟合优度的显著改善；反之，则相反。 2、 AIC(Akaike Information Criterion)与 SC（ Bayes Information Criterion）信息准则 AIC、 SC信息准则，也称最小信息准则，定义 2 / 2 /AIC l T n T ，

26、2 / ln /SC l T n T T （ 15.1.27） 其中： (1 l n 2 ) l n ,22Tk Tln 为模型需要估计参数个数，对（ 15.1.1） , 2n pk ；对于(15.1.4), ()n k d pk；对于（ 15.1.8), 2( 1)n p k ；对于（ 15.1.12）， 2()n k d pk k 。 所谓最小信息准则，就是分别取 p =1， 2, 来计算 AIC或者 SC, 使 AIC或 SC min 值所对应的 p , 为模型合适阶数。相应的模型参数估计 12 , ,., pA A A 为最佳模型参数估计。 3、似然比检验法（ Likelihood R

27、atio,LR检验）： 由于 (0, )tu iidN ， 1,2,.,tT ，即 tu 相互独立，同服从以 ( ) 0tEu 为期望向量、o v ( ) ( )t t tC u E u u 为方差协方差阵的 k 维正态分布。 因此， 记 1212,tttPtpyyY A A A Ay，则在给 1 2 1, ,.,t t py y y 的条件下， 12( . )t t t kty y y y 的条件 ，即 1 2 1, , . . . , ( , )t t t p ty y y y N A Y 于是，在给 1 2 1, ,.,t t py y y 的条件下， 12, ,., Ty y y 的联

28、合分布密度，即似然函数为 /2/ 2 1 111( , ) ( 2 ) e x p ( ( ) ( ) 2 TTTk t t t ttL A y A Y y A Y 对数似然函数为 1111l n ( , ) l n ( 2 ) l n ( ) ( ) 2 2 2 T t t t ttT k TL A y A Y y A Y 将参数估计代入，则有 1111 l n ( , ) l n ( 2 ) l n ( )2 2 2 T tttTk TL A u u ， 又 11 T ttt uuT 因此，有 1l n ( , ) l n ( 2 ) l n2 2 2T k T T kLA （ 15.1.

29、28） 现在，欲检验假设 0:H 样本数据是由 滞后阶数为 p 的 VAR模型生成 ； 1:H 样本数据是由滞后阶数为1p 的 VAR模型生成 取似然比统计量为 1111 2 l n ( , ) l n ( , ) ( l n l n )p p p pL R L A L A T 22()k分布 （ 15.1.29） 在给定的显著性水平 下，当 22()LR k ，则拒绝 0H ，表明增加滞后阶数，可显著增大似然函数值；否则，则相反。 LR 检验在小样本下，可取似然比统计量为 111 ( ) ( ln ln )ppL R T m 22()k 分布 （ 15.1.30） 其中 ,m d kp .

30、VAR模型的 Granger因果关系检验 VAR模型 的另一重要应用是可用来检验一个变量与另一变量间是否存在 Granger因果关系 ，这也是建立 VAR模型所需要的。 1、 Granger因果关系的涵义 设 12()t t ty y y 为一 2 维随机时间序列，如果在给定 12ttyy、 的滞后值下 1ty 的条件分布与仅在给定的 1ty 的滞后值下 1ty 的条件分布相同，即 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1( , , . . . , , , , . . . , ) ( , , . . . , )t t t t p t t t p t t t t pf

31、y y y y y y y f y y y y 则称 2ty 对 1ty 存在 Granger非因果性关系，否则， 2ty 对 1ty 存在 Granger因果性关系。 Granger因果性关系涵义的另一表述：在 其 条件不变下，如果加上 2ty 的滞后值，并不对只由 1ty 的滞后值下对 1ty 进行预测有显著改善，则称 2ty 对 1ty 存在 Granger非因果性关系，否则， 2ty 对 1ty 存在 Granger因果性关系。 2、 Granger因果关系检验 设 12()t t ty y y 为一 2 维随机时间序列， p 为滞后阶数， 12()t t tu u u 为一 2 维随

32、机扰动的时间序列， 则有 2元 VAR模型为 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( )2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2.ppt t t t t t p t p tppt t t t t t p t p ty a y a y a y a y a y a y uy a y a y a y a y a y a y u 1,2,.,tT （ 15 1 31） 显然，

33、欲检验 2ty 对 1ty 是否存在 Granger非 因果性关系，等价地， 检验假设 0:H (1 ) ( 2 ) ( )1 2 1 2 1 2. 0pa a a ； 1:H (1) ( 2 ) ( )12 12 12, ,. pa a a中至少有一个不为 0。 其用于检验的统计量为 1 1 212,( ) / ( , 2 1 )/( 2 1 )y y yyyS S R S S R pF F p T pS S R T p （ 15 1 32） 其中，12,yySSR为模型（ 15.1.31）中第 1方程残差平方和 , 1ySSR为模型（ 15.1.31）中第 1方程 去掉 2y 各期滞后项

34、后拟合 残差平方和 。 在给定的显著性水平 下，当 ( , 2 1)F F p T p 时，拒绝 0H 。 如果模型（ 15 1 31）满足 (0, )tu iidN ， 1,2,.,tT ，即 tu 相互独立，同服从以 ( ) 0tEu 为 期望向量、 o v ( ) ( )t t tC u E u u 为方差协方差阵的 k 维正态分布条件，则 也可采用如下统计量进行检验 1 1 212,22,() ( )y y yyyT S S R S S R pSSR （ 15 1 33） 在给定的显著性水平 下，当 22()p 时，拒绝 0H ， 上述 Granger因果性关系检验，可推广到 对 任意

35、 k 维 VAR模型 以及 SVAR模型 中的 某一或某几个 随机时 间序列 （包括内生、外生变量） 是否对另一时间序列具有 Granger因果性的检验上去。 VAR（ p） 模型的 脉冲响应函数 与方差分解 在实际应用中，由于通常所设定的 VAR模型都是非经济理论性的简化式模型，出它无需对变量作任何先验性约束，因此，在分析应用中，往往并不利用 VAR模型去分析某一变量的变化对另一变量的影响如何，而是分析当某一扰动项发生变化，或者说模 型受到某种冲击时，对系统的动态影响，这钟分析方法称为脉冲响应函数方法（ Impulse Response Function,IRF）。 脉冲响应函数基本思想 对

36、 VAR模型采用脉冲响应函数分析扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，就是分析扰动项发生变化 是如何传播到各变量的。 设 12()t t ty y y 为一 2 维随机时间序列，滞后阶数 p =2， 12()t t tu u u 为一 2 维随机扰动的时间序列，则有 2元 VAR模型为 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2t t t t t tt t t t t ty a y a

37、 y a y a y uy a y a y a y a y u 1,2,.,tT （ 15 2 1） 扰动项满足白噪声假设条件，即 ( ) 0 , 1, 2 , .,tE u t T ； ( ) ( ) , 1 , 2 , . . . ,t t t ijC o v u E u u t T ；( , ) ( ) 0 ( ) , , 1 , 2 , . . . ,t s t sC o v u u E u u t s t s T 现在假设上述 VAR模型系统从 0t 时期开始运行，并设 1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 0y y y y ，在 0t 时给定扰动项 10 201 0,uu

38、、 并且其后 12 0 , ( 1, 2 , .)ttu u t ，即在 0t 时给定 1ty 一脉冲，我们来讨论 12ttyy、 的响应。 由于 10 201 0,uu、 由（ 15 2 1），在 0t 时，于是有， 1,0 2,010yy、 ； 将上述结果再代入（ 15 2 1），在 1t 时，于是有， (1 ) (1 )1 ,1 2 ,1 2 1y a y a11、 ； 再将上述结果代入（ 15 2 1），在 2时，于是有，( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )1 , 2 1 2 1 1 2 1 2 , 2 2 1 1

39、1 2 2 2 1 2 1(,y a a a a y a a a a a 211 ) 如此下去，可求得结果 1,0 1,1 1,2 1,3, , , ,y y y y ，称此结果为由 1y 的冲脉冲引起的 1ty 的响应函数； 所求得的 2 ,0 2 ,1 2 ,2 2 ,3, , , ,y y y y，称为由 1y 的冲脉冲引起的 2ty 的响应函数。 反过来，也可求得在 0t 时，给定扰动项 10 200 1,uu、 并且其后 12 0 , ( 1, 2 , .)ttu u t ，即在 0t 给定 2ty 一脉冲时，由 2y 的冲脉冲引起的 1ty 、 2ty 的响应函数。 VAR模型的脉

40、冲响应函数 假设有 VAR(p)模型 1 1 2 2 .t t t p t p ty A y A y A y u ， 1,2,.,tT （ 15 2 2） 引入滞后算子 B ，表示成 ( ) , 1, 2 , .,ttA L y u t T （ 15.2. 3） 其中 : 212( ) . . . pkpA L I A L A L A L ,为滞后算子多项式 . 在满足特征方程 212d e t ( ) . . . 0pkpA L I A L A L A L 的根全在单位园外条件下，则 VAR(p)是可逆的，即可将 ty 表示成白噪声 tu 滑动和形式 ()tty C Lu （ 15.2. 4

41、） 其中： 120 1 2 0( ) ( ) . . . . , (kC L A L C C L C L C I k 阶单位阵） （ 15.2. 4）中第 i 方程为 ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )121 ( .) , 1 , 2 , , , .kit ij jt ij jt ij jtjy c u c u c u t T （ 15. 2. 5） 当 2k 时 , (15.2.4)为 ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )1 1 1 1 1 21 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )

42、2 2 2 1 2 22 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 .t t t tt t t ty u u uc c c c c cy u u uc c c c c c 1,2,.,tT （ 15 2 6） 现在假定在基期给 1y 一个单位脉冲 , 即 1 1, 00, 0t tu t 而 2 0 , 0 ,1, 2 , .tut 则可求得由 1y 的脉冲引起 2y 的响应函数为： ( 0 )20 21(1)21 21( 2 )22 210,1,2,t y ct y ct y c 由此可看出，对于 （ 15.2. 4）式的 一般情形，由 jy 的脉冲引起 iy 的响应函数为： (0 )0(1)1( 2 )20,1,2,i iji iji ijt y ct y ct y c 由 jy 的脉冲引起 iy 的累积响应函数为： ()0qijq c由（ 15. 2. 4）式 , 其中的 qC 中的第 i 行、第 j 列元素可表示为 () / , 0 , 1 , 2 , . . . ; 1 , 2 , . . . ,q ij it q jtc y u q t T （ 15. 2. 7） 作为 q 的函数，它描述了在时期 t ，其他变量和早期变量不变的情况下， itqy 对 jty 的一个冲击的反应，称 为脉冲 响应函数。 用矩阵可表示为 qC = /t q